第47卷 双曲线的定义与性质 -考点训练卷 2027年重庆市（高职对口招生）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦双曲线定义与性质，以考点微目标拆解为核心，通过选择、填空、解答题递进训练，强化概念生成与性质应用的逻辑链条，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12小题|基础概念辨析（焦点坐标、实轴长等）|从定义到标准方程，再到离心率、渐近线的性质推导| |填空题|4小题|性质参数计算（渐近线方程、焦点距离等）|围绕a,b,c关系，强化性质间的关联应用| |解答题|5小题|综合应用（与椭圆/抛物线结合、直线相交）|从单一知识点到跨知识综合，体现性质的实际应用逻辑|

编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年重庆市高职对口招生《数学考纲百套卷》 第47卷 双曲线的定义与性质 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．双曲线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．双曲线的实轴长为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线上的一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，则双曲线C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 6．若双曲线 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 7．双曲线的焦点坐标是（   ）． A．， B．， C．， D．， 8．已知焦点在轴上，焦距为且实轴长为的双曲线标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．实轴长为8，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 10．中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ） A． B． C． D． 12．是双曲线的右焦点，点P为双曲线左支上的一点，点，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13．双曲线的一条渐近线方程为，则________． 14．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是________. 15．设是双曲线上一点，已知到双曲线的一个焦点的距离等于10，则到另一个焦点的距离是__________. 16．双曲线的焦点到渐近线的距离是__________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 17．（本小题8分）已知椭圆的离心率，且该椭圆与双曲线焦点相同，求椭圆的标准方程. 18．（本小题8分）双曲线的两条渐近线方程为，且经过. (1)求此双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的值. 19．（本小题8分）已知双曲线的离心率为， 为C上一点. (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为30°的直线l交C于M， N两点， O为坐标原点， 求的面积. 20．（本小题10分）已知双曲线的中心在原点，渐近线为，且抛物线的焦点是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线l与双曲线交于A，B两点，且，求直线l的方程． 21．（本小题10分）已知双曲线的焦点是和，过点并垂直于轴的直线与双曲线的一个交点为，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)在轴上找一点，使得的面积为16． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》及最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年重庆市高职对口招生《数学考纲百套卷》 第47卷 双曲线的定义与性质 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．双曲线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程得的值及焦点在轴上易得答案. 【详解】因为双曲线，所以， 所以，， 焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：A. 2．双曲线的实轴长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出值即可得解. 【详解】双曲线，则， 所以实轴长为. 故选：. 3．双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程结合离心率公式即可解得. 【详解】由题目可知，故， 所以，离心率. 故选：D 4．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的标准方程和渐近线方程即可得解. 【详解】对于双曲线（）， 其渐近线方程的公式为， 双曲线1中，， 因为，所以， 将代入渐近线方程公式， 可得渐近线方程为. 故选：B. 5．已知双曲线上的一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，则双曲线C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义和双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】由题意可知，则， 即双曲线的标准方程为， 可得， 所以离心率. 故选：C． 6．若双曲线 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直有，得，再由可得，由此即可得出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 由于两条渐近线互相垂直， 所以，所以， 则由，得， 所以离心率. 故选：A. 7．双曲线的焦点坐标是（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，由此求解c的值即可. 【详解】∵双曲线可化为， ∴， ∴，焦点在y轴， ∴焦点坐标为，. 故选：B. 8．已知焦点在轴上，焦距为且实轴长为的双曲线标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据焦距，实轴的长求出的值，根据的数量关系求出，即可写出焦点在轴上的双曲线方程. 【详解】由题意可知，，. 所以，. 所以. 焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选：. 9．实轴长为8，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后根据焦点的位置求得答案. 【详解】因为实轴长为8，焦点坐标为， 所以，，所以， 因为焦点在轴上，所以此双曲线的标准方程为. 故选：B. 10．中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的几何性质知，求即可. 【详解】由题可知椭圆焦点在轴上，且， 由，得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 11．已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的右焦点坐标确定的值，再求出a，最后得出该双曲线的离心率的值. 【详解】因为双曲线的右焦点为，所以， 因为，则，可得， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：C. 12．是双曲线的右焦点，点P为双曲线左支上的一点，点，则的周长的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为， 由题意知，双曲线，其中， 则， 故， 由双曲线的定义知的周长为 （当三点共线时取等号）． 故选：B． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13．双曲线的一条渐近线方程为，则________． 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 因为一条渐近线方程为，所以. 故答案为：. 14．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是________. 【答案】 【分析】由双曲线方程的标准形式列不等式求解即可. 【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则，解得， 则k的取值范围是. 故答案为：. 15．设是双曲线上一点，已知到双曲线的一个焦点的距离等于10，则到另一个焦点的距离是__________. 【答案】2或18 【分析】由双曲线的定义分析即可. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为、，， 由双曲线的定义可知，， 即，解得或. 故答案为:2或18. 16．双曲线的焦点到渐近线的距离是__________． 【答案】2 【分析】将双曲线方程化为标准式，得到渐近线方程和焦点坐标，利用点到直线距离公式，即可求解. 【详解】双曲线化为标准式得到， 所以，即，， 即双曲线的焦点坐标为  ， 双曲线的渐近线方程为，即， 焦点到渐近线的距离， 由于双曲线的对称性，焦点到渐近线距离也是2， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 17．（本小题8分）已知椭圆的离心率，且该椭圆与双曲线焦点相同，求椭圆的标准方程. 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程，求出其焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率公式，列方程组可求解. 【详解】在双曲线中，其中，， 所以，焦点为和. 由题意可知，椭圆的焦点也为和， 设椭圆的方程为， 则有，解得， 所以椭圆的方程为. 18．（本小题8分）双曲线的两条渐近线方程为，且经过. (1)求此双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据双曲线渐近线方程设出双曲线方程，将点代入即可得解. （）联立方程组利用韦达定理和弦长公式列出方程即可得解. 【详解】（1）双曲线的两条渐近线方程为， 设双曲线方程为， 把坐标代入得，解得， 故所求的双曲线方程为. （2）联立， 则， 设，则， ， 解得. 19．（本小题8分）已知双曲线的离心率为， 为C上一点. (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为30°的直线l交C于M， N两点， O为坐标原点， 求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的离心率和双曲线上点的坐标求解即可； （2）先根据双曲线的标准方程得到右焦点坐标，进而求出直线l的方程，联立直线与双曲线方程求出的面积即可. 【详解】（1）双曲线的离心率为， 故，故，进而. 又在双曲线上，代入方程， 得：， 因此， 双曲线的方程为：. （2）由，右焦点为. 直线l的倾斜角为，斜率， 故直线l的方程为. 联立，得， 设， 由韦达定理：， 则， 所以. 20．（本小题10分）已知双曲线的中心在原点，渐近线为，且抛物线的焦点是双曲线的一个顶点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线l与双曲线交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据抛物线的标准方程，双曲线的标准方程，渐近线方程，顶点坐标即可求解. （2）根据题意，设得直线的斜截式方程，与双曲线的标准方程联立，结合韦达定理，向量内积的坐标表示，根与系数的关系即可求解. 【详解】（1）由抛物线得，抛物线的焦点坐标为， 因为抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，所以双曲线的顶点在x轴上， 设双曲线的标准方程，则， 因为双曲线的渐近线为，所以，解得， 所以双曲线的标准方程是． （2）由题意得，当直线l的斜率不存在时，不满足题意， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为. 设，， 联立方程，整理得， 所以且判别式，即， 所以，且，又，， 所以. 因为，所以，即， 解得或，满足，且， 所以直线l的方程是或． 21．（本小题10分）已知双曲线的焦点是和，过点并垂直于轴的直线与双曲线的一个交点为，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)在轴上找一点，使得的面积为16． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求双曲线的标准方程为，根据双曲线的定义得出的值，再由焦点确定的值，最后由的关系求出，写出双曲线方程即可. （2）将代入双曲线方程中，求出的值，设点的坐标为，再由三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】（1）由题意，可设所求双曲线的标准方程为， ，，得． 又双曲线的焦点是和可得双曲线的半焦距， ， 因此所求双曲线的标准方程为． （2）由（1）得：双曲线的标准方程为， 当时，，． 设点的坐标为，则. 解得：，即，解得或． 综上所述，点的坐标为或.   . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $