2025届湖南省益阳市对口高考数学第一次模拟考试数学试题

**基本信息** 2025届湖南省益阳市对口高考数学一模卷，通过集合运算（第1题）、概率统计（第9题）、椭圆方程（第20题）等题，考查数学抽象、数据意识与运算能力，适配一轮复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、立体几何、三角函数|第4题结合线面关系考查充分必要条件，强化逻辑推理| |填空题|5/20|函数、排列组合、数列|第13题接力赛排列问题，体现数学应用意识| |解答题|7/60|数列、概率、解析几何|第17题以心理咨询接通率为情境，考查随机变量分布与期望，培养数据分析能力；选做题21、22题分别考查集合与复数，兼顾知识广度|

2025届湖南省益阳市对口高考数学第一次模拟考试数学试题（含答案解析） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.本试卷由试题卷和答题卡两部分组成，试题卷共6页，满分120分，时量150分钟。考 试结束后，将此卷及答题卡一并交回。 3.考生务必将各题的答案填写在答题卡的指定位置，在本试卷上作答无效。 一 选择题（每题 4 分，共 40 分，仅有一项正确） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 3.已知点到直线的距离等于 4，则（ ） A. 6 B. C. D. 4.已知直线和平面，且，则 “” 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设正四棱锥的底面边长和侧棱长都是 2，则该四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是 ( ) A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 夹在两平行平面间的平行线段相等 C. 若直线不平行于平面, 则平面内不存在直线平行于直线 D. 若直线不垂直于平面, 则平面内不存在直线垂直于直线 7. 下列说法错误的是 ( ) A. 若角为第二象限角，则 B. 已知角终边上一点, 则 C. 函数的最大值为 5 D. 将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到的图象 8. 已知，则 ( ) A.6 B.-6 C.18 D.-18 9. 某机构对 120 名青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示: 不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众 30 50 现要在所有参与调查的人中用分层随机抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在 “不喜欢的男性青年观众” 中抽取了 6 人，则的值为 ( ) A.12 B.16 C.24 D.32 10. 一条光线从点射入，经轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线的斜率为 ( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 11、已知，则 12、不等式的解集为，则实数 13、从 7 名运动员中选出 4 人参加校运会的米接力赛，则甲、乙两人都不跑中间两棒的方法有 种。 14、过点作圆的切线，切点为。则 15、已知等差数列中，且，则的最大值为 三、解答题（本大题共 7 个小题，其中第 21，22 小题为选做题。满分 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（10 分）等比数列中，， （1）求等比数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和。 17.（本小题满分 10 分） 我校学生心理咨询中心服务电话的接通率为。21 机 2 班的 3 名同学分别就某一问题在某天咨询该服务中心，且每人只拨打一次电话。设表示他们中成功咨询的人数。求： （1）恰有 2 人成功咨询的概率；（3 分） （2）随机变量的概率分布和数学期望、方差。（4+1+2 分） 18.（本小题满分 10 分） 已知数列的前项和为，且。 （1）求 的值；（4 分） （2）设，证明数列为等比数列，并求通项公式。（6 分） 19.(本小题 10 分) 已知分别为三个内角的对边，向量，，。 (1) 求; (2) 若，，. 求的面积。 20.(10 分) 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上。 (1) 求椭圆的方程； (2) 若点，都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上，求直线的斜率。 选做题题目 选做题：请考生在第 21、22 题中选择一题作答。如果两题都做，则按所做的第 21 题计分。作答时，请写清题号。 21 题（本小题 10 分） 已知，。 (Ⅰ) 当时，求； (Ⅱ) 若，求实数的取值范围。 22 题（本小题 10 分） 已知实部为正数的复数满足，且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上。 (1) 求复数； (2) 若复数为纯虚数，求实数的值。 2025届湖南省益阳市对口高考数学第一次模拟考试数学试题答案 1. 答案：A 解析：已知全集，集合，。 计算。 则其补集。 2. 答案：C 解析：不等式可化为。 因式分解得，解得。 3. 答案：D 解析：点到直线 的距离公式： 化简得，解得或。 4. 答案：A 解析：若且，则必有（充分性成立）； 若且，可能就在平面内（例如在平面内垂直于）从而不满足（必要性不成立）。故为充分不必要条件。 5. 答案：B 解析：底面是边长为 2 的正方形，面积 ；侧面是边长为 2 的等边三角形，面积 。 表面积 。 6. 答案：B 解析： A：平行于同一直线的两个平面可能平行也可能相交，错误。 B：两平行平面间的平行线段长度相等，正确。 C：直线与平面不平行时，可能与平面内某直线平行（如与平面相交且平面内存在与平行的线），错误。 D：直线不垂直于平面时，平面内仍可以有直线垂直于，错误。 因此选 B。 7. 答案：D 解析： A：第二象限，所以，正确。 B：由得，，，，正确。 C：，正确。 D：横坐标变为原来的 2 倍，周期变为原来 2 倍，得到，不是，错误。 因此错误选项是 D。 8. 答案：C 解析： 9. 答案：C 解析：分层抽样，在 “不喜欢的男性青年观众” 中抽取了 6 人，该组共 30 人，抽样比为： 总人数 120 人，则。 10. 答案：B 解析：点关于轴的对称点为，反射光线相当于从出发与圆相切。 设反射光线斜率，方程为，即。 圆心到直线距离等于半径 1： 解得或，对应选项 B。 11.答案： 解析：。 由 得。 。 12.答案： 解析：， 由题解集为，得且，解得。 13.答案： 解析：甲乙都不跑中间两棒，中间两棒只能从剩下的 5 人中选取排列： 种。 剩下两棒从剩余 5 人（包含甲乙及未被选中的 3 人）中任选 2 个排列： 种。 总方法数 种。 14.答案： 解析：圆心 ，半径 ，点 到圆心距离 。 由勾股定理：。 15.答案： 解析：等差数列 。 得 。 通项 ，当 时，，，故 最大值为 。 16 题 (1) 设等比数列公比为， 得 代入 (1)： 所以 (2) 17 题 答案：（1） （2）分布列见解析；， 解析： 。 （1）。 （2）。 18 题 答案：（1）； （2） 解析： （1）； ； 。 （2），， 两式相减得 。 设 ，则 ，且 。 所以 为首项 6、公比 2 的等比数列，。 故 。 19 题 解：(1) 由得，由正弦定理得： 化简得，即 ，，，即 。 又，，故 ，即。 (2) 由得， 两边取模平方： 代入，，： 整理得，解得（负根舍去）。 故。 20 题参考答案 (1) 求椭圆方程 离心率，点在椭圆上： 又，且， 因此： 代入椭圆方程： 椭圆方程为： (2) 求直线 AB 的斜率 设，中点在线段上（不包括端点）。 由，可设坐标为，其中。 在椭圆上，满足： 两式作差（点差法）： 代入中点关系： 由，消去得： 即 。 所以直线的斜率为。 21 题答案 解： (Ⅰ) 先化简集合：，即。 当时，，因此。 (Ⅱ) 由得。 因为恒成立，故，结合子集条件列不等式： 解得，即实数的取值范围为。 解析：本题考查集合描述法、交集与并集运算、子集定义。(Ⅰ) 代入求出集合，再与求交集；(Ⅱ) 由并集性质转化为子集关系，列不等式求解参数范围。 22 题答案 解： (1) 设。 由得：。 计算： 该复数对应点在一、三象限角平分线上，即实部与虚部相等： 结合与，解得，因此。 (2) 由 (1) 得，代入表达式： 该复数为纯虚数，需满足： 解得。 解析：(1) 设复数代数形式，结合模长条件与角平分线性质列方程求解；(2) 代入共轭复数化简，利用纯虚数 “实部为 0、虚部不为 0” 的条件列方程求解。 学科网（北京）股份有限公司 $