1.3集合的基本运算（第2课时）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的基本运算（第二课时），核心知识点为全集与补集。通过方程在不同范围的解集差异、班级学生共青团员与非共青团员的集合关系情境导入，衔接已学的并集与交集，构建集合运算完整体系，形成学习支架。 此资料特色在于情境化引入与素养导向，用Venn图验证德·摩根定律培养逻辑推理，数轴分析含参数问题发展直观想象，分层练习提升数学运算。帮助学生形成数学抽象思维，为教师提供清晰教学流程和核心素养培养路径，助力高效教学。

1.3集合的基本运算（第二课时）教学设计 课题 集合的基本运算 单元 第一章集合与常用逻辑用语 学科 高中数学 （人教版） 年级 高一 学习目标 1、通过实例理解并集、交集、补集的含义，区分三种集合运算，体会集合语言的简洁性，发展数学抽象素养。 2、掌握并集、交集、补集的符号与图表示，能求解简单集合的交、并、补运算，培育数学运算核心素养。 3、会借助数轴、图分析集合运算问题，能够处理含参数的集合运算基础题型，提升直观想象与逻辑推理素养。 教材 分析 本节课是人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》的第3节内容（第二课时），是在第一课时学习了并集与交集的基础上，进一步研究全集与补集。补集是集合运算的第三种基本运算，与并集、交集共同构成集合运算的完整体系。全集与补集的思想在后续学习逻辑用语中的"非"运算、概率中的对立事件、不等式解集等知识中有广泛应用。本节课通过"确定研究对象范围"的情境引入全集概念，再在全集的背景下定义补集，并探究补集的运算性质，渗透数形结合和转化化归思想，对培养学生的数学抽象和逻辑推理素养具有重要作用。 学情 分析 学生已在第一课时学习了并集与交集的概念、性质及运算，具备了集合运算的基本经验和数轴分析能力。但补集概念依赖于全集的确定，学生在处理不同全集下的补集问题时可能产生困惑——同一集合相对于不同的全集有不同的补集。在综合运算中，并、交、补三种运算混合出现，运算顺序和性质运用容易出错。含参数的补集综合应用题对学生的转化能力和逻辑推理能力要求较高，需要教师引导逐步突破。 教学 重点 全集与补集的概念、符号表示及运算；并集、交集、补集的综合运算；德·摩根定律。 教学 难点 补集概念中全集的理解与确定；德·摩根定律的掌握与灵活运用；含参数补集综合应用问题中“正难则反”思想的应用。 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【情境导入 激发思考】 【情境导入 激发思考】 教师PPT呈现情境（PPT呈现）： 问题1：（1）方程在有理数解范围内的解集。 （2）方程在有实数范围内的解集。 （3）方程在有实数范围内的解集。 教师引导学生写出解集： （1），（2），（3） 教师追问：为什么都是方程的解集，但是和不一样？ 引导学生发现：在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。 教师追问：那么集合和集合有什么关系吗？ 情境：某班第一小组8位学生的登记表： 设8名学生组成集合为集合，由共青团员组成的集合为集合，不是共青团员的学生组成的集合为集合。则集合与关系又是什么？ 教师引导：这就是我们今天要研究的——全集与补集。 设计意图：通过"确定研究对象范围"的情境，让学生直观感受全集对补集的影响，自然引出全集和补集的概念，激发探究欲望。 1、独立思考情境问题，理解"研究范围"对结果的影响； 2、对比集合B和C的差异，体会全集的重要性； 3、跟随教师引导，明确本节课的学习目标——全集与补集； 4、进入探究状态。 新知 探究 · 探究一：全集和补集 【活动一：全集概念】 教师回顾情境，引导学生理解全集的含义： ⭐全集：一般地，如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作。 教师强调：全集是相对于所研究问题而言的"最大范围"，不同问题可能有不同的全集。 思考1：全集一定包含任何元素吗？ 师生讨论：不一定。全集不是固定的，只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可。例如研究实数问题时全集可以是，研究整数问题时全集可以是。 【活动二：补集概念】 教师引导学生思考：在全集中，不属于集合的元素组成什么集合？ ⭐补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作， 符号语言： 且 图形语言： ⭐注意：补集的概念必须要有全集的限制——同一集合相对于不同全集，补集不同。 【即时辨析】 【辨析1】已知全集，， ，求下列集合. （1）； （2）； （3）； （4） . 学生作答：（1） （2） （3） （2） 【活动三：德·摩根定律】 教师引导学生通过辨析1发现补集与并集、交集的关系（PPT呈现）： ⭐德·摩根定律）： 教师引导验证（图法）： 口诀记忆："并的补=补的交，交的补=补的并"。 【活动三：补集的运算性质】 教师引导学生探究补集的性质（PPT呈现，引导用Venn图验证）： （1） （3） 教师引导学生用图逐一验证。 设计意图：补集性质和德·摩根定律通过图验证，渗透数形结合思想；德·摩根定律沟通了三种运算之间的联系，培养逻辑推理能力。 1、理解全集的含义，明确全集是相对的； 2、跟随教师板书，记录全集的定义和记号U； 3、在草稿纸上画出全集和补集的Venn图，体会补集的直观含义； 4、独立完成即时辨析题，观察A与的关系。 5、跟随教师用Venn图验证德·摩根定律，理解"并的补=补的交； 6、注意性质（4）的反向包含关系——A⊆B则； 7、用Venn图验证补集的5条性质，在笔记本上记录"； 8、熟记德·摩根定律口诀，与并集、交集性质对比记忆。 课堂练习 · 典例精讲 例5：设是小于9的正整数求， 解：根据题意可得，， 所以 例6：设全集是三角形是锐角三角形是钝角三角形求 解：根据三角形分类可得， 是锐角三角形或钝角三角形 所以是直角三角形 · 课堂练习 【题型1：全集、补集的运算】 1、若全集则集合的补集为( ). . . . . 【答案】： 2、设或，，则_______，_______. 【答案】， ∴，. 教师补充以下注意事项： ⭐求补集的方法： (1)排除法：全集及其子集是用列举法表示的,从全集中去掉所有属于集合的所有元素组成的集合。 (2)图法：较为复杂的集合，还可借助于图求解。 (3)数轴法:全集及其子集是用不等式表示的,常借助于数轴求解。 3、若集合当分别取下列集合时，求. (1)；(2)(3) 解：(1)根据补集定义可得：或 (2)根据补集定义可得：或 (3)根据补集定义可得：或 4、若全集,,则　　。  【答案】： 【题型2：并集、交集、补集的综合运算】 1、已知全集U或. (1)求(2) 解：(1)∵ ∴，或 (2)∵ ∴ 2、设集合,集合,,则(　　) 【答案】： 3、已知全集,集合,,则图中阴影部分表示的集合是( 　) 【答案】： 【题型3：补集的综合应用——求参数范围问题】 1、(1)若全集则=__ _. (2)若全集则实数=______. 【答案】 , 2、设集合全集且求实数的取值范围. 解：∵ ∴则 又∵ ∴即. 教师补充以下注意事项： ⭐已知集合的运算结果求参数的值或范围： (1)观察得出不同集合中元素之间的关系. (2)列方程(组)或不等式(组)求解. (3)注意对结果进行检验,避免违背元素的互异性. (4)注意对空集的讨论,以避免漏解. 3、设集合全集且求实数的取值范围. 解：∵ ∴或. 而， ∴. 即实数的取值范围是 4、已知集合,. (1)当时,求; (2)若,且,求实数的取值范围. 解：(1)当时,集合,, 所以; (2)方法一(直接法):因为,得, 又,得, 由,所以又,解得. 所以实数的取值范围是. (2)方法二(转化法):因为所以, 又,得, 又,由,结合数轴,得又,解得. 所以实数的取值范围是. 1、例5阶段：先独立求解，再对照教师板书； 3、例6阶段：先独立解题，注意的运算步骤，上台板演，全班纠错； 1、独立完成题型1、2的基本运算，同桌互改； 2、综合运算注意运算顺序——没有括号的先求补集，再求并交； 3、独立完成题型3含参问题，画数轴辅助分析； 4、错题整理：端点开闭、补集方向、参数范围表示。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、全集（U）：包含所研究问题中涉及的所有元素的集合 ·注意：全集是相对的，不同问题可能有不同的全集 二、补集（）： ·关键：全集中不属于的元素 ·图： 三、补集的运算性质 （1） （3） （6）德⋅摩根定律： ① ② 五、运算方法 ·定义法（列举法）：直接去掉元素 ·数轴法（描述法）：取剩余部分，端点取反 六、含参问题 ·转化为不等式组求解 ·注意端点取舍和空集讨论 教师强调：补集运算的核心是"全集"的确定——同一集合相对不同全集，补集不同。求连续数集的补集时，数轴是最好的工具，端点开闭方向取反。德·摩根定律沟通了并、交、补三种运算的联系，是简化综合运算的有力工具。含参问题中善用"正难则反"的补集思想，往往可以化繁为简。 1、跟随教师引导，自主口头梳理本节课知识点，分模块复述； 2、独立绘制简易思维导图； 3、主动举手分享本节课易错点； 作业 布置 1、P14 书后练习第4、5题； 2、P15 习题1.3 第4、5、6题； 3、拓展：已知全集，集合，}，若且，求实数的取值范围。 记录作业要求，课后独立完成； 拓展题选做，注意分类讨论空集情况。 板书 设计 第一章 1.3 集合的基本运算（第二课时） 一、全集（）：包含所研究问题中所有元素的集合 二、补集（）： 三、补集的运算性质 （1） （3） （6）德⋅摩根定律： ① ② 五、运算方法 ①定义法（列举法）②数轴法（描述法） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $