精品解析：湖北华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高二下学期集中独立作业数学试题

华中师大一附中2024——2025学年度下学期集中独立作业 高二年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：高二数学组 审题人：张丹 曹宗庆 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前n项和.若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 3. 已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 4. 春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ） A. 120 B. 36 C. 24 D. 6 5. 已知三棱锥中，平面ACD，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 8π B. 12π C. 24π D. 40π 6. 已知数列的前项和满足，则数列的最大项为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 华师一附中高二年级学生参加五育并举社会实践活动，某天实践内容为挖红薯、摸鱼、野炊，其中某班有8位同学作为这三项活动的负责人，要求每项活动至少有2位同学负责，且每位同学只能负责一项活动，则不同的分配方案有（ ）种 A. 2940 B. 490 C. 5880 D. 1470 8. 已知函数的导函数为，对任意的实数x都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与有相同的实轴 B. 与有相同的焦距 C. 与有相同的渐近线 D. 与有相同的离心率 10. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中的系数为 C. 若展开式中各项系数的和为1024，则第5项的系数最大 D. 展开式中奇数项的二项式系数的和为512 11. 莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现．就是把一根纸条扭转后，两头再粘接起来做成的纸带圈．现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是（ ） A. 一只小虫在不跨过莫比乌斯环的边缘的情况下沿着表面至少走60cm才能回到原处 B. 如果把莫比乌斯环沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分 C. 如果把莫比乌斯环沿中线剪开（如图白色线的部分），得到一个长度为60cm的莫比乌斯环 D. 一只小虫在不跨过莫比乌斯环的边缘的情况下能爬遍整个曲面 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则______． 13. 已知，不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 14. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴含了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，…，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第次操作后，所有被裁部分的面积之和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围． 16. 设数列的前n项和，满足，且． （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求数列的前n项和． 17. 如图，三棱锥中，，平面平面． （1）求异面直线AC与BD所成角的余弦值； （2）若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 18. 已知函数． （1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，求证：； （3）设是函数的两个极值点，求证：． 19. 蔓叶线是古希腊数学家Diocles在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线．蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下图所示．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，圆，点M是直线上在第一象限内的任一点，直线OM交圆A于点N（N与O不重合），第一象限内的点P在直线OM上，且满足，如下图所示．已知一蔓叶线C的方程为． （1）求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围； （2）证明：点P在蔓叶线C上； （3）设直线与蔓叶线C交于不同的三点R，S，T，且直线的斜率之和为2025，证明：直线g过定点． 参考公式：法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理：若是关于x的一元三次方程的三个根，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华中师大一附中2024——2025学年度下学期集中独立作业 高二年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：高二数学组 审题人：张丹 曹宗庆 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线垂直可得切线斜率为，再对曲线求导，根据导数的几何意义有，进而可求. 【详解】因为直线的斜率为， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又，所以，所以，解得. 故选：D. 2. 记为等差数列的前n项和.若，则（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】 ， 故选：C 3. 已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案. 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 4. 春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ） A. 120 B. 36 C. 24 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式求解. 【详解】爷爷、奶奶、小明三人相邻有种排法， 再把爷爷、奶奶、小明三人视作一个元素，与爸爸、妈妈全排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的坐法. 故选：B 5. 已知三棱锥中，平面ACD，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 8π B. 12π C. 24π D. 40π 【答案】A 【解析】 【详解】在中，，，，所以， 所以. 又平面，所以三棱锥可补成长方体， 为长方体的体对角线，也就是三棱锥外接球直径. 如图， 设三棱锥外接球半径为，则. 所以三棱锥外接球的表面积为：. 6. 已知数列的前项和满足，则数列的最大项为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过与的关系可得数列是等比数列，进而得，求出得的通项公式，利用作差法判断的单调性，进而可得结果. 【详解】当时，，．当时，， 即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 所以， 所以，故的最大值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求出数列的通项公式，利用作差法判断出数列的单调性. 7. 华师一附中高二年级学生参加五育并举社会实践活动，某天实践内容为挖红薯、摸鱼、野炊，其中某班有8位同学作为这三项活动的负责人，要求每项活动至少有2位同学负责，且每位同学只能负责一项活动，则不同的分配方案有（ ）种 A. 2940 B. 490 C. 5880 D. 1470 【答案】A 【解析】 【分析】考虑两类分法，结合部分平均分组的相关公式相加即可 【详解】8位同学的分配方法有， 若分配方法为，则有种方法， 若分配方法为，则有种方法， 综上，不同的分配方案有种. 8. 已知函数的导函数为，对任意的实数x都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求解. 【详解】由可得， 即，所以（其中c为常数）， 因此，，由可得，故， 显然，是上的偶函数．当时，， 所以，在上是增函数， 因为，所以，所以解集为． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与有相同的实轴 B. 与有相同的焦距 C. 与有相同的渐近线 D. 与有相同的离心率 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，利用双曲线的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，双曲线的实轴在轴上，实轴长为， 双曲线的实轴在轴上，实轴长为，所以选项A错误， 对于选项B，双曲线和焦距均为，所以选项B正确， 对于选项C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，所以选项C正确， 对于选项D，双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中的系数为 C. 若展开式中各项系数的和为1024，则第5项的系数最大 D. 展开式中奇数项的二项式系数的和为512 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A：由已知，，所以，故A正确； 对B：的系数为，故B正确； 对C：因为展开式中各项系数的和为1024，所以或. 因为，所以. 所以第5项的系数为，第6项系数为， 因为，即第5项的系数小于第6项系数，故C错误； 对D：展开式中奇数项的二项式系数和为，故D正确. 11. 莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现．就是把一根纸条扭转后，两头再粘接起来做成的纸带圈．现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是（ ） A. 一只小虫在不跨过莫比乌斯环的边缘的情况下沿着表面至少走60cm才能回到原处 B. 如果把莫比乌斯环沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分 C. 如果把莫比乌斯环沿中线剪开（如图白色线的部分），得到一个长度为60cm的莫比乌斯环 D. 一只小虫在不跨过莫比乌斯环的边缘的情况下能爬遍整个曲面 【答案】AD 【解析】 【详解】对于选项A：一只小虫在不跨过它的边缘的情况下沿着表面走30cm，则会发现小虫来到“另一面”， 需要再继续前进30cm，才能回到原处，也就是说至少要走60cm才能回到原处，故A正确； 对于选项B：设想从白线的一侧某处出发，并且永远在这一侧，向着一个方向前进， 走完30cm到达了背面的白线的对侧，需要再前进30cm刚好回到原点， 因此剪开后得到的仍然是一个环带，没有分成两部分， 把莫比乌斯带沿中线剪开后不会分成两个独立部分， 而会得到一个长度加倍且360°扭转对接的环带，故B错误； 对于选项C：剪开得到的环扭转 360°，是双侧曲面，不是莫比乌斯环，故C错误； 对于选项D：实际走一走，可以看出小虫在不跨越边缘的情况下可以爬遍整个曲面，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理可求弦长. 【详解】设圆心为，则，圆的半径为，则， 设的中点为，则， 而，故， 故答案为：. 13. 已知，不等式恒成立，则实数a的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】同构变形，得到函数单调性和最值，从而得到不等式，求出答案 【详解】变形为， 令，，显然为增函数， 又时，，当时，， 所以的值域为R， 令，则， 因为，所以令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 要想恒成立，只需，即，解得， 故实数a的最大值为 14. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴含了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，…，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第次操作后，所有被裁部分的面积之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将阴影部分面积转化为正方形面积与圆的面积之差，利用等比数列的前n项和公式求和即可. 【详解】设的半径为，易知，的半径为，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 故，得到的面积为， 又第次裁剪操作的正方形边长为， 故第次裁剪操作裁掉的面积为， 所以第次裁剪操作后，裁掉的面积之和为， 所以第次操作后，所有被裁部分的面积之和为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单减区间为；单增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）由得，问题转化为直线与的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 由得，由得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 令得， 令，其中， 则函数有且仅有个零点等价于函数与的图象有个交点， ，由得，由得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极大值为， 当时，，当时，且， 所以的取值范围是. 16. 设数列的前n项和，满足，且． （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明：，， 两式相减得， 又且，解得， 所以， ， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的前n项和与通项的关系，利用相减法得与的递推关系式，从而结合等比数列的定义证明结论； （2）利用错位相减法求解数列的前n项和即可． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知，，，， （1） （2） （1）-（2）得， . 17. 如图，三棱锥中，，平面平面． （1）求异面直线AC与BD所成角的余弦值； （2）若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】（1） （2）1． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； （2）参数设点 F，求出平面 的法向量，利用线面角公式解参数，最后算出 DF 长度. 【小问1详解】 取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，， 如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则， 所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即， 由直线AD与平面所成角大小为， 得． ， 所以线段DF的长度为1． 18. 已知函数． （1）若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若，求证：； （3）设是函数的两个极值点，求证：． 【答案】（1） （2）当时，， 要证明， 只需证，只需证， 记，则， 所以单调递增；单调递减， 成立 ； （3）由题意可知， 因为有两个极值点， 所以是方程的两个不等实根，， 所以， ， 所以要证， 即证， 即证，即证，即证， 令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则， 即， 所以原不等式成立； 【解析】 【分析】（1）由题意得恒成立，参变分离求最值即可； （2）由题意得要证明，只需证，记，利用导数研究单调性求最大值即可得证； （3）化简，将转化成，再构造函数，通过讨论其单调性即可求证. 【小问1详解】 的定义域为在上恒成立， 所以在上恒成立， 又， 当且仅当时，等号成立，所以， 即a的取值范围是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 蔓叶线是古希腊数学家Diocles在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线．蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下图所示．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，圆，点M是直线上在第一象限内的任一点，直线OM交圆A于点N（N与O不重合），第一象限内的点P在直线OM上，且满足，如下图所示．已知一蔓叶线C的方程为． （1）求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围； （2）证明：点P在蔓叶线C上； （3）设直线与蔓叶线C交于不同的三点R，S，T，且直线的斜率之和为2025，证明：直线g过定点． 参考公式：法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理：若是关于x的一元三次方程的三个根，则． 【答案】（1） （2）证明：设，已知直线OM的方程为，联立圆A的方程， 整理得 设，由，及，得 将代入右端，右端； 将代入左端，左端 方程左端等于右端．所以点P的坐标满足蔓叶线方程，点P在蔓叶线C上． （3）证明：，消y，得， 设，则 ， 所以，所以，即直线恒过. 【解析】 【分析】（1）由 及 得 ，解分式不等式得横坐标范围； （2）设点坐标，由直线与圆联立得点，利用得点坐标，代入蔓叶线方程验证； （3）联立直线与蔓叶线消元得三次方程，由韦达定理将斜率之和表示为参数关系，得直线过定点． 【小问1详解】 由及得，所以． 综上，蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $