专题二 带电粒子运动 的临界多解问题 讲义 -2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

该高中物理讲义围绕“带电粒子运动的临界多解问题”，通过知识框架系统梳理核心内容。知识点1提炼有界磁场临界的相切条件，结合矩形、圆形边界场景，用思维导图呈现“相切法”“缩放圆法”等解题逻辑。知识点2按电性、速度方向等分类多解问题，用对比表格归纳分析策略，体现运动和相互作用观念及模型建构。 讲义亮点在于考向分层设计与方法指导。考向1以“粒子垂直边界射出求磁场宽度”例题，引导运用几何关系建立方程，培养科学推理能力。考向2通过“电性不确定的多解选择题”，强调分类讨论思维，提升质疑创新素养。例题、变式与练习题梯度递进，基础生可掌握临界条件分析，优秀生能拓展周期性边界等复杂情境，为教师实施精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题二 带电粒子运动的临界多解问题 知识点1 有界磁场临界问题 有界磁场临界问题的核心是轨迹圆与边界相切的条件。 “轨迹圆与直线边界相切”时，圆心到边界距离等于半径R；“轨迹圆与圆形边界相切”时，两圆圆心距等于两圆半径之和(外切)或半径之差(内切)。 粒子在矩形边界磁场中的临界分析： 从某边射入后，能否从对边射出？看轨迹半径R是否大于入射点到对边的距离 从某边射入后，能否从邻边射出？看轨迹的圆心角是否超过临界值 “恰好射出”=轨迹圆与边界相切，“恰好打不到”=轨迹圆刚好不与边界相交 磁场圆与轨迹圆的关系(缩放圆法)： 粒子速度大小不变、方向变化→轨迹半径相同，圆心在以入射点为圆心R为半径的圆上移动 粒子速度方向不变、大小变化→轨迹圆心在入射点速度垂线上移动 用“相切法”找临界轨迹：画出一族轨迹圆，找到刚好与边界相切的那一个 本考点涉及的问题需要熟练运用勾股定理(R²=(Rd)²+L²等)和三角函数建立几何方程。 知识点2带电粒子在磁场中的多解问题 带电粒子在磁场中的多解问题由不确定因素导致，核心是“分类讨论、逐个分析”。 一、电性不确定导致的轨迹双解： 正电荷受洛伦兹力方向与负电荷相反，导致轨迹圆偏转方向相反(顺时针vs逆时针) 解题时先假设粒子带正电画一个轨迹，再假设带负电画另一个轨迹 二、速度方向不确定导致的动态圆问题： 速率相同但方向不同→所有可能轨迹半径相同，圆心分布在“以入射点为圆心、以R为半径”的圆上 关键找临界轨迹：轨迹圆与边界相切/轨迹圆过某定点 三、周期性边界导致的多解： 两个相邻反向等宽磁场区域：粒子在磁场1中顺时针转半圆、在磁场2中逆时针转半圆，完成一个“S形”运动周期。每周期侧移2d(d为磁场宽度)，经n个周期总侧移2nd，需结合边界尺寸确定n的取值范围 环形/筒形磁场中多次碰撞：用“等分圆周法”——将整圆K等分，每个等分对应一次碰撞 通解答案必须带n的取值范围(由几何约束解出)，如“n=1,2,…,k” 四、多解答案规范：通解表达式+n的取值范围+必要时分正负电性讨论。 考向1 临界问题 【例1】如图，在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场中磁场的边界竖直。一质量为、电荷量为的电荷以初速度（方向与边界成斜向下）从磁场左侧进入后恰好垂直磁场右边界射出。不计电荷重力。求： (1)通过粒子在磁场中的偏转方向，判断该粒子带正电还是负电； (2)有界磁场的宽度； (3)改变粒子初速度大小，若粒子刚好没能从磁场右边界射出，求电荷在磁场中运动的时间。 【答案】(1)带正电 (2) (3) 【详解】（1）粒子的速度方向由斜向下逐渐转为水平向右，速度方向沿逆时针方向偏转。磁场方向垂直纸面向里时，正电荷所受洛伦兹力使粒子做逆时针圆周运动，故粒子带正电 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 整理得 入射点到圆心的半径与水平方向成，如图 射出点速度水平，故磁场宽度满足，整理得 （3）临界情况下，粒子的圆轨迹与磁场右边界相切，随后从左边界另一交点射出。如图： 取水平方向向右为基准，从圆心指向入射点的半径方向为，从左边界再次射出时半径方向为，粒子沿逆时针方向转过的圆心角为，由洛伦兹力提供向心力，有 所以周期为= 因此= 【变式】如图所示，在直角三角形abc区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束带正电粒子电量为q，质量为m，从ab边中点O以不同初速度沿平行于ac方向射入该磁场区域，已知ab边长为L，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： (1)部分粒子能从ab边射出磁场，且这些粒子在磁场中运动的时间相同，该时间t为多少？ (2)能从ac边射出磁场的粒子，其速度v需满足什么条件？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图甲所示，粒子从ab边射出磁场，则在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为，运动时间均相等。 由 且 得周期 时间 （2）当粒子的轨迹与ac边相切时，有 得 由 得 当粒子的轨迹与bc边相切，有 由 得 故从ac边射出的粒子在磁场内运动的速度大小范围为 考向2 带电粒子电性不确定的多解 【例2】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况    带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得 根据线速度和周期的关系，可得 联立解得 由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为 故选AD。 【变式】如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，质量为m、电荷量为q，以与边界成角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度的大小范围。（不计粒子重力） 【答案】或者 【详解】当粒子带负电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点下边界射出，此时有最大速度，轨迹如下图 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力，得 联立解得 则，该带电粒子的速度的大小范围为 当粒子带正电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点上边界射出，此时有最大速度，轨迹图如下 由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力，得 联立解得 则，该带电粒子的速度的大小范围为 考向3 磁场方向不确定的多解 【例3】垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据 可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为，经磁场变化的一个周期的终点为，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为 故选D。 【变式】（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感应强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直于MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小可能小于 C．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期一定是 D．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于 【答案】AD 【详解】AB．电子沿NP方向经过P点，根据几何关系，电子运动的半径满足 根据洛伦兹力提供向心力有 可得电子的速度大小 当时，则电子的速度小于，A错误，B正确； CD．设垂直NP边过E点时，磁场变化周期一定是在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间的两倍，否则无法从垂直NP边过E点射出，设最大半径为R，则 电子偏转的角度 解得 磁场变化周期，C正确，D错误。 电子偏转的角度由决定，要满足电子垂直于NP边过E点，必须为，因此一定为，C正确，D错误。 故选AD。 考向4 临界状态不唯一的多解 【例4】如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，粒子运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 将代入，只有选项A符合，故选A。 【变式】如图所示，平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为的带电粒子以初速度从y轴上点沿x轴正方向开始运动，经过电场后从x轴上的点进入磁场，粒子恰能不经过第Ⅲ象限又回到第Ⅰ象限。不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第8次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中仅受电场力的作用做类平抛运动，由P到Q，由牛顿第二定律可得 竖直方向，有     水平方向，有 联立解得， （2）粒子在Q点的速度大小为 解得 设与x轴正方向夹角为，则 可知 在磁场中洛伦兹力提供向心力，有 又根据几何关系 联立解得， （3）如图所示 粒子从第Ⅳ象限进入第Ⅰ象限后做类似斜抛运动，速度方向与x轴正方向成37°，大小为，由运动对称性知CD沿x轴方向距离与DE沿x轴方向距离相等，则 粒子第n次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标为 又 解得 当时，可得 1．如图所示，匀强磁场的边界AB和CD相互平行，宽度为d，磁场垂直纸面向外，磁感应强度B大小未知，一带正电的粒子以速度v0垂直于磁场方向射入，入射方向与AB边界夹角为θ=60°，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。求： (1)若粒子垂直磁场边界CD射出磁场，求磁感应强度大小B1； (2)若粒子恰好未从CD边界射出磁场，求磁感应强度大小B2。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子垂直射出磁场，轨迹如图所示 由几何关系可得 得 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 （2）粒子恰好未从射出，说明轨迹与相切，轨迹如图所示 由几何关系得 得 洛伦兹力提供向心力 解得 2．如图所示，左、右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量绝对值为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，求粒子入射速度v0的最大值？（粒子不计重力） 【答案】若粒子带正电，最大速度为；若粒子带负电，最大速度为 【详解】粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 解得半径为 若粒子带正电，最大半径的轨迹如图 根据几何关系可知 解得半径为 则粒子入射速度最大值为 若粒子带负电，运动轨迹如图 根据几何关系可知 同理解得速度最大值为 3．如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立方程，解得 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可和，粒子在磁场中的偏转角为 所以运动时间为 联立解得 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角为 α2=90° 所以粒子在磁场中运动的时间为 4．如图甲所示，平面直角坐标系xOy第一、四象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），规定垂直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间t的变化规律如图乙所示，B0为已知量；第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E（未知）的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由点A（−L，0）处以大小为v0的初速度射入电场区域，其方向平行于xOy平面且与x轴正方向成θ=60°的夹角。t=0时刻粒子经y轴上的P点沿x轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的影响，忽略粒子的重力。求： (1)匀强电场的电场强度E； (2)从t=0至时间内，粒子动量变化量的大小； (3)粒子在时刻的x坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在P点的速度 设粒子由A至P运动的时间为t0，则 在沿y轴正方向上，根据动量定理，有 联立解得 （2）t=0时刻，粒子在P点，其速度为 设粒子在磁感应强度大小分别为B0、2B0，磁场中做圆周运动的周期分别为T1、T2，则周期分别为， 其中横轴1份时间单位 为3份时间单位 粒子运动轨迹如图所示 可知当时刻，粒子速度恰好沿x轴正方向，大小为 此段时间内，粒子动量变化量大小为 （3）设粒子在磁感应强度大小分别为B0、2B0磁场中运动的半径分别为r1、r2，根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 同理有 为4份时间单位 粒子运动轨迹如图所示 可知当时，粒子在x轴上的坐标为 可得 5．在如图所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图所示．一个质量为m、带电量为的粒子不计重力，在时刻平行于oc边从o点射入磁场中．已知正方形边长为L，规定磁场向外的方向为正，磁感应强度的最大值为求： 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期； 若带电粒子不能从oa边界射出磁场，磁感应强度B变化周期T的最大值； 要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子磁场时的速度． 【答案】；； ，． 【分析】根据洛伦兹力做向心力求解；根据几何关系求得带电粒子不能从oa边界射出磁场时在时间内转过的中心角，从而求得T和周期的关系，进而得到T的最大值；根据两粒子运动得到带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场的运动轨迹，进而得到轨道半径，由时间内转过的中心角求得周期T；最后根据洛伦兹力做向心力由轨道半径求得运动速度． 【详解】粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，故洛伦兹力做向心力，则有：，所以，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期； 粒子在前半周期和后半周期的偏转方向相反，根据时间相同可得：经过一个周期T后粒子速度回到竖直向上； 那么，根据粒子偏转，当时，粒子一直向上运动，不可能从oa边界射出磁场； 若，则粒子必在时从oa边界射出磁场 当时，由几何关系可得：当磁场第一次改变方向后的轨迹与边界oa相切时如右图所示， ； ，所以，，即磁场变向前运动轨迹的圆心角为； 所以，磁场每次变向的最长时间，粒子不从oa边界射出磁场； 故，所以，T的最大值； 由可知：经过时间T后粒子运动重复，故根据几何关系可得：粒子经过时间T后在对角线ob上； 那么，根据粒子在前半周期和后半周期的偏转方向相反，运动时间相同可得：前后半周期的位移相同，故粒子经过后在对角线ob上； 那么，粒子运动轨迹如图所示， ； 所以，由几何关系可得：每次磁场改变前粒子偏转的圆心角为，且从粒子进入到离开，磁场改变了偶数次；故有：，所以，； 设磁场一共变化了n次，则由几何关系可得：；故轨道半径，，； 根据洛伦兹力做向心力可得：，所以，粒子磁场时的速度； 【点睛】带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力做向心力，故常根据速度及磁感应强度求得半径，然后根据几何关系求得运动轨迹；或反过来由轨迹根据几何关系求解半径，进而求得速度、磁感应强度． 6．如图所示，正方形区域内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，，，大量带正电的粒子从点沿与边成37°的方向以不同的初速度射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为，电荷量为，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 (1)判断粒子的轨迹是否可能与边相切。若能相切，则求出粒子的速度；若不能相切，则请通过计算说明原因； (2)若带电粒子从边离开磁场，求的取值范围。 【答案】(1)不能相切；原因见解析 (2) 【详解】（1）假设相切，切点为，则有 由几何关系 解得 可得 说明P点在bc延长线上，所以不能相切。 （2）当粒子轨迹与边相切时，如图所示， 设此时初速度为，轨道半径为，由几何关系可得 又 解得 当粒子运动轨迹与边相切时，如图3所示， 设此时初速度为，轨道半径为，由几何关系可得 又 解得 综上可得 7．如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 【答案】（1）（2） 【详解】（1）根据牛顿第二定律 得 粒子运动轨迹如图 OP长度为 （2）粒子从点离开一定是从区域Ⅰ与相切离开磁场区域，故 根据几何关系 即 ， 解得 8．如图所示，在直角三角形abc（含边界）区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束质量为m，电荷量为q的带正电粒子从ab边中点O以不同初速度沿平行于ac方向射入该磁场区域。已知ac边长为L，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： (1)粒子想从ab边射出的最大速度； (2)粒子想从bc边射出的最小速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可知，当粒子的轨迹与边相切时，有 此时对应的为最大速度，由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 （2）由图可知，当粒子的轨迹与边相切时，有 此时对应的为最小速度，由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二 带电粒子运动的临界多解问题 知识点1 有界磁场临界问题 有界磁场临界问题的核心是轨迹圆与边界相切的条件。 “轨迹圆与直线边界相切”时，圆心到边界距离等于半径R；“轨迹圆与圆形边界相切”时，两圆圆心距等于两圆半径之和(外切)或半径之差(内切)。 粒子在矩形边界磁场中的临界分析： 从某边射入后，能否从对边射出？看轨迹半径R是否大于入射点到对边的距离 从某边射入后，能否从邻边射出？看轨迹的圆心角是否超过临界值 “恰好射出”=轨迹圆与边界相切，“恰好打不到”=轨迹圆刚好不与边界相交 磁场圆与轨迹圆的关系(缩放圆法)： 粒子速度大小不变、方向变化→轨迹半径相同，圆心在以入射点为圆心R为半径的圆上移动 粒子速度方向不变、大小变化→轨迹圆心在入射点速度垂线上移动 用“相切法”找临界轨迹：画出一族轨迹圆，找到刚好与边界相切的那一个 本考点涉及的问题需要熟练运用勾股定理(R²=(Rd)²+L²等)和三角函数建立几何方程。 知识点2带电粒子在磁场中的多解问题 带电粒子在磁场中的多解问题由不确定因素导致，核心是“分类讨论、逐个分析”。 一、电性不确定导致的轨迹双解： 正电荷受洛伦兹力方向与负电荷相反，导致轨迹圆偏转方向相反(顺时针vs逆时针) 解题时先假设粒子带正电画一个轨迹，再假设带负电画另一个轨迹 二、速度方向不确定导致的动态圆问题： 速率相同但方向不同→所有可能轨迹半径相同，圆心分布在“以入射点为圆心、以R为半径”的圆上 关键找临界轨迹：轨迹圆与边界相切/轨迹圆过某定点 三、周期性边界导致的多解： 两个相邻反向等宽磁场区域：粒子在磁场1中顺时针转半圆、在磁场2中逆时针转半圆，完成一个“S形”运动周期。每周期侧移2d(d为磁场宽度)，经n个周期总侧移2nd，需结合边界尺寸确定n的取值范围 环形/筒形磁场中多次碰撞：用“等分圆周法”——将整圆K等分，每个等分对应一次碰撞 通解答案必须带n的取值范围(由几何约束解出)，如“n=1,2,…,k” 四、多解答案规范：通解表达式+n的取值范围+必要时分正负电性讨论。 考向1 临界问题 【例1】如图，在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场中磁场的边界竖直。一质量为、电荷量为的电荷以初速度（方向与边界成斜向下）从磁场左侧进入后恰好垂直磁场右边界射出。不计电荷重力。求： (1)通过粒子在磁场中的偏转方向，判断该粒子带正电还是负电； (2)有界磁场的宽度； (3)改变粒子初速度大小，若粒子刚好没能从磁场右边界射出，求电荷在磁场中运动的时间。 【变式】如图所示，在直角三角形abc区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束带正电粒子电量为q，质量为m，从ab边中点O以不同初速度沿平行于ac方向射入该磁场区域，已知ab边长为L，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： (1)部分粒子能从ab边射出磁场，且这些粒子在磁场中运动的时间相同，该时间t为多少？ (2)能从ac边射出磁场的粒子，其速度v需满足什么条件？ 考向2 带电粒子电性不确定的多解 【例2】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）    A． B． C． D． 【变式】如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，质量为m、电荷量为q，以与边界成角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度的大小范围。（不计粒子重力） 考向3 磁场方向不确定的多解 【例3】垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式】（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感应强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直于MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区域，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．电子沿NP方向经过P点，则电子的速度大小可能小于 C．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期一定是 D．电子垂直于NP边过E点，则磁场变化周期可能小于 考向4 临界状态不唯一的多解 【例4】如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（    ） A． B． C． D． 【变式】如图所示，平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为的带电粒子以初速度从y轴上点沿x轴正方向开始运动，经过电场后从x轴上的点进入磁场，粒子恰能不经过第Ⅲ象限又回到第Ⅰ象限。不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第8次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标。 1．如图所示，匀强磁场的边界AB和CD相互平行，宽度为d，磁场垂直纸面向外，磁感应强度B大小未知，一带正电的粒子以速度v0垂直于磁场方向射入，入射方向与AB边界夹角为θ=60°，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力。求： (1)若粒子垂直磁场边界CD射出磁场，求磁感应强度大小B1； (2)若粒子恰好未从CD边界射出磁场，求磁感应强度大小B2。 2．如图所示，左、右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量绝对值为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，求粒子入射速度v0的最大值？（粒子不计重力） 3．如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 4．如图甲所示，平面直角坐标系xOy第一、四象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），规定垂直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间t的变化规律如图乙所示，B0为已知量；第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E（未知）的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由点A（−L，0）处以大小为v0的初速度射入电场区域，其方向平行于xOy平面且与x轴正方向成θ=60°的夹角。t=0时刻粒子经y轴上的P点沿x轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的影响，忽略粒子的重力。求： (1)匀强电场的电场强度E； (2)从t=0至时间内，粒子动量变化量的大小； (3)粒子在时刻的x坐标。 5．在如图所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图所示．一个质量为m、带电量为的粒子不计重力，在时刻平行于oc边从o点射入磁场中．已知正方形边长为L，规定磁场向外的方向为正，磁感应强度的最大值为求： 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期； 若带电粒子不能从oa边界射出磁场，磁感应强度B变化周期T的最大值； 要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子磁场时的速度． 6．如图所示，正方形区域内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，，，大量带正电的粒子从点沿与边成37°的方向以不同的初速度射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为，电荷量为，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 (1)判断粒子的轨迹是否可能与边相切。若能相切，则求出粒子的速度；若不能相切，则请通过计算说明原因； (2)若带电粒子从边离开磁场，求的取值范围。 7．如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 8．如图所示，在直角三角形abc（含边界）区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束质量为m，电荷量为q的带正电粒子从ab边中点O以不同初速度沿平行于ac方向射入该磁场区域。已知ac边长为L，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： (1)粒子想从ab边射出的最大速度； (2)粒子想从bc边射出的最小速度。 学科网（北京）股份有限公司 $