第一章安培力与洛伦兹力专题三我：带电粒子在叠加场中的运动 讲义-2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

本高中物理讲义聚焦带电粒子在叠加场中的运动核心知识点，先通过表格对比重力场、电场、磁场的力及功的特点，明确重力是否考虑的三种情况，再系统梳理直线运动（平衡条件）、圆周运动（洛伦兹力提供向心力等）的分析方法，构建从场性质到运动规律的学习支架。 该资料按直线运动、圆周运动等考向设计例题与变式，结合具体情境（如复合场中粒子轨迹分析）培养科学思维中的模型建构与科学推理能力，强化运动与相互作用的物理观念。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

专题三 带电粒子在叠加场中的运动 （难） 知识点1 重力场、电场和磁场 1．三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关W＝qU 电场力做功改变电势能 磁场 大小：F＝qvB(v⊥B) 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2．关于是否考虑粒子重力的三种情况 (1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 (2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 (3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 知识点2 带电粒子在叠加场中的直线运动 (1)带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 (2)带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 知识点3 带电粒子在叠加场中的圆周运动 (1)带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 (2)洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。 (3)带电粒子在叠加场若存在合力且不等于洛伦兹力，粒子将做一般曲线运动。解决方法可以用运动的合成与分解。 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运运动 【例1】如图所示，直角坐标系中，第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第三、四象限内有方向垂直于坐标平面向外的相同的匀强磁场。一质量为、电荷量为的粒子从轴上的点（0，）以初速度垂直于轴射入电场，经轴上的点（2L，0）进入第四象限磁场，并垂直于轴进入第三象限。粒子重力不计。求： (1)第一象限内电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小和粒子在第四象限内运动的时间； (3)若想让粒子一进入第三象限就能做匀速直线运动，只需在第三象限内再加一个匀强电场即可，求该匀强电场的场强大小及方向。 【变式】．如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，第二、三象限内存在电场强度大小也为E的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，匀强电场的方向与直线OM垂直。从第一象限的P点以初速度v0水平向左发射质量为m、带电量为q的带正电粒子，粒子经时间运动到O，且从O点进入第三象限后沿OM做直线运动。不计粒子的重力和空气阻力，求： (1)P、O两点间的电势差UPO； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若粒子从O点进入第三象限时撤去第二、三象限内的电场，则粒子出磁场时到O点的距离为多少？ 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动 【例2】如图所示，两块水平放置、相距为2d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口水平对准两板中间位置，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动，进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点，重力加速度大小为g。 (1)求墨滴所带电荷的种类及其电荷量q； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小B。 【变式】如图所示，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从x轴上M点进入电场和磁场，射入时速度方向与x轴正方向夹角为，进入电场和磁场后恰能做匀速圆周运动，然后从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，M、N之间的距离为L，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小和方向。 (2)小球从M点进入时速度的大小。 考向3 带电粒子在叠加场中的变速圆周运动 【例3】如图所示的平面直角坐标系xOy，y轴沿竖直方向。第二象限内有垂直纸面向里、磁感应强度为B1的匀强磁场和水平向左的匀强电场；第三象限内有水平向右、电场强度为E1的匀强电场；第四象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B2的匀强磁场和竖直向上、电场强度为E2的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电小球从M点以某一初速度沿MO做直线运动。已知MO的距离为L、与x轴负半轴的夹角，，，，，重力加速度大小为g，不计空气阻力，忽略电磁场边界效应。求： (1)小球的初速度大小； (2)小球第一次在第四象限运动的时间； (3)小球第三次经过y轴时到M点的竖直距离。 【变式】如图所示，匀强电场水平向右，匀强磁场垂直纸面向外，射线CP与水平方向成37°角，半圆轨道CD与射线CP相切于C点，直径CD与射线CP垂直，一质量为0.8kg的带电小球（视为质点）以的速度从P至C做匀速直线运动，小球从C点无动能损失的进入半圆轨道。小球到达D点时的速度为，此时小球恰好对半圆轨道无压力。小球从D点飞出时，立即撤去磁场。小球离开D点后经过一段时间恰好经过射线CP上的A点（未画出）。小球的电量始终保持不变，不计空气阻力（，，）。求： (1)小球带正电还是带负电？ (2)小球带的电量q与磁感应强度B的乘积（可不用带单位）； (3)小球在半圆轨道内克服摩擦力做的功（结果保留一位小数）； (4)C点到A点的距离（结果可以含根号）。 考向4带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【例4】如图所示，整个空间存在竖直向下的匀强电场，水平虚线下侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一比荷为 的带正电的粒子，从虚线上方的点，以初速度沿水平方向射入电场，经过一段时间从上的（未画出）点进入电磁场区域，、两点间的水平距离为，忽略粒子的重力。求： (1)电场强度的大小； (2)粒子在下侧运动时距离虚线的最远距离； (3)粒子从点射出到第3次通过虚线的时间以及该点到点的水平距离。 【变式】某离子筛选装置的核心结构如图所示，在的区域内存在沿轴正方向的匀强电场和沿垂直纸面向外的匀强磁场。在轴某处放置一块垂直于轴的足够大的挡板。某离子从原点沿轴正方向射入，离子的质量为，电荷量为，离子重力不计。 (1)若离子沿直线运动，求离子的速度大小； (2)若离子入射速度，经过时间离子打在挡板上，求： （ⅰ）离子到达挡板时的速度； （ⅱ）离子打在挡板的位置坐标。 1．如图所示，直角坐标系xOy位于竖直面内，y正轴向上。在第四象限内有沿x轴负方向的匀强电场和垂直坐标平面的匀强磁场（未画出），在第二象限内的P点沿x轴正方向抛出一个质量为m、带电量大小为q的带电小球，抛出时的速度大小为v0，小球从O点进入第四象限，经过O点时速度方向与x轴正向的夹角为45°，小球进入第四象限后做匀速直线运动，小球在第四象限运动到Q点（未画出）时将电场立即改为沿y轴正向，此后小球的运动轨迹刚好与x轴相切。已知重力加速度为g，小球可视为质点，求： (1)小球带什么电性； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小和方向； (3)P、Q两点沿y轴方向的距离。 2．如图所示，空间存在范围足够大的、相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度方向水平向右，磁感应强度方向垂直纸面向里。建立竖直平面内的直角坐标系，轴与电场平行。一比荷，质量为的带正电微粒从坐标原点出发以与轴正方向的夹角为的初速度进入复合场中，恰好做匀速直线运动，当微粒运动到坐标值为（10m，10m）的点时，电场方向突然变为竖直向上（强弱不变），粒子继续运动一段时间后，正好垂直击中y轴上的某点。仅考虑微粒在第一象限内的运动情况，重力加速度取。求： (1)电场强度E的大小； (2)磁感应强度B的大小； (3)粒子在复合场中的运动时间。 3．如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，在第Ⅳ象限存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为、方向垂直于平面向外，电场平行于轴；在第Ⅲ象限存在沿轴正方向的匀强电场，已知场强、的大小相等。一可视为质点、比荷为的带正电的小球，从轴上的点以初速度水平向右抛出，经过轴上的点进入第Ⅳ象限，在第Ⅳ象限恰能做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度，。求： (1)小球从点抛出的初速度大小； (2)小球在第Ⅳ象限的运动的半径； (3)小球从点出发到第二次经过轴负半轴所用的总时间； 4．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向，在矩形区域内有向里的匀强磁场（边界上也有磁场），磁感应强度B大小可调节；其中点的坐标分别为，，，，在第二象限内有竖直向上的匀强电场E，重力加速度为g。现有一质量为m、电荷量为的小球，在a点沿x轴负方向以初速度入射，在矩形区域内恰能做匀速圆周运动。求： (1)匀强电场E的大小； (2)要使小球从边出磁场，磁感应强度B的大小范围； (3)要使小球经过坐标原点O，磁感应强度B的大小。 5．如图所示，水平虚线为分界线，分界线上方有方向水平向左的匀强电场，分界线下方有方向垂直纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场。现将比荷为的带正电小球从分界线上的点以初速度竖直向上抛出，小球在分界线上方的运动轨迹已画出，点为轨迹的最高点，小球从分界线上的点第一次进入分界线下方区域，且小球恰好在分界线下方区域做匀速圆周运动，经磁场偏转一次后又恰好回到点。已知小球到达点时的速度大小为，重力加速度大小为，不计空气阻力。求∶ (1)、两点的高度差。 (2)匀强磁场的磁感应强度大小B； (3)小球从A点出发到返回A点所用的时间t。 6．如图所示，质量为、电荷量为的带正电的小滑块，从半径为的固定四分之一圆弧轨道上自A端由静止滑下，轨道光滑且绝缘。整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中。已知匀强电场的电场强度大小为、方向水平向右，匀强磁场的磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里，重力加速度g取。求： (1)滑块到达C点时的速度大小； (2)在C点时，滑块所受洛伦兹力； (3)在C点时，滑块对轨道的压力大小。 7．如图，两水平放置的平行金属板长为，板间有竖直向下的匀强电场，质量为、电荷量为的带正电粒子以速度从左侧水平射入两板间，从右侧射出时速度方向与水平方向成37°角。以射出点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立坐标系，在第四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。不计粒子的重力，已知，。 (1)求金属板间匀强电场的电场强度大小； (2)求粒子离开匀强磁场的位置到点的距离； (3)若第四象限内再加竖直向下、大小的匀强电场，求粒子在最低点的加速度大小。 8．我国许多科学装置利用电磁场控制和加速带电粒子如图所示，在三维坐标系中，的区域存在沿y轴负方向的匀强电场；的区域存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，两匀强电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为的粒子，从点以初速度沿x轴正方向射入，恰好经过坐标原点O。不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在区域运动的轨迹方程； (3)粒子进入区域后，距xOy平面最远位置的空间坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三 带电粒子在叠加场中的运动 （难） 知识点1 重力场、电场和磁场 1．三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关W＝qU 电场力做功改变电势能 磁场 大小：F＝qvB(v⊥B) 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 2．关于是否考虑粒子重力的三种情况 (1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 (2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 (3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 知识点2 带电粒子在叠加场中的直线运动 (1)带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 (2)带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 知识点3 带电粒子在叠加场中的圆周运动 (1)带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 (2)洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。 (3)带电粒子在叠加场若存在合力且不等于洛伦兹力，粒子将做一般曲线运动。解决方法可以用运动的合成与分解。 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运运动 【例1】如图所示，直角坐标系中，第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第三、四象限内有方向垂直于坐标平面向外的相同的匀强磁场。一质量为、电荷量为的粒子从轴上的点（0，）以初速度垂直于轴射入电场，经轴上的点（2L，0）进入第四象限磁场，并垂直于轴进入第三象限。粒子重力不计。求： (1)第一象限内电场强度的大小； (2)磁感应强度的大小和粒子在第四象限内运动的时间； (3)若想让粒子一进入第三象限就能做匀速直线运动，只需在第三象限内再加一个匀强电场即可，求该匀强电场的场强大小及方向。 【答案】(1) (2)， (3)，方向沿轴负方向 【详解】（1）设粒子在第一象限的加速度为，运动时间为，有 ， 其中 可得 （2）设粒子进入磁场时，速度方向与轴的夹角为，粒子进入磁场时的速度为，有，可得     ，可得     粒子进入第四象限的磁场后做匀速圆周运动，如图，设圆周运动的半径为，有     根据几何关系有     可得     粒子在磁场中做圆周运动的周期为     由几何关系可知在第四象限磁场中转过的圆心角，所以在第四象限内运动的时间   （3）若要使粒子在第三象限内做匀速直线运动，要使静电力与洛伦兹力平衡，即     所以场强，方向沿轴负方向 。 【变式】．如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，第二、三象限内存在电场强度大小也为E的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，匀强电场的方向与直线OM垂直。从第一象限的P点以初速度v0水平向左发射质量为m、带电量为q的带正电粒子，粒子经时间运动到O，且从O点进入第三象限后沿OM做直线运动。不计粒子的重力和空气阻力，求： (1)P、O两点间的电势差UPO； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若粒子从O点进入第三象限时撤去第二、三象限内的电场，则粒子出磁场时到O点的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在第一象限内沿水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零、加速度大小为 的匀加速直线运动，到达点时竖直位移为 由竖直方向运动有 第一象限中电场竖直向下，、两点间电势差 （2）粒子到达 点时，水平方向速度大小仍为，竖直方向速度大小 故粒子进入第三象限时速度大小 粒子沿直线 做直线运动，电场力和洛伦兹力平衡，有 解得 （3）若撤去第二、三象限内的电场，粒子在第三象限中只受洛伦兹力，做匀速圆周运动，轨道半径为 ，由 得 粒子进入第三象限时速度与 轴负方向的夹角为，有 ，得 由圆周运动几何关系可知，粒子出磁场时到 点的距离 解得 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动 【例2】如图所示，两块水平放置、相距为2d的长金属板接在电压可调的电源上。两板之间的右侧区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。将喷墨打印机的喷口水平对准两板中间位置，从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为、带相等电荷量的墨滴。调节电源电压至U，墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动，进入电场、磁场共存区域后，最终垂直打在下板的M点，重力加速度大小为g。 (1)求墨滴所带电荷的种类及其电荷量q； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小B。 【答案】(1)墨滴带负电， (2) 【详解】（1）墨滴在电场区域做匀速直线运动，有 解得 由于电场方向向下，墨滴所受的电场力方向向上，可知墨滴带负电。 （2）墨滴刚进入电场、磁场共存区域时受力分析如图所示 墨滴在该区域做匀速圆周运动，有 墨滴在该区域恰好完成四分之一个圆周运动，则它做圆周运动的半径 解得 【变式】如图所示，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从x轴上M点进入电场和磁场，射入时速度方向与x轴正方向夹角为，进入电场和磁场后恰能做匀速圆周运动，然后从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，M、N之间的距离为L，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小和方向。 (2)小球从M点进入时速度的大小。 【答案】(1)，竖直向上 (2) 【详解】（1）小球在电磁场中做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，即 解得电场强度大小 方向竖直向上 （2）小球做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示 由几何知识可知，小球的轨道半径 小球做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得小球的速度大小 考向3 带电粒子在叠加场中的变速圆周运动 【例3】如图所示的平面直角坐标系xOy，y轴沿竖直方向。第二象限内有垂直纸面向里、磁感应强度为B1的匀强磁场和水平向左的匀强电场；第三象限内有水平向右、电场强度为E1的匀强电场；第四象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B2的匀强磁场和竖直向上、电场强度为E2的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电小球从M点以某一初速度沿MO做直线运动。已知MO的距离为L、与x轴负半轴的夹角，，，，，重力加速度大小为g，不计空气阻力，忽略电磁场边界效应。求： (1)小球的初速度大小； (2)小球第一次在第四象限运动的时间； (3)小球第三次经过y轴时到M点的竖直距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球初速度为v0，根据平衡条件有 得 （2）小球在第四象限内电场力 小球在第四象限做匀速圆周运动有 根据几何关系，小球在第四象限运动时间满足 得 （3）小球在第四象限做圆周运动有 得r=L 小球离开第四象限时，经过y轴的位置为N，ON之间距离 小球过N点时所受合力方向与竖直向下方向的夹角为，有 即 小球在第三象限内做类平抛运动，有 小球从N点运动到再次回到y轴所用时间为t，有 得 小球在与合力垂直方向位移 y轴方向位移 从O到M在竖直方向位移 由 得 【变式】如图所示，匀强电场水平向右，匀强磁场垂直纸面向外，射线CP与水平方向成37°角，半圆轨道CD与射线CP相切于C点，直径CD与射线CP垂直，一质量为0.8kg的带电小球（视为质点）以的速度从P至C做匀速直线运动，小球从C点无动能损失的进入半圆轨道。小球到达D点时的速度为，此时小球恰好对半圆轨道无压力。小球从D点飞出时，立即撤去磁场。小球离开D点后经过一段时间恰好经过射线CP上的A点（未画出）。小球的电量始终保持不变，不计空气阻力（，，）。求： (1)小球带正电还是带负电？ (2)小球带的电量q与磁感应强度B的乘积（可不用带单位）； (3)小球在半圆轨道内克服摩擦力做的功（结果保留一位小数）； (4)C点到A点的距离（结果可以含根号）。 【答案】(1)正电 (2) (3) (4) 【详解】（1）小球在PC间做匀速直线运动，在PC段，小球所受外力的合力为0，小球受到重力、电场力、洛伦兹力，若小球带负电，电场力方向水平向左，洛伦兹力方向垂直于PC向下，合力不可能为0，可知，小球带正电。 （2）结合上述，小球带正电，在PC间做匀速直线运动，对小球进行分析，根据平衡条件有 解得 （3）在D点位置，对小球进行分析，根据牛顿第二定律有 结合上述解得 设小球在CD段克服摩擦力做功为，根据动能定理有 解得 （4）小球离开D点后做类平抛运动，其加速度 小球做类平抛运动，则有 解得 C点到A点的距离 解得 考向4带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【例4】如图所示，整个空间存在竖直向下的匀强电场，水平虚线下侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一比荷为 的带正电的粒子，从虚线上方的点，以初速度沿水平方向射入电场，经过一段时间从上的（未画出）点进入电磁场区域，、两点间的水平距离为，忽略粒子的重力。求： (1)电场强度的大小； (2)粒子在下侧运动时距离虚线的最远距离； (3)粒子从点射出到第3次通过虚线的时间以及该点到点的水平距离。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）带电粒子从点沿水平方向射入电场后，做类平抛运动，竖直方向做匀加速直线运动，则有 又由牛顿第二定律得 水平方向匀速直线运动，则有 解得， （2）粒子运动到点时，竖直方向的速度大小为 粒子运动到点的速度为，与水平方向的夹角为 越过虚线后，将粒子的速度分解为一个水平向右的速度和另一个分速度，其中，水平向右的分速度对应的洛伦兹力与电场力平衡，则有 解得 则有 解得 另一个分速度竖直向下，大小为 则粒子在水平向右的方向做匀速直线运动，另一个分运动是在竖直面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，当与方向相同时粒子的速度最大，此时粒子处在最低点，距离虚线最远，粒子的最大速度为 粒子从到最低点的过程，由动能定理得 解得 （3）粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 粒子做匀速圆周运动的周期为 解得 粒子在磁场中转过半个圆周再次返回到虚线处，所需时间为 该点到点的距离为 粒子第2次通过虚线后，粒子的速度斜向右上方，速度大小为，与水平方向的夹角为，此后粒子在虚线上方做类斜抛运动，竖直方向做类竖直上抛运动，加速度大小为 则粒子从第2次通过虚线到第3次通过虚线的时间为 该过程的水平位移为 粒子从点射出到第3次通过虚线的时间为 该点到点的水平距离为 【变式】某离子筛选装置的核心结构如图所示，在的区域内存在沿轴正方向的匀强电场和沿垂直纸面向外的匀强磁场。在轴某处放置一块垂直于轴的足够大的挡板。某离子从原点沿轴正方向射入，离子的质量为，电荷量为，离子重力不计。 (1)若离子沿直线运动，求离子的速度大小； (2)若离子入射速度，经过时间离子打在挡板上，求： （ⅰ）离子到达挡板时的速度； （ⅱ）离子打在挡板的位置坐标。 【答案】(1) (2)（ⅰ），方向与水平夹角斜向右下；（ⅱ） 【详解】（1）若离子沿直线运动，则要有电场力大小等于洛伦兹力大小，有 可得 （2）将分解为同向的和 则离子的运动可看成的沿轴的匀速直线运动和的匀速圆周运动 设匀速圆周运动半径为，此分运动有 解得 其运动周期有解得 又在场内运动时间可知 （ⅰ）根据左手定则，离子向下偏转，又可知粒子偏转角度 设打在挡板上速度为 则，方向与水平夹角斜向右下 （ⅱ）设打在挡板上的位置坐标为 由，粒子向下偏转，则轴方向圆周运动位移，轴方向圆周运动位移 有 解得 解得 位置坐标为 1．如图所示，直角坐标系xOy位于竖直面内，y正轴向上。在第四象限内有沿x轴负方向的匀强电场和垂直坐标平面的匀强磁场（未画出），在第二象限内的P点沿x轴正方向抛出一个质量为m、带电量大小为q的带电小球，抛出时的速度大小为v0，小球从O点进入第四象限，经过O点时速度方向与x轴正向的夹角为45°，小球进入第四象限后做匀速直线运动，小球在第四象限运动到Q点（未画出）时将电场立即改为沿y轴正向，此后小球的运动轨迹刚好与x轴相切。已知重力加速度为g，小球可视为质点，求： (1)小球带什么电性； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小和方向； (3)P、Q两点沿y轴方向的距离。 【答案】(1)正电 (2)，垂直纸面向里 (3) 【详解】（1）小球在第四象限内做匀速直线运动，若小球带负电，电场力沿x轴正方向，垂直于速度方向的洛伦兹力无论是哪个方向，小球均不可能平衡，则小球必须带正电； （2）根据（1 ）可知，磁场方向一定垂直纸面向里 小球进入第四象限时的速度大小为 小球进入第四象限做匀速直线运动，则小球受力平衡，则有， 解得 （3）当电场沿y轴正向时，小球做匀速圆周运动，作出运动轨迹，如图所示 设圆周运动的半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何关系，可得Q点到x轴的距离 又P点离x轴的距离 因此P、Q两点沿y轴方向的距离 2．如图所示，空间存在范围足够大的、相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度方向水平向右，磁感应强度方向垂直纸面向里。建立竖直平面内的直角坐标系，轴与电场平行。一比荷，质量为的带正电微粒从坐标原点出发以与轴正方向的夹角为的初速度进入复合场中，恰好做匀速直线运动，当微粒运动到坐标值为（10m，10m）的点时，电场方向突然变为竖直向上（强弱不变），粒子继续运动一段时间后，正好垂直击中y轴上的某点。仅考虑微粒在第一象限内的运动情况，重力加速度取。求： (1)电场强度E的大小； (2)磁感应强度B的大小； (3)粒子在复合场中的运动时间。 【答案】(1) (2)1T (3) 【详解】（1）微粒在第一阶段做匀速直线运动，受力平衡。微粒受重力、电场力和洛伦兹力。由左手定则可知洛伦兹力方向垂直速度方向斜向左上方，与竖直方向夹角为。根据平衡条件，水平方向 竖直方向 联立解得 代入数据 （2）微粒运动到点时，电场变为竖直向上，此时电场力竖直向上，与重力平衡，微粒仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。由几何关系，微粒从出发，速度方向与轴成，垂直击中轴说明击中点速度水平，结合圆心在速度垂线上，可知圆心位于轴上，轨道半径 第一阶段中 即 第二阶段中 联立解得 （3）第一阶段运动时间，位移 由 得 则 第二阶段微粒做匀速圆周运动，转过圆心角 周期 运动时间 总时间 3．如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，在第Ⅳ象限存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为、方向垂直于平面向外，电场平行于轴；在第Ⅲ象限存在沿轴正方向的匀强电场，已知场强、的大小相等。一可视为质点、比荷为的带正电的小球，从轴上的点以初速度水平向右抛出，经过轴上的点进入第Ⅳ象限，在第Ⅳ象限恰能做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度，。求： (1)小球从点抛出的初速度大小； (2)小球在第Ⅳ象限的运动的半径； (3)小球从点出发到第二次经过轴负半轴所用的总时间； 【答案】(1)2m/s (2) (3)0.914s 【详解】（1）小球在第I象限做平抛运动，由运动学规律，在水平方向，有 在竖直方向，有 可得， （2）设小球平抛到M点时的速度大小为v，方向与x轴正方向夹角为，竖直分速度为，则 解得 又有 解得 在第IV象限，洛伦兹力提供向心力，有 解得轨道半径 （3）小球第一次在第IV象限运动的时间为 接着，小球沿与y轴成夹角方向进入第III象限，由于电场力和重力大小相等，其合力恰与小球进入第III象限的初速度v方向相反，故小球在第III象限做类竖直上抛运动，则由牛顿第二定律可得 由运动规律可知 则小球从A点出发到第二次经过y轴负半轴所用的总时间为 4．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向，在矩形区域内有向里的匀强磁场（边界上也有磁场），磁感应强度B大小可调节；其中点的坐标分别为，，，，在第二象限内有竖直向上的匀强电场E，重力加速度为g。现有一质量为m、电荷量为的小球，在a点沿x轴负方向以初速度入射，在矩形区域内恰能做匀速圆周运动。求： (1)匀强电场E的大小； (2)要使小球从边出磁场，磁感应强度B的大小范围； (3)要使小球经过坐标原点O，磁感应强度B的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因小球在矩形区域内恰能做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，即 解得 （2）要使小球从边出磁场，作轨迹如图所示 由图可知，要使小球从边出磁场，根据几何关系，可得最小的半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 解得最大的磁感应强度为 根据几何关系，可得最大的半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 解得最小的磁感应强度为 故磁感应强度B的大小范围为 （3）出磁场后，小球做匀速直线运动，要使小球经过坐标原点O，轨迹如图所示 在三角形中，根据几何关系，可得 在三角形中，根据几何关系，可得     联立得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 5．如图所示，水平虚线为分界线，分界线上方有方向水平向左的匀强电场，分界线下方有方向垂直纸面向里的匀强磁场和方向竖直向上的匀强电场。现将比荷为的带正电小球从分界线上的点以初速度竖直向上抛出，小球在分界线上方的运动轨迹已画出，点为轨迹的最高点，小球从分界线上的点第一次进入分界线下方区域，且小球恰好在分界线下方区域做匀速圆周运动，经磁场偏转一次后又恰好回到点。已知小球到达点时的速度大小为，重力加速度大小为，不计空气阻力。求∶ (1)、两点的高度差。 (2)匀强磁场的磁感应强度大小B； (3)小球从A点出发到返回A点所用的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将小球在分界线上方的运动分解，可知小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据运动规律有 解得 （2）设小球到达D点时的速度方向与分界线的夹角为，将小球到达D点时的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，根据几何关系有， 小球从A点运动到D点所用的时间 A、D两点间的距离 设小球在分界线下方做匀速圆周运动的半径为R，根据几何关系有 设小球的质量为m，电荷量为q，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）小球在分界线下方通过的弧长 小球在分界线下方运动的时间 小球从A点出发到返回A点所用的时间 解得 6．如图所示，质量为、电荷量为的带正电的小滑块，从半径为的固定四分之一圆弧轨道上自A端由静止滑下，轨道光滑且绝缘。整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中。已知匀强电场的电场强度大小为、方向水平向右，匀强磁场的磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里，重力加速度g取。求： (1)滑块到达C点时的速度大小； (2)在C点时，滑块所受洛伦兹力； (3)在C点时，滑块对轨道的压力大小。 【答案】(1)2m/s (2)0.1N，方向竖直向下 (3)20.1N 【详解】（1）滑块滑动过程中洛伦兹力不做功，由动能定理得 代入数据解得 （2）根据洛伦兹力大小公式得 由左手定则可知， 方向竖直向下。 （3）在点，受到四个力作用，如图所示 由牛顿第二定律与圆周运动知识得 解得 根据牛顿第三定律压力 ，方向竖直向下。 7．如图，两水平放置的平行金属板长为，板间有竖直向下的匀强电场，质量为、电荷量为的带正电粒子以速度从左侧水平射入两板间，从右侧射出时速度方向与水平方向成37°角。以射出点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立坐标系，在第四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。不计粒子的重力，已知，。 (1)求金属板间匀强电场的电场强度大小； (2)求粒子离开匀强磁场的位置到点的距离； (3)若第四象限内再加竖直向下、大小的匀强电场，求粒子在最低点的加速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在金属板中水平方向做匀速运动，竖直方向做匀加速运动，设粒子在板间运动时间为，粒子离开电场时： 水平方向有     竖直方向的速度为     加速度     射出板间时，速度方向与水平方向成37°，则有     解得     （2）粒子进入磁场的速度为     根据洛伦兹力提供向心力，有     由几何关系，有     解得     （3）设粒子在最低点的速度为，离开轴的最大距离为，则根据动能定理有     在水平方向，根据动量定理，有     即     在最低点，根据牛顿第二定律有     解得 8．我国许多科学装置利用电磁场控制和加速带电粒子如图所示，在三维坐标系中，的区域存在沿y轴负方向的匀强电场；的区域存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，两匀强电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为的粒子，从点以初速度沿x轴正方向射入，恰好经过坐标原点O。不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在区域运动的轨迹方程； (3)粒子进入区域后，距xOy平面最远位置的空间坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在区域仅受电场力作用，做类平抛运动，在x方向，有 在y方向，有 联立解得 （2）在区域，粒子在xOy平面内运动，有 将代入并消去时间t，得 （3）粒子在的区域同时参与两种运动：①沿x轴方向做匀加速直线运动；②在yOz平面内做匀速圆周运动。粒子到达坐标原点O时，沿y轴负方向的分速度为 联立解得 在垂直x轴的yOz平面，粒子做匀速圆周运动，有 联立解得 粒子距xOy平面距离最远时，y坐标和z坐标分别为， 从粒子经过坐标原点O开始计时，粒子距xOy平面距离最远所需时间为 其x坐标为 联立解得 因此，距xOy平面最远位置的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $