第三章 微专题3 等时圆模型【核心精讲精练】-2027届高三物理一轮复习讲义●分层对点训练

该高中物理高考复习讲义聚焦等时圆模型专题，涵盖竖直圆、水平圆基础构型及摩擦修正、临界分析等拓展考点，按考向预测、核心梳理、考点突破、过关限时的逻辑架构，通过考点筛查、解题范式归纳、真题演练等环节，帮助学生系统构建运动与力的关系认知，突破几何构图等难点。 资料以科学思维培养为核心，创新采用“模型拆解+变式拓展”教学策略，如通过例1-4对比不同倾角轨道时间关系，引导学生建构等时圆通用分析模型，结合40分钟分层限时训练（单选至解答题），强化科学推理与实战能力，助力学生高效掌握高考高频考点，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

第三章 运动和力的关系 微专题3　等时圆模型 复习导航 01 考向预测●明考向 对标核心素养，研判高考命题趋势 02 核心梳理●明考点 筛出章节考点，划定复习侧重 03 考点突破●破重难 拆解核心考点，归纳解题范式 04 过关限时●练实战 限定答题时长，模拟考场实战 【考向预测●明考向】 等时圆模型包含竖直圆、水平圆两类基础构型，涵盖质点沿光滑弦下滑时间相等核心结论、有摩擦修正后的时间比较、端点不在圆周上的拓展临界分析、多轨道最值时间判断，题型多为选择定性判断与小型计算填空；结合近三年考频，标准光滑等时圆时间推导、不同倾角光滑轨道时长对比年年稳定考查，存在动摩擦因数、轨道分段粗糙的变式拓展交替命题，常联动牛顿第二定律、匀变速直线运动公式综合设问，极易混淆最高点/最低点两种等时圆适用条件，几何构图找轨道倾角是主要失分点，考频稳步提升；预测2027年会强化双圆嵌套、斜面上等效等时圆、带初速度下滑的复合陌生情境，重点深化有摩擦时下滑时间不等的原理文字说理，增设多条轨道求最短下滑时间临界几何构型定量分析题型，融合斜面牛顿第二定律、板块受力分析串联设问，命题侧重依托基础模型与变形场景，结合受力求加速度、利用几何关系联立运动学公式比较或求解下滑时间的力学模型综合考查。 【核心梳理●明考点】 1.“等时圆”模型 所谓“等时圆”是指物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。 2.模型的三种情况 (1)物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦从其上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。 (2)物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。 (3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，物体沿不同的光滑弦上端由静止开始过切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 【考点突破●破重难】 例1 (2026·江苏南通期中)如图所示，虚线是竖直平面内的圆，固定的光滑细杆交于圆的最低点O。现套在杆上的小球甲、乙同时从图示位置由静止释放，并运动到O点，上述整个过程中两球的速度大小v随时间t变化的关系正确的是(　　) 【答案】B 【解析】设杆与竖直方向的夹角为θ，圆的半径为R，根据牛顿第二定律有mgcos θ=ma，解得小球下滑的加速度为a=gcos θ，由速度与位移关系式有v2=2ax，其中x=2Rcos θ，联立解得v=2cos θ，由题图可知θ甲>θ乙，则乙到达O点的速度大于甲;小球的运动时间t==2，可知两球运动时间相等，故B正确，A、C、D错误。 例2 如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3∶2∶1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为(　　) A.∶∶1 B.(-)∶(-1)∶1 C.3∶2∶1 D.1∶1∶1 【答案】A 【解析】过P点作公切线的垂线，交各圆于A'、B'、C'点，如图所示，则tAP=tA'P，tBP=tB'P，tCP=tC'P，由h=gt2得t=∝，设最小圆的直径为d，则tAP∶tBP∶tCP=tA'P∶tB'P∶tC'P=∶∶=∶∶1，故A正确。 例3 (2026·江苏泰州一模)如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　) A.tAB=tCD=tEF B.tAB>tCD>tEF C.tAB<tCD<tEF D.tAB=tCD<tEF 【答案】B 【解析】如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G点，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B正确。 例4 如图所示，在竖直墙面上有A、B两点，地面上有M点，A、M连线与水平面成45°角，B点在A点上方，C点位于M点正上方且与A等高。现在AM、BM之间架设光滑轨道，让三个小球a、b、c分别由静止从A、B、C三点分别沿轨道AM、BM运动和自由下落，不计空气阻力，则a、b、c运动到地面所需的时间ta、tb、tc关系是(　　) A.tb>ta>tc B.tb>ta=tc C.ta=tb=tc D.ta=tb<tc 【答案】A 【解析】以C为圆心，AC为半径作圆，如图所示，根据“等时圆”原理可知，从圆上各点向最低点引弦，从该点达到最低点经过的时间相等，则从圆上A、E、D点到达M点的时间相等。由于c球在圆内C点释放，则c球最先到达M点，b球在圆外B点释放，b球最后到达M点，所以tb>ta>tc，故A正确。 【过关限时●练实战】 （40分钟） 一、单选题 1．（2026·山西太原·二模）如图所示，在竖直平面内有一大圆环，其中O为圆心，AB为竖直直径，OP与直径AB的夹角为α，PC与AB平行。现有一小圆环分别套在粗糙杆PB、PC、PD上，分别由P点运动到B、C、D点，运动时间为、、，其中小圆环直径略大于粗糙杆的直径，摩擦因数，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当落点在PC右侧时，延长PO交圆于E点，过P点作圆的切线，设PD与切线夹角为，如图所示 根据几何关系可知 根据牛顿第二定律可得 解得 根据位移时间关系可得 解得，则运动时间与无关，即 当沿PB运动时，根据牛顿第二定律可得 根据几何关系可知 根据位移时间关系可得 解得，则，故ACD错误、B正确。 故选B。 2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）xOy为竖直平面，从M（4m，5m）点向圆心在O点，半径为9m的大圆环边缘架有若干条光滑的轻杆，每条轻杆上套一小环，从M点由静止释放，g取10m/s2，则小环从释放到滑到大圆环边缘的最短时间为（　　） A．1s B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，过M点作一个圆心在M正下方的大圆的内切圆，内切圆的半径为r，圆心为(4m，y0)，则有 联立解得r=5m 根据等时圆模型有 解得 故选B。 3．（2025·安徽安庆·二模）如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3:2:1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为（　　） A． B． C．3:2:1 D．1:1:1 【答案】A 【详解】根据等时圆模型，如图所示 只需要求出A′P、B′P、C′P，的时间之比，设最小圆的直径为d，则 故选A。 4．（25-26高三上·山东淄博·期末）某玩具装置如图所示，竖直面内固定三根光滑直杆、、，其上端点分别为、、，位于的正上方，、。套在杆上的小圆环分别从、、三点由静止沿、、滑下，滑到下端点的时间分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以OB为直径做等时圆，交AO于D点，如图 由等时圆可知，圆环从B、C、D三点滑到O点的时间相等，可知。 故选D。 5．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，圆环和点在同一竖直平面内，在环上取一点与连成光滑直轨道，一物块由静止开始从点滑向圆环。是圆环的最高点，是圆环的最右端，是圆环与地面的接触点，是与环的交点，为圆心，是与环的交点，物块滑到圆环上所需的最短时间为（　　） A．沿轨道运动的时间 B．沿轨道运动的时间 C．沿轨道运动的时间 D．沿轨道运动的时间 【答案】C 【详解】如图所示 过点画一竖直线，以此作为斜边，再分别以作为直角边，构造直角三角形，可见过D的直角三角形的斜边最短，对应的等时圆半径最小，则沿轨道运动的时间最短，故选C。 6．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在竖直面内有一圆环，为水平线。圆周上有三根互成的光滑杆、、，每根杆上各套着一个小球，将这些小球从三根杆的顶端分别下滑至点，所用的时间分别为，则其关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】审题可知点并不是圆的最低点，无法直接使用“等时圆”模型，但可间接使用，以点为最低点，取合适的竖直半径作等时圆，使点落在圆周上，圆周交与点，如图所示 由等时圆结论可知 由图可知， 故 故选B。 7．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，在竖直平面内有ac、abc、adc三个细管道，ac沿竖直方向，abcd是一个矩形，将三个小球同时从a点静止释放，忽略一切摩擦，不计拐弯时的速度损失，当竖直下落的小球运动到c点时，另两个小球的位置关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设ac=d，∠acb=α，则沿ac运动的球到达c点的时间 沿abc运动的球在ab斜面上运动的加速度 到达b点的时间 沿adc运动的球在ad斜面上运动的加速度 到达d点的时间 因t1=t2=t3，可知当竖直下落的小球运动到c点时，另两个小球分别到达b点和d点。 故选B。 8．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示，圆环竖直固定放置在水平面上，两个光滑轨道固定在圆环上，两轨道与竖直方向的夹角均为，分别经过圆环的最低点、圆心，甲、乙两小球分别从轨道的最高点由静止开始释放，，则甲、乙到达斜面底端的速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆环的半径为，由等时圆原理，甲的运动时间等于沿竖直方向的直径做自由落体的运动时间，由 可得 乙的运动位移为，对乙受力分析，由牛顿第二定律，加速度 由，可得 由此可得 斜面的倾角相等，甲、乙的加速度相等，由可得甲、乙到达斜面底端的速度之比为 故选B。 9．（24-25高三下·江西·阶段检测）某次洪灾紧急救援行动中，江西鹰潭蓝天救援队发现一灾民被困在水中礁石上。如图所示，礁石可看作一半球，其最高点纵截面圆心为O，半径为R，离礁石最近的岸上有一定点A，已知A点距离水面高为H，OA=L，水面上礁石最右端离岸水平距离x<H（x未知），现设计从A点架设一条倾斜的光滑滑道到礁石上，要求救援队员从滑道顶端由静止下滑到达礁石表面所用时间最短，则最短时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示 AB垂直水面于B点，过A点作一个圆心在AB上的竖直圆，使圆与礁石半圆表面相切于P点，由于 x<H 圆心必定在AB之间，设半径为r。根据等时圆规律，沿 AP 下滑必定时间最短，且最短时间，有 解得最短时间为 连接必定与P三点共线。有几何关系得 解得 可得最短时间为 故选D。 10．（24-25高三上·湖北·阶段检测）某儿童立体游乐场，在水平一、二、三层平台之间建造了三个滑梯BA、CA、CB，三个滑梯分别位于三个平行的竖直平面内。侧视图如图所示，滑梯可看作光滑的斜面。其中AB与水平面的夹角、CA与CB间的夹角均为。小朋友从三个滑梯顶端均由静止开始下滑，到达该滑梯底端所用的时间分别为、、。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，以ABC三点构建一个竖直面内的圆，A为圆与第一层水平面的切点，由题可知弦切角等于圆周角，所以A为最低点，AB、AC为圆的两条弦，根据等时圆知识可知 故选D。 二、多选题 11．（25-26高三上·山西·阶段检测）如图所示，平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，y轴沿竖直方向。可伸缩的光滑细杆一端位于O点，另一端位于点，将小环套在杆上从O点由静止释放后，经时间滑到细杆的另一端P点；现将细杆伸缩绕O点旋转后使另一端位于点，还将小环从O点静止释放，要使小环滑到细杆的另一端点Q的时间仍为，则满足要求的Q点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设细杆与轴正方向夹角为，小环质量为，小环沿细杆下滑时，沿细杆方向，根据牛顿第二定律有 解得 设细杆长度为，小环从静止释放，根据运动学公式 细杆一端在点，另一端坐标为，则细杆长度为 又因为 所以 进一步整理得 若运动时间仍为，由 可知，Q点坐标涉及的表达式值应与第一次一致（处于同一等时圆中），对于第一次，表达式的值为 A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D正确。 故选BD。 12．（25-26高三上·全国·一轮复习）如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环（未画出），两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是（　　） A．t1＝t2 B．t2>t3 C．t1<t2 D．t1＝t3 【答案】BCD 【详解】设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d无初速度释放的小滑环到达a点的时间相等，即tca＝t1＝t3 而由c→a与由O→b滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相等，初速度均为零，但加速度aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca 即t2>t1＝t3 故选BCD。 13．（24-25高三上·福建厦门·期末）如图所示，竖直圆环中有多条起始于A点的光滑轨道，其中AB通过环心O并保持竖直。一质点分别自A点沿各条轨道下滑，初速度均为零。那么，质点沿各轨道下滑的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，加速度越大 B．质点沿着轨道AB下滑，时间最短 C．轨道与AB夹角越小（AB除外），滑到底端时速率越大 D．无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同 【答案】CD 【详解】A．设轨道与竖直线AB的夹角为θ，则根据牛顿第二定律可得加速度为 可知质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，加速度越小，故A错误； BD．设，则倾斜轨道的长度为，根据运动学公式可得 解得 可知无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同，故B错误，D正确； C．根据运动学公式可得 可得质点滑到底端时速率为 可知轨道与AB夹角越小（AB除外），滑到底端时速率越大，故C正确。 故选CD。 三、解答题 14．（24-25高三上·陕西渭南·阶段检测）如图所示，半径为R的圆环固定在竖直面内，圆环的圆心为O，最低点为A，AB、AC、BD是固定在圆周上的三个光滑斜面，B、C、D都在圆环的圆周上，AB与竖直方向的夹角为，BD与AC平行，BD经过圆心O。让小球1从B点由静止释放沿着AB运动到A点，让小球2从C点由静止释放沿着AC运动到A点，让质量为m的小球3从B点由静止开始在沿BD斜向下的恒力F（大小未知）作用下运动到D点，三个小球均视为质点。已知小球1、3的运动时间相等，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，求： (1)小球2从C点运动到A点的时间； (2)小球1到达A点时的速度大小； (3)恒力F的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题知，CA与水平方向的夹角为，对小球2，根据牛顿第二定律有 解得 根据几何关系，可得位移为 又 解得 （2）由题知，BA与水平方向的夹角为，对小球1，根据牛顿第二定律有 解得 根据几何关系，可得位移为 又 联立解得 故小球1到达A点时的速度大小为 （3）由题知，小球1、3的运动时间相等，3球下滑的位移为2R，则有 解得 由题知，CA与水平方向的夹角为，对小球3，根据牛顿第二定律有 解得 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 运动和力的关系 微专题3　等时圆模型 复习导航 01 考向预测●明考向 对标核心素养，研判高考命题趋势 02 核心梳理●明考点 筛出章节考点，划定复习侧重 03 考点突破●破重难 拆解核心考点，归纳解题范式 04 过关限时●练实战 限定答题时长，模拟考场实战 【考向预测●明考向】 等时圆模型包含竖直圆、水平圆两类基础构型，涵盖质点沿光滑弦下滑时间相等核心结论、有摩擦修正后的时间比较、端点不在圆周上的拓展临界分析、多轨道最值时间判断，题型多为选择定性判断与小型计算填空；结合近三年考频，标准光滑等时圆时间推导、不同倾角光滑轨道时长对比年年稳定考查，存在动摩擦因数、轨道分段粗糙的变式拓展交替命题，常联动牛顿第二定律、匀变速直线运动公式综合设问，极易混淆最高点/最低点两种等时圆适用条件，几何构图找轨道倾角是主要失分点，考频稳步提升；预测2027年会强化双圆嵌套、斜面上等效等时圆、带初速度下滑的复合陌生情境，重点深化有摩擦时下滑时间不等的原理文字说理，增设多条轨道求最短下滑时间临界几何构型定量分析题型，融合斜面牛顿第二定律、板块受力分析串联设问，命题侧重依托基础模型与变形场景，结合受力求加速度、利用几何关系联立运动学公式比较或求解下滑时间的力学模型综合考查。 【核心梳理●明考点】 1.“等时圆”模型 所谓“等时圆”是指物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。 2.模型的三种情况 (1)物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦从其上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。 (2)物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。 (3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，物体沿不同的光滑弦上端由静止开始过切点滑到下端所用时间相等，如图丙所示。 【考点突破●破重难】 例1 (2026·江苏南通期中)如图所示，虚线是竖直平面内的圆，固定的光滑细杆交于圆的最低点O。现套在杆上的小球甲、乙同时从图示位置由静止释放，并运动到O点，上述整个过程中两球的速度大小v随时间t变化的关系正确的是(　　) 例2 如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3∶2∶1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为(　　) A.∶∶1 B.(-)∶(-1)∶1 C.3∶2∶1 D.1∶1∶1 例3 (2026·江苏泰州一模)如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　) A.tAB=tCD=tEF B.tAB>tCD>tEF C.tAB<tCD<tEF D.tAB=tCD<tEF 例4 如图所示，在竖直墙面上有A、B两点，地面上有M点，A、M连线与水平面成45°角，B点在A点上方，C点位于M点正上方且与A等高。现在AM、BM之间架设光滑轨道，让三个小球a、b、c分别由静止从A、B、C三点分别沿轨道AM、BM运动和自由下落，不计空气阻力，则a、b、c运动到地面所需的时间ta、tb、tc关系是(　　) A.tb>ta>tc B.tb>ta=tc C.ta=tb=tc D.ta=tb<tc 【过关限时●练实战】 （40分钟） 一、单选题 1．（2026·山西太原·二模）如图所示，在竖直平面内有一大圆环，其中O为圆心，AB为竖直直径，OP与直径AB的夹角为α，PC与AB平行。现有一小圆环分别套在粗糙杆PB、PC、PD上，分别由P点运动到B、C、D点，运动时间为、、，其中小圆环直径略大于粗糙杆的直径，摩擦因数，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）xOy为竖直平面，从M（4m，5m）点向圆心在O点，半径为9m的大圆环边缘架有若干条光滑的轻杆，每条轻杆上套一小环，从M点由静止释放，g取10m/s2，则小环从释放到滑到大圆环边缘的最短时间为（　　） A．1s B． C． D． 3．（2025·安徽安庆·二模）如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3:2:1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为（　　） A． B． C．3:2:1 D．1:1:1 4．（25-26高三上·山东淄博·期末）某玩具装置如图所示，竖直面内固定三根光滑直杆、、，其上端点分别为、、，位于的正上方，、。套在杆上的小圆环分别从、、三点由静止沿、、滑下，滑到下端点的时间分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，圆环和点在同一竖直平面内，在环上取一点与连成光滑直轨道，一物块由静止开始从点滑向圆环。是圆环的最高点，是圆环的最右端，是圆环与地面的接触点，是与环的交点，为圆心，是与环的交点，物块滑到圆环上所需的最短时间为（　　） A．沿轨道运动的时间 B．沿轨道运动的时间 C．沿轨道运动的时间 D．沿轨道运动的时间 6．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在竖直面内有一圆环，为水平线。圆周上有三根互成的光滑杆、、，每根杆上各套着一个小球，将这些小球从三根杆的顶端分别下滑至点，所用的时间分别为，则其关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 7．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）如图所示，在竖直平面内有ac、abc、adc三个细管道，ac沿竖直方向，abcd是一个矩形，将三个小球同时从a点静止释放，忽略一切摩擦，不计拐弯时的速度损失，当竖直下落的小球运动到c点时，另两个小球的位置关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）如图所示，圆环竖直固定放置在水平面上，两个光滑轨道固定在圆环上，两轨道与竖直方向的夹角均为，分别经过圆环的最低点、圆心，甲、乙两小球分别从轨道的最高点由静止开始释放，，则甲、乙到达斜面底端的速度之比为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·江西·阶段检测）某次洪灾紧急救援行动中，江西鹰潭蓝天救援队发现一灾民被困在水中礁石上。如图所示，礁石可看作一半球，其最高点纵截面圆心为O，半径为R，离礁石最近的岸上有一定点A，已知A点距离水面高为H，OA=L，水面上礁石最右端离岸水平距离x<H（x未知），现设计从A点架设一条倾斜的光滑滑道到礁石上，要求救援队员从滑道顶端由静止下滑到达礁石表面所用时间最短，则最短时间为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·湖北·阶段检测）某儿童立体游乐场，在水平一、二、三层平台之间建造了三个滑梯BA、CA、CB，三个滑梯分别位于三个平行的竖直平面内。侧视图如图所示，滑梯可看作光滑的斜面。其中AB与水平面的夹角、CA与CB间的夹角均为。小朋友从三个滑梯顶端均由静止开始下滑，到达该滑梯底端所用的时间分别为、、。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高三上·山西·阶段检测）如图所示，平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，y轴沿竖直方向。可伸缩的光滑细杆一端位于O点，另一端位于点，将小环套在杆上从O点由静止释放后，经时间滑到细杆的另一端P点；现将细杆伸缩绕O点旋转后使另一端位于点，还将小环从O点静止释放，要使小环滑到细杆的另一端点Q的时间仍为，则满足要求的Q点的坐标是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·全国·一轮复习）如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环（未画出），两个滑环从O点无初速度释放，一个滑环从d点无初速度释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a或b所用的时间。下列关系正确的是（　　） A．t1＝t2 B．t2>t3 C．t1<t2 D．t1＝t3 13．（24-25高三上·福建厦门·期末）如图所示，竖直圆环中有多条起始于A点的光滑轨道，其中AB通过环心O并保持竖直。一质点分别自A点沿各条轨道下滑，初速度均为零。那么，质点沿各轨道下滑的过程中，下列说法中正确的是（　　） A．质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，加速度越大 B．质点沿着轨道AB下滑，时间最短 C．轨道与AB夹角越小（AB除外），滑到底端时速率越大 D．无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同 三、解答题 14．（24-25高三上·陕西渭南·阶段检测）如图所示，半径为R的圆环固定在竖直面内，圆环的圆心为O，最低点为A，AB、AC、BD是固定在圆周上的三个光滑斜面，B、C、D都在圆环的圆周上，AB与竖直方向的夹角为，BD与AC平行，BD经过圆心O。让小球1从B点由静止释放沿着AB运动到A点，让小球2从C点由静止释放沿着AC运动到A点，让质量为m的小球3从B点由静止开始在沿BD斜向下的恒力F（大小未知）作用下运动到D点，三个小球均视为质点。已知小球1、3的运动时间相等，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，求： (1)小球2从C点运动到A点的时间； (2)小球1到达A点时的速度大小； (3)恒力F的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $