重点强化练(十六) 直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线综合应用，以代数法（联立方程、韦达定理）与几何法（定义、光学性质）为核心，构建“概念-方程-位置关系-应用”逻辑链条，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|11题|弦长公式、点差法、向量垂直判定、切线方程求法|从圆锥曲线定义出发，通过标准方程推导位置关系，应用于距离、垂直、轨迹问题| |解答题|5题|联立消元、参数法、数学归纳法|综合运用代数运算与几何直观，解决存在性、证明及数列递推问题，体现模型意识|

重点强化练(十六) 直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.过点Q(1,4)且斜率为1的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,若|AB|=2,则p的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.7 2.[2024·广州模拟] 已知椭圆E:+=1,点A(x0,0),B(-x0,0),且x0>0,则“E上存在点G使AG⊥BG”是“以AB为直径的圆与椭圆E存在公共点”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与直线y=2x+1相交于A,B两点,若弦AB的中点M的横坐标为1,则双曲线C的渐近线方程为 (　 ) A.y=±x B.y=±6x C.y=±x D.y=±x 4.[2024·南通二调] 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,C的准线与x轴交于点A,过A的直线与C在第一象限的交点为M,N,且|FM|=3|FN|,则直线MN的斜率为 (　 ) A. B. C. D. 5.[2025·漳州模拟] 已知双曲线C:x2-y2=4,点M为C上一点,过M分别作C的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAMB(O为坐标原点)的面积为 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.6 6.[2025·河北五校联考] 已知抛物线x2=4y,P为直线y=-1上一点,过P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,则·的值为 (　 ) A.0 B.1 C.-2 D.-1 7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,如图,用于加热水和水壶中食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线经过抛物线的反射后,集中于它的焦点.已知一束平行于x轴的入射光线与抛物线y2=2px(p>0)的交点为A(4,4),则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 (　 ) A. B. C. D. 8.[2025·广州模拟] 已知点A,B是椭圆+=1上不关于长轴对称的两点,且A,B两点到点M(m,0)的距离相等,则实数m的取值范围为 (　 ) A. B.(-1,1) C. D.(-2,2) 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.[2024·茂名二模] 已知双曲线C:4x2-y2=1,直线l:y=kx+1(k>0),则下列说法正确的是 (　 ) A.若k=2,则l与C有且只有一个公共点 B.若k=2,则l与C有且只有一个公共点 C.若l与C有两个公共点,则2<k<2 D.若l与C没有公共点,则k>2 10.已知O为坐标原点,直线y=x+1与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,抛物线C的焦点为F,则下列选项正确的是 (　 ) A.|AB|=8 B.OA⊥OB C.+=1 D.线段AB的中点到x轴的距离为2 11.[2025·福建福州模拟] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与圆M:x2+(y-8)2=4相切,P为C上的动点,N是圆M上的动点,过P作l的垂线,垂足为Q,C的焦点为F,则下列结论正确的是 (　 ) A.点F的坐标为(2,0) B.|PN|+|PQ|的最小值为2-2 C.存在两个点P,使得|PM|=|PQ| D.若△PFQ为正三角形,则圆M与直线PQ相离 三、填空题:本题共3小题. 12.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,线段AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是　　　　.  13.[2024·北京海淀区二模] 已知双曲线C:-y2=1,则C的离心率为　　　　;以C的一个焦点为圆心,且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程为　　　　　　.(写出一个即可)  14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c.点M为双曲线C与圆E:x2+y2-x+c2=0的交点,直线OM(O为坐标原点)交双曲线C于另一点T,且∠MF1T∈,则=　　　　,双曲线C的离心率的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,且离心率为. (1)求双曲线C的标准方程和焦点坐标; (2)设双曲线C的右焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,求|AB|的值. 16.[2024·青岛二模] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1. (1)求椭圆E的标准方程; (2)过右焦点F2的直线l与椭圆E交于B,C两点,E的右顶点为A,若AB∥CF1,求直线l的方程. 17.[2025·八省联考] 已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0). (1)求C的方程; (2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点; (3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程. 18.[2024·辽宁部分学校三模] 设抛物线C的方程为y2=4x,M为直线l:x=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B(点A在第一象限). (1)当点M的坐标为时,求过M,A,B三点的圆的方程. (2)求证:直线AB恒过定点. (3)当m变化时,直线l上是否存在点M,使△MAB为直角三角形?若存在,求出有几个这样的点M;若不存在,请说明理由. 19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C相交于A,B两点,△AOB面积的最小值为(O为坐标原点).按照如下方式依次构造点Fn(n∈N*):点F1的坐标为(p,0),直线AFn,BFn与C的另一个交点分别为An,Bn,直线AnBn与x轴的交点为Fn+1,设点Fn的横坐标为xn. (1)求p的值. (2)求数列{xn}的通项公式. (3)数列{xn}中,是否存在连续的三项(按原顺序)构成等差数列?若存在,指出所有这样的连续三项;若不存在,请说明理由. 参考答案 重点强化练(十六) 1.D　[解析] 由题得直线方程为y=x+3,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2py+6p=0,令Δ>0,则p>6,所以y1+y2=2p,y1·y2=6p,由|AB|=,得2=×,可得p=7.故选D. 2.A　[解析] 若AG⊥BG,则G在以AB为直径的圆上且不与A,B中任意一点重合,故充分性成立;当x0=2时,以AB为直径的圆与椭圆E的 公共点为A,B,E上不存在点G使AG⊥BG,故必要性不成立.故选A. 3.A　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×(2×1+1)=6,=2.因为A,B两点均在双曲线C上,所以所以-=0,则===2×=6,即=,故双曲线C的渐近线方程是y=±x.故选A. 4.A　[解析] 根据题意可得,抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,则A(-1,0).设直线MN的方程为y=k(x+1),k>0,由可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则Δ=(2k2-4)2-4k2·k2=-16(k-1)(k+1)>0,解得-1<k<1,故0<k<1.设M(x1,y1),N(x2,y2),0<x2<x1,则x1+x2=,x1x2=1.如图,过M,N分别作准线的垂线,垂足分别为M',N',由抛物线的定义知|FM|=|MM'|,|FN|=|NN'|,又|FM|=3|FN|,所以|MM'|=3|NN'|,即1+x1=3(1+x2),得x1=2+3x2,所以x1x2=(2+3x2)x2=1,又0<x2<x1,所以x2=,x1=3,所以x1+x2==3+,又k>0,所以k=.故选A. 5.B　[解析] 如图,双曲线C:x2-y2=4,即-=1为等轴双曲线,两条渐近线的夹角为90°,则四边形OAMB为矩形.设点M(m,n),则m2-n2=4,点M(m,n)到渐近线x-y=0的距离为,点M(m,n)到渐近线x+y=0的距离为,则四边形OAMB的面积为·==2.故选B. 6.A　[解析] 如图,设A,B,由y=x2求导得y'=x,则直线PA的方程为y=(x-x1)+,即y=x-,同理可得直线PB的方程为y=x-,联立直线PA与直线PB的方程,可得P,由点P在直线y=-1上,得=-1,即x1x2=-4,故·=·=--=-- =0.故选A. 7.C　[解析] 因为点A(4,4)在抛物线上,所以16=8p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则焦点为F(1,0).如图,设反射光线与抛物线的另一个交点为B.因为反射光线经过点A(4,4)及焦点F(1,0),所以kAB=kAF==,所以反射光线所在直线AB的方程为y=(x-1).由 解得或所以B.由两点间的距离公式可得|AB|= =.故选C. 8.B　[解析] 如图,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线段AB的中点为G(x0,y0),则两式相减得+=0,所以=-,所以=-,所以=-.因为M(m,0),|MA|=|MB|,所以MG⊥AB,当x0=0时,可得m=0,当x0≠0时,可得=,所以x0=4m,因为-4<x0<4且x0≠0,所以-4<4m<4且4m≠0,所以-1<m<1且m≠0.综上,实数m的取值范围为(-1,1).故选B. 9.ABD　[解析] 因为双曲线的方程为4x2-y2=1,所以其渐近线方程为y=±2x,又因为直线l:y=kx+1过定点(0,1), 所以若k=2,则l与C有且只有一个公共点,故A正确;由 消去y得(4-k2)x2-2kx-2=0,当k=2时,4-k2≠0,且Δ=(-2k)2+8(4-k2)=0,所以l与C相切,所以若k=2,则l与C有且只有一个公共点,故B正确;若l与C有两个公共点,则解得2<k<2或0<k<2,故C错误;若l与C没有公共点,则 解得k>2,故D正确.故选ABD. 10.AC　[解析] 由抛物线C:x2=4y,可得焦点为F(0,1),则直线y=x+1过抛物线C的焦点,由消去x整理得y2-6y+1=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=6,y1y2=1.对于A,由抛物线的定义可得|AB|=y1+y2+p=6+2=8,所以A正确;对于B,由·=x1x2+y1y2=(y1-1)(y2-1)+y1y2=2y1y2-(y1+y2)+1=-3≠0,所以OA与OB不垂直,所以B错误;对于C,由y2-6y+1=0,解得y=3±2,不妨令y1=3+2,y2=3-2,由抛物线的定义可得|AF|=4+2,|BF|=4-2,则+=+=1,所以C正确;对于D,线段AB的中点到x轴的距离为=3,所以D错误.故选AC. 11.ABC　[解析] 对于A,由圆M:x2+(y-8)2=4,得圆心为M(0,8),半径r=2,因为准线l:x=-与圆M:x2+(y-8)2=4相切,所以=r=2,可得p=4,所以F(2,0),故A正确;对于B,根据抛物线的定义知|PQ|=|PF|,可得|PN|+|PQ|=|PN|+|PF|,如图①,当M,N,P,F四点共线,且N,P在线段MF上时,|PN|+|PF|取得最小值,最小值为|FM|-r=-2=2-2,故B正确;对于C,若|PM|=|PQ|,则|PM|=|PF|,作线段MF的中垂线l1,根据题意知M(0,8),F(2,0),设B为线段MF的中点,则B(1,4),直线l1的斜率为,根据点斜式可知直线l1的方程为y-4=(x-1),与y2=8x联立,得y2-32y+120=0,则Δ=322-4×120=544>0,可知该方程有两个解,所以存在两个点P,使得|PM|=|PQ|,故C正确;对于D,如图②,设准线l与x轴交于点A,根据△PFQ为正三角形,可得∠PQF=60°,则∠AQF=30°,又|FA|=4,所以|QA|=4,又圆M与y轴的交点为(0,6),(0,10),6<|QA|=4<10,所以圆M与直线PQ相交,故D错误.故选ABC. 12.y2=8x　[解析] 设点A,B的横坐标分别为x1,x2,由线段AB的中点到y轴的距离是2,得=2,即x1+x2=4,由直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,得|AB|=x1++x2+=4+p=8,解得p=4,所以此抛物线的方程是y2=8x. 13.　(x+)2+y2=1(或(x-)2+y2=1)　[解析] 双曲线C:-y2=1的离心率为=.双曲线的一条渐近线的方程为y=x,即x-2y=0,故焦点(-,0)与(,0)到渐近线x-2y=0的距离均为=1,则以C的一个焦点为圆心,且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程为(x+)2+y2=1或(x-)2+y2=1. 14.3　　[解析] 由题意知点M在双曲线C的右支上,F1(-c,0),F2(c,0), 设=μ,μ>1,点M(x0,y0),则=μ2,即(x0+c)2+=μ2[(x0-c)2+],则(μ2-1)+(μ2-1)-2c(μ2+1)x0+(μ2-1)c2=0,即+-x0+c2=0,又+-x0+c2=0,所以2(μ2+1)=(μ2-1),所以μ2=9,即μ=3,所以=3.因为点M在双曲线的右支上,所以|MF1|-|MF2|=2a,又=3,所以|MF1|=3a,|MF2|=a.由对称性可得O为线段MT的中点,|F1T|=|MF2|=a. 由cos∠F1OM+cos∠F1OT=+ =0,得c2=5a2-|OM|2,在△MF1T中,|MT|2=a2+9a2-2×a×3a×cos∠MF1T=10a2-6a2cos∠MF1T,所以c2=5a2-= ,由∠MF1T∈,得cos∠MF1T∈,故∈,所以的最小值为,故双曲线C的离心率的最小值为. 15.解:(1)因为双曲线C的虚轴长为2,离心率为,所以2b=2,=, 又c2=a2+b2,所以a2=3,b2=1,c2=4,所以双曲线C的标准方程为-y2=1,左、右焦点的坐标分别为(-2,0),(2,0). (2)由(1)知F(2,0),易得直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB), 由得(1-3k2)x2+12k2x-12k2-3=0,所以xA+xB=,xAxB=, 因为线段AB的中点的横坐标为3,所以xA+xB==6, 解得k2=1,所以xAxB=,则(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=62-4×=6, 则|AB|== =2. 16.解:(1)由题意得 可得所以椭圆E的标准方程为+=1. (2)设C(x1,y1),B(x2,y2),因为AB∥CF1,所以|CF1|∶|AB|=|F1F2|∶|F2A|=2∶1,所以y1=-2y2①. 设直线l的方程为x=my+1,由得(3m2+4)y2+6my-9=0,则把①式代入上式,得得=, 解得m=±,所以直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0. 17.解:(1)因为椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,又因为椭圆C的离心率为,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以C的方程为+=1. (2)证明:由M0(1,4),F1(-1,0)得直线F1M0的斜率为2,线段F1M0的中点坐标为(0,2),所以线段F1M0的垂直平分线的方程为y=-x+2. 由得x2-2x+1=0,解得x=1,故y=,所以线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点. (3)方法一:设M(x0,y0),当y0=0时,线段F1M的垂直平分线的方程为x=,若线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,则=±2,解得x0=5或-3. 当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线的方程为y=-+=-x+. 由得3x2+4=12,即x2-x+-12=0.因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点, 所以Δ=-4=0,即-36-=0,即+(2-14)+-18-32x0-15=0, 即+(2-14)+(x0+1)2(x0+3)(x0-5)=0,可得+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0,即(++2x0+1)(+-2x0-15)=0.因为++2x0+1=(x0+1)2+>0,所以+-2x0-15=0.又点(5,0),(-3,0)的坐标也满足上式,故点M的轨迹为圆,该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16. 方法二:设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点P, 则当点P不是椭圆C长轴的端点时,如图,线段F1M的垂直平分线l即为椭圆C在点P处的切线, 也为∠F1PM的平分线, 设线段F1M的中点为E,作∠F1PF2的平分线PH,根据椭圆的光学性质得PH⊥l,所以 ∠F1PE+∠F1PH=90°,则∠F2PH+∠EPM=90°, 故∠F2PF1+∠F1PM=180°, 所以M,P,F2三点共线,所以|MF2|=|MP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=4, 所以点M的轨迹是以F2为圆心,4为半径的圆(除去点(5,0),(-3,0)). 当点P是椭圆C长轴的端点时,点M为(5,0)或(-3,0),满足|MF2|=4. 综上,点M的轨迹为圆,该圆的方程为(x-1)2+y2=16. 18.解:(1)如图,当点M的坐标为时,设过点M的切线方程为y-=k(x+1)(k≠0), 与y2=4x联立,得y-=k,整理得y2-y+k+=0(*), 令Δ=1-4·=0,解得k=-2或k=,分别代入(*)得y=-1或y=4,故A(4,4),B, 故直线MA的方程为y=x+2,直线MB的方程为y=-2x-. 由kMA·kMB=-1,得直线MA与直线MB互相垂直,则过M,A,B三点的圆的直径为线段AB. 设该圆上任意一点P的坐标为(x,y),则=(x-4,y-4),=,所以·=(x-4)+(y-4)(y+1)=0, 从而过M,A,B三点的圆的一般方程为x2+y2-x-3y-3=0. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 设切线MA的方程为y-y1=t(x-x1),与y2=4x联立,得y2-y-tx1+y1=0,则1-4·(-tx1+y1)=0,所以t=,故切线MA的方程为y-y1=(x-x1), 即y1y=2(x+x1),同理可得切线MB的方程为y2y=2(x+x2), 又切线MA,MB都过点M(x0,y0),所以y1y0=2(x0+x1),y2y0=2(x0+x2),即点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标均满足方程y0y=2(x0+x), 故直线AB的方程为y0y=2(x0+x). 又M为直线l:x=-m(m>0)上任意一点, 故直线AB的方程为y0y=2(x-m),从而直线AB恒过定点(m,0). (3)由(2)知y1,y2是方程y0y=2的两实根,故 又x1=,x2=,x0=-m, 所以·=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=4m2+m-4m-=(m-1)(+4m). ①当m=1时,·=0,直线l上任意一点M均满足MA⊥MB,即△MAB为直角三角形; ②当0<m<1时,·<0,∠AMB>,即△MAB不可能为直角三角形; ③当m>1时,·>0,∠AMB<,只需考虑y0≠0时的情况, 因为kAB===,kMA==,所以kAB·kMA=·, 若kAB·kMA=-1, 则·=-1,整理得(x0+2)=-4, 又因为x0=-m,所以(m-2)=4, 方程(m-2)=4有解的充要条件是m>2,经验证,当m>2,y0<0时,有MA⊥AB(MB⊥AB的情况同理), 即当m>2时,直线l上存在两个点M,使△MAB为直角三角形. 综上所述,当m=1时,直线l上存在无数个M,使△MAB为直角三角形; 当m>2时,直线l上存在两个点M,使△MAB为直角三角形; 当0<m<1或1<m≤2时,直线l上不存在点M,使△MAB为直角三角形. 19.解:(1)如图,设直线AB:x=ty+, 由得y2-2pty-p2=0, 则Δ=(-2pt)2+4p2>0, yAyB=-p2,yA+yB=2pt. 由题可知S△AOB=|OF||yA-yB|== =≥, 因为△AOB面积的最小值为,且p>0,所以=,即p=1. (2)设An(xan,yan),Bn(xbn,ybn),A(xa,ya),B(xb,yb),当直线AAn的斜率不存在时,直线AAn的方程为x=xa,当直线AAn的斜率存在时, 由题可知=2xan,=2xa,两式作差可得(yan+ya)(yan-ya)=2(xan-xa),即=, 所以==, 所以直线AAn的方程为y-ya=(x-xa),整理得(yan+ya)y=2x+yanya,当直线AAn的斜率不存在时,直线AAn的方程满足上式. 同理得直线BBn的方程为(ybn+yb)y=2x+ybnyb. 令y=0,可得易知直线AB的方程为(ya+yb)y=2x+yayb, 因为直线AB过焦点F,所以有yayb=-1,直线AnBn的方程为(yan+ybn)y=2x+yanybn, 令y=0,可得-2xn+1=yanybn, 由可知(-2xn)2=yanybnyayb,因为yayb=-1,-2xn+1=yanybn,所以xn+1=2, 两边取对数可得log2xn+1=2log2xn+1,即log2xn+1+1=2(log2xn+1), 由题可知x1=1,所以数列{log2xn+1}是以log2x1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以log2xn+1=2n-1, 故xn=. (3)不存在,理由如下: 假设存在,则一定有2xn+1=xn+xn+2, 因为xn=,所以=+=(+), 化简得1=+,显然>0,>1,所以+>1,所以1=+在n∈N*上无解,故不存在连续的三项(按原顺序)构成等差数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $