6.4　数列求和专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列求和核心方法，通过基础到综合的层级设计，系统训练裂项相消、错位相减等技巧，强化从通项推导到求和策略选择的数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础强化练|4题|裂项相消、错位相减、分组求和|由前n项和求通项→根据通项特征选择求和方法，体现逻辑推理| |综合提升练|5题|公式法、错位相减、裂项证明|结合递推关系、不等式证明，深化运算能力与数学表达|

6.4　数列求和 基础强化练 1.(2026广东佛山一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1+c·2n(c为常数,且c≠-2). (1)求{an}的通项公式; (2)若a2=2,令bn=,求数列{bnbn+1}的前n项和Tn. 2.(2026湖南邵阳一模)已知数列{an}是等差数列,且a1=1,2a3=a4+3,数列{bn}满足b1=3,bn+1=3bn+an. (1)求{an}的通项公式,并证明数列{bn+n}是等比数列; (2)若数列{cn}满足cn=an+bn,求{cn}的前n项和Tn. 3.(2026福建福州段考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,a1=3,b1=1,b2+a2=8,3a7-4b2=3a5. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若cn=设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n. 4.(2026浙江宁波期末)已知数列{an},3(2n-1)an+1-(2n+1)an=0,a1=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn. 综合提升练 1.(2026江西吉安一模)已知数列{an}的各项均不为0,其前n项积为Tn,且an+=1(n∈N*),记数列的前n项和为Sn,则S2 026= (　 　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(多选)(2026辽宁三校协作体一模)记Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn=man-1,m为实数,则　 (　 　) A.当{an}是等比数列时,m∈{m|m≠0,且m≠1} B.当m=-1时,an+an+2>2an+1 C.当m=2时,数列{nan}的前n项和为(n-1)·2n+1 D.当m=3时,数列第7项的值最大 3.(2026河北保定一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,-=. (1)求Sn; (2)若bn=(-1)n,求数列{bn}的前n项和. 4.(2026陕西西安交大附中月考)已知各项为正数的数列{an}满足:a1=1,Sn=,其中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn=a1+a2+a3+…+an. (i)求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn; (ii)若cn=且数列{dn}满足di=,证明:dn≤1. 5.(2026陕西商洛镇安中学模拟)已知正项等比数列{an}满足a1=1,且20,a3,3a2成等差数列,正项数列{bn}的前n项和为Tn,Tn=anbn. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:>+; (3)记数列的前n项和为Sn,证明:>-. 参考答案 基础强化练 1.(2026广东佛山一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1+c·2n(c为常数,且c≠-2). (1)求{an}的通项公式; (2)若a2=2,令bn=,求数列{bnbn+1}的前n项和Tn. 解析　(1)n=1时,S1=22+c·2=4+2c, n≥2时,Sn-1=2n+c·2n-1, 所以an=Sn-Sn-1=2n+1+c·2n-(2n+c·2n-1)=2n+c·2n-1, 所以an= (2)由a2=22+2c=2,得c=-1, 所以an= 所以bn== 所以bn·bn+1=所以T1=1,n≥2时,Tn=b1·b2+b2·b3+b3·b4+…+bn·bn+1=1+1-+-+…+-=2-, 当n=1时,符合上式,所以Tn=2-,n∈N*. 2.(2026湖南邵阳一模)已知数列{an}是等差数列,且a1=1,2a3=a4+3,数列{bn}满足b1=3,bn+1=3bn+an. (1)求{an}的通项公式,并证明数列{bn+n}是等比数列; (2)若数列{cn}满足cn=an+bn,求{cn}的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,由a1=1,2a3=a4+3,得2(a1+2d)=a1+3d+3,解得d=2. 所以an=1+2(n-1)=2n-1. 由bn+1=3bn+an得bn+1=3bn+2n-1, 即bn+1+n+1=3(bn+n),又b1+1=4, 所以{bn+n}是一个以4为首项,3为公比的等比数列. (2)由(1)可得bn+n=4×3n-1, 所以bn=4×3n-1-n. 所以cn=an+bn=4×3n-1+n-1. 所以Tn=+=2(3n-1)+=2×3n+-2. 3.(2026福建福州段考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,a1=3,b1=1,b2+a2=8,3a7-4b2=3a5. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若cn=设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q≠0),由a1=3,b1=1,b2+a2=8,3a7-4b2=3a5,得 所以解得d=2,q=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,bn=b1qn-1=3n-1. (2)由(1)知,Sn==n(n+2),因此当n为偶数时,cn==-,当n为奇数时,cn=3n-1,所以T2n=c1+c2+c3+c4+c5+…+c2n-1+c2n=(30+32+34+…+32n-2)+-+-+…+-=+-=+-. 4.(2026浙江宁波期末)已知数列{an},3(2n-1)an+1-(2n+1)an=0,a1=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解析　(1)由3(2n-1)an+1-(2n+1)an=0,可得=,当n≥2时,an=a1···…··=××=(2n-1), 又因为a1=也适合上式, 所以an=(2n-1),n∈N*. (2)由(1)知Sn=1×+3×+5×+…+(2n-1)①, Sn=1×+3×+5×+…+(2n-1)②, ①-②,得Sn=+2×+2×+2×+…+2×-(2n-1) =+-(2n-1)=-(2n+2),所以Sn=1-(n+1). 综合提升练 1.(2026江西吉安一模)已知数列{an}的各项均不为0,其前n项积为Tn,且an+=1(n∈N*),记数列的前n项和为Sn,则S2 026= (　A　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(多选)(2026辽宁三校协作体一模)记Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn=man-1,m为实数,则　 (　ACD　) A.当{an}是等比数列时,m∈{m|m≠0,且m≠1} B.当m=-1时,an+an+2>2an+1 C.当m=2时,数列{nan}的前n项和为(n-1)·2n+1 D.当m=3时,数列第7项的值最大 3.(2026河北保定一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,-=. (1)求Sn; (2)若bn=(-1)n,求数列{bn}的前n项和. 解析　(1)因为-=,且a1=1, 所以数列是以=1为首项,为公差的等差数列, 则=1+(n-1)=, 所以Sn=. (2)由(1)可知Sn=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n, 且a1=1符合上式,所以an=n,n∈N*,则bn=(-1)n=(-1)n=(-1)n, 设数列{bn}的前n项和为Tn, 则Tn=-+-+…+(-1)n=-1+, 所以数列{bn}的前n项和为-1+. 4.(2026陕西西安交大附中月考)已知各项为正数的数列{an}满足:a1=1,Sn=,其中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn=a1+a2+a3+…+an. (i)求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn; (ii)若cn=且数列{dn}满足di=,证明:dn≤1. 解析　(1)由a1=1,S1=a1=,得a2=2,当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,得an=-, 整理得anan+1+anan-1=2, 又因为an>0,所以an+1+an-1=2an, 所以数列{an}是首项和公差均为1的等差数列, 故数列{an}的通项公式为an=n(n∈N*). (2)(i)bn=a1+a2+a3+…+an, 所以bn=0+1+2+3+…+n, 所以bn=n+(n-1)+…+1+0, 两式相加得2bn=n(++…+)=n·2n,所以bn=n·2n-1, 故数列{bn}的通项公式为bn=n·2n-1, 所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1, 2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n, 两式相减得-Tn=1+21+22+23+…+2n-1-n×2n=2n-1-n×2n=(1-n)2n-1, 所以Tn=(n-1)2n+1. (ii)证明:由题知,cn==2n,数列{dn}满足di=,即di=, 则d1+d2+…+dn=1+++…+, 所以d1+d2+…+dn-1=1+++…+(n≥2), 两式相减得dn=+++…+, 所以dn<++…+=[(2n-1)-2n-1+1]==1, 当n=1时,d1=1,所以dn≤1. 5.(2026陕西商洛镇安中学模拟)已知正项等比数列{an}满足a1=1,且20,a3,3a2成等差数列,正项数列{bn}的前n项和为Tn,Tn=anbn. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:>+; (3)记数列的前n项和为Sn,证明:>-. 解析　(1)设数列{an}的公比为q(q>0).因为20,a3,3a2成等差数列, 所以2a3=3a2+20,又a1=1, 所以2q2-3q-20=0,解得q=4或q=-(舍去).所以an=4n-1. (2)证明:由Tn=anbn,得Tn=4n-1bn,Tn+1=4nbn+1,两式相减,得bn+1=4nbn+1-4n-1bn, 所以=,则===+>+. (3)证明:因为= =-, 所以Sn=++…+ =1-, 所以=+Sn>++1-=-+>-. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $