专题11 一元二次方程含参问题（7种类型56道）【暑期培优】2026年八升九数学暑假培优（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程含参问题7大类型，56道题系统覆盖定义、判别式、根与系数关系等核心考点，形成从基础到综合的递进训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不解方程确定方程的根|8道|通过系数关系判断根|基于方程解的定义，培养观察方程结构的数学眼光| |由定义求参数|8道|根据一元二次方程定义确定参数|强化概念本质，形成严谨的数学思维| |根的判别式求参数范围|8道|结合判别式与二次项系数限制求范围|体现逻辑推理，发展运算能力| |根与系数的关系|8道|利用韦达定理解决参数计算|构建方程与代数关系的模型意识| |与分式方程综合|8道|融合分式方程解的要求与二次方程条件|培养跨知识综合应用能力| |由一个方程的解推导另一个方程的解|8道|通过换元思想迁移方程解|发展数学语言表达与转化能力| |求参数和另一个根|8道|已知一根求参数及另一根|综合应用定义与韦达定理，提升问题解决能力|

专题11 一元二次方程含参问题（7种类型56道） 专题目录 【类型1 不解方程确定方程的根】 1 【类型2 由一元二次方程的定义求参数】 4 【类型3 由根的判别式求参数范围】 7 【类型4 根与系数的关系】 9 【类型5 一元二次方程与分式方程综合】 14 【类型6 由一个方程的解推导另一个方程的解】 20 【类型7 求参数和另一个根】 24 【类型1 不解方程确定方程的根】 1．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 2．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵把代入得：， ∴方程的一个解是， ∵把代入得：， ∴方程的一个解是． 故选：C． 3．关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（    ） A．1，3 B．1， C．，3 D．， 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解 【详解】解：由题意可知，当时，； 当时，； ∴该方程的根是1，， 故选：B 4．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（     ） A．1，0 B．，0 C．1， D．2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，； ∴方程的根是或， 故选：C 5．已知关于x的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把四个选项中的值作为x的值代入原方程，计算出方程左边的值， 看是否和方程右边相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程左边，方程右边，方程左右两边不一定相等，则不是原方程的根； B、当时，方程左边，方程右边，方程左右两边一定相等，则是原方程的根； C、当时，方程左边，方程右边，方程左右两边不一定相等，则不是原方程的根； D、当时，方程左边，方程右边，方程左右两边不一定相等，则不是原方程的根； 故选B． 6．若方程中，满足和，则方程的根（ ）． A．1，0 B．－1，0 C．1，－1 D．无法确定 【答案】C 【详解】试题分析：根据一元二次方程的根的定义，把x=1与x=-1代入方程的左右两边，看左右两边是否相等． 在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是-1．则方程的根是1，-1． 故选C． 考点：本题考查了一元二次方程的解的定义 点评：判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等． 7．若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴把代入方程得：， ∴方程的一个根， 把代入方程得：， ∴是方程的一个根； ∴方程的根是，， 故选：B． 8．已知关于的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（   ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】该题考查了一元二次方程的根，是方程的根，代入方程会使得方程恒成立； 令，得出，即可得出答案； 【详解】解：令，则，故是一元二次方程的根， 故选：A． 【类型2 由一元二次方程的定义求参数】 9．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 10．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 11．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 12．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 13．若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 14．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 15．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 16．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 【类型3 由根的判别式求参数范围】 17．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 18．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 19．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以一元二次方程无实数根的条件，利用判别式列不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，解得． 20．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次项系数非零、二次根式被开方数非负、判别式大于0三个条件，取公共部分求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即． ∵二次根式有意义， ∴，即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 21．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 22．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 23．已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 24．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：由题意可知：且， 且 【类型4 根与系数的关系】 25．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 26．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 27．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 28．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 29．已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解，再验证方程存在两个实根即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，，方程有两个根，， ∴，， 又∵， ∴，解得：， 验证判别式：，符合要求， 故的值为． 30．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式求解，最后验证方程有实根即可． 【详解】对于一元二次方程，其中，，， 因为方程有两个实数根，， 所以由根与系数的关系可得： ， ， 又因为 ， 将上述结果代入等式得 ， 解得 ， 验证判别式：，符合方程有两个实数根的条件， 因此． 31．关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系结合已知条件列方程求，最后舍去不符合范围的解即可． 【详解】对于方程 ，其中 ，，， ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 代入计算得 ， 解得 ， 根据根与系数的关系可得 ，， ∵ ， ∴ 代入得 ， 整理得 ，即 ， 解得 或 ， ∵ ， ∴． 32．一元二次方程的两根分别为，若，则c的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，代入已知等式即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵， 由根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得． 【类型5 一元二次方程与分式方程综合】 33．若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根确定的取值范围，再解分式方程，根据解为正整数筛选符合条件的整数，最后计算和即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且； 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理得，解得， ∵分式方程的解为正整数，且分母不为0即， ∴，，且是正整数， ∴，，且为正偶数，即为奇数， 结合且，可得符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 34．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得； 解分式方程， 方程两边同乘（，否则分式无意义）得：， 整理得， 解得， ∵分式方程的解为负整数， ∴，且为整数，且， 即，是的倍数，， 结合且为整数，可得符合条件的整数只有， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 35．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及分式方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于，求出的范围，表示出分式方程的解，由解为正整数确定出的值，再求出所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：由条件可知：，解得， 分式方程， 去分母得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为负整数， ， ， 或或， 整数或或， 当时，，则有，产生增根，故舍去， 当或时，，满足条件 则所有满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 36．若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况、解分式方程，熟练一元二次方程的判别式，解分式方程的步骤是解题的关键．由方程有两个不相等的实数解，利用可得出，解分式方程可得，结合分式方程的解为正整数得到或，再代入分别检验分式方程的解是否符合题意即可得出结论． 【详解】解：方程有两个不相等的实数解， ， 解得：， ， ， 解得：， 由题意得，是正整数， 是正偶数，且， ， ， 或， 或， 当时，是分式方程的增根，不符合题意，舍去； 当时，是分式方程的解，符合题意； 满足条件的的值为5． 故选：C． 37．如果关于的分式方程有负分数解，且关于的方程有实数解，那么符合条件的所有整数的积是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分和两种情况讨论，根据关于的方程有实数解确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有的值，即可求出之积． 【详解】解：当时，方程化为，，此时方程有实数根， 当时，关于的方程为一元二次方程， ∵关于的方程有实数解， ∴， 解得， 分式方程 去分母得：， ∴， ∵有负分数解， ∴， ∴， ∴， 把代入整式方程得：，即，符合题意； 把代入整式方程得：，即，不合题意； 把代入整式方程得：，即，符合题意； 把代入整式方程得：，即，不合题意； 把代入整式方程得：，即，符合题意； 把代入整式方程得：，即，不合题意； 把代入整式方程得：，即，符合题意； ∴符合条件的整数取值为，，，，之积为， 故选：． 38．要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的情况得到且解得：且，再把分式方程化简求值得：，因为解为非负数，且即且，所以且，即可得出满足题意的整数解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根 则 且 关于x的分式方程 去分母得： 解得： 分式方程的解为非负数 且即且 且 满足题意的整数的值为 故答案为：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，这是此题的易错点． 39．如果关于的方程有两个实数根，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数的和为（    ） A．1 B．2 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的概念、根的判别式求出的范围，解分式方程，根据整除法则计算即可． 【详解】解：方程有两个实数根， ， 解得：且． ， ， 又∵， ∴， ∴， ∵是整数， ∴、0、2， ∴符合条件的整数的和为 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、分式方程的解法，掌握分式方程的解法、分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式是解题的关键． 40．若整数既使得关于的分式方程上有非负数解，又使得关于的方程无解，则符合条件的所有的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】解分式方程，由其解有非负数解，以及解不能为增根，列出a的不等式求得a的取值范围；再根据方程无解可得： ＜0，由此列出a的不等式求得a，解不等式组可得a的取值范围，即可求解． 【详解】解：解分式方程可得： ∵分式方程的解有非负数， ∴≥0，且 ∴a≤﹣1且a≠﹣4 ∵方程无解可得 ∴＝＜0 解得：a＞， 综上所述，＜a≤﹣1，且a≠﹣4，即所有的个数有：﹣1，﹣2，﹣3，﹣5，共4个 故选：D 【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式、分式方程的解，解题关键在于注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 【类型6 由一个方程的解推导另一个方程的解】 41．若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 【答案】/ 【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：将方程变形为， 设，则可得， ∵一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 即， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 42．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为________． 【答案】2024 【分析】利用换元法，进行计算即可 【详解】由，得． 设，则． 关于x的一元二次方程有一根为2025，即有一个根为2025， ，解得， 一元二次方程必有一根为2024． 43．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为____． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设，得到方程，再根据即可得到的值，最后得出结论． 【详解】解：∵在中，设， ∴， ∵有一个根， ∴中有一个根， ∴即在中，， ∴， 故答案为：． 44．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为____． 【答案】 【分析】令，则变形为：，根据是一元二次方程的根，则是的根，得，解出，即可． 【详解】令， ∴变形为：， ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据方程的解，得到方程的解相同． 45．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为______． 【答案】 【分析】利用整体思想设，得到方程，再根据即可得到的值，最后得出结论． 【详解】解：∵在中，设 ∴ ∵有一个根 ∴在中 ∴即在中， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键． 46．关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，令，则得出，即，即可求解． 【详解】解：令，则 ∵方程有一个根为， 方程有一根为， 有一根为， 故答案为：． 47．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为________． 【答案】x=2019 【分析】对于一元二次方程，设t=x+1得到at2+bt=1，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0必有一根为x=2019． 【详解】解：对于一元二次方程， 设t=x+1， 所以at2+bt=1，即at2+bt-1=0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2020， 所以at2+bt-1=0有一个根为t=2020， 则x+1=2020， 解得x=2019， 所以必有一根为x=2019． 故答案为：x=2019． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 48．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为______． 【答案】 【分析】把化为再结合题意得到解出即可． 【详解】解：， ． 令，则 ∵方程（）有一个根为， 有一根为， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键． 【类型7 求参数和另一个根】 49．已知：关于的方程有一个根是2，则__________，另一个根是__________． 【答案】 2 1 【分析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求解即可. 【详解】解：设方程的另一个根为， 可得 解得 ，， 50．已知是方程的一个根，则______，另一个根是______． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设方程的另一根为，然后利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一根为，由根与系数的关系，得： ，代入，得， 解得； 又，代入，，得， 解得． 故答案为，． 51．已知一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____． 【答案】 1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系列式计算，即可得出答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得：，， 解得：，， 故答案为：1，． 52．如果关于的方程的一个根是，则_________，方程的另一个根是_________． 【答案】 2 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，将代入方程即可求出的值，再解方程即可得出方程的另一个根． 【详解】解：关于的方程的一个根是， ， ， 原方程为， 解得：，， 方程的另一个根是， 故答案为：2，． 53．已知是方程的一个根，则的值为_____，方程的另一个根为______． 【答案】 ； ． 【分析】将代入原方程可得的值，根据一元二次方程解出它的另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴原方程为，即， 解得，， ∴方程的另一个根为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，根据一元二次方程的解的概念求出的值是解本题的关键． 54．如果是一元二次方程的一个根，则____，它的另一个根是____． 【答案】 ； ． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把代入方程即可求出，然后直接用开平方法即可求解，解题的关键是熟练掌握直接开方法解一元二次方程． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，解得：， 则方程为，解得：，， ∴它的另一个根是， 故答案为：，． 55．若是方程的一个根，则a的值为___________，方程的另一个根为___________． 【答案】 1 【分析】将直接代入中可求得a的值；再利用根与系数的关系可求得方程的另一个根． 【详解】∵是方程的一个根， ∴ ∴ 设方程的另一根是，由根与系数的关系得， ∴ 故答案为：1与 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟知． 56．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 【答案】 【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴ 解得：， 设原方程的另一个根为，则， ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一元二次方程含参问题（7种类型56道） 专题目录 【类型1 不解方程确定方程的根】 1 【类型2 由一元二次方程的定义求参数】 2 【类型3 由根的判别式求参数范围】 2 【类型4 根与系数的关系】 3 【类型5 一元二次方程与分式方程综合】 4 【类型6 由一个方程的解推导另一个方程的解】 5 【类型7 求参数和另一个根】 6 【类型1 不解方程确定方程的根】 1．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 3．关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（    ） A．1，3 B．1， C．，3 D．， 4．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（     ） A．1，0 B．，0 C．1， D．2， 5．已知关于x的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（    ） A．1 B． C．2 D．0 6．若方程中，满足和，则方程的根（ ）． A．1，0 B．－1，0 C．1，－1 D．无法确定 7．若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 8．已知关于的一元二次方程，若，则下列各数中是该方程的根的是（   ） A．1 B． C．2 D．0 【类型2 由一元二次方程的定义求参数】 9．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 10．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 13．若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 14．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 15．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 16．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【类型3 由根的判别式求参数范围】 17．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 21．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 23．已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 24．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【类型4 根与系数的关系】 25．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 26．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 27．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 28．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 29．已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 30．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 31．关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数（     ） A． B． C． D．或 32．一元二次方程的两根分别为，若，则c的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【类型5 一元二次方程与分式方程综合】 33．若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A． B．0 C．1 D．3 34．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 35．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A． B． C． D． 36．若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 37．如果关于的分式方程有负分数解，且关于的方程有实数解，那么符合条件的所有整数的积是（　　） A． B．0 C．3 D．9 38．要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 39．如果关于的方程有两个实数根，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数的和为（    ） A．1 B．2 C．6 D．7 40．若整数既使得关于的分式方程上有非负数解，又使得关于的方程无解，则符合条件的所有的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【类型6 由一个方程的解推导另一个方程的解】 41．若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 42．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为________． 43．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为____． 44．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为____． 45．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为______． 46．关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为_______． 47．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为________． 48．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为______． 【类型7 求参数和另一个根】 49．已知：关于的方程有一个根是2，则__________，另一个根是__________． 50．已知是方程的一个根，则______，另一个根是______． 51．已知一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____． 52．如果关于的方程的一个根是，则_________，方程的另一个根是_________． 53．已知是方程的一个根，则的值为_____，方程的另一个根为______． 54．如果是一元二次方程的一个根，则____，它的另一个根是____． 55．若是方程的一个根，则a的值为___________，方程的另一个根为___________． 56．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $