第2.3.3节《二次函数y=ax2+k的图象与性质》学案2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+k的图象与性质这一核心知识点，通过课前复习二次函数一般式及y=ax²的性质进行铺垫，引导学生作图并对比分析y=2x²、y=2x²+1、y=2x²-2的函数值与图象，梳理平移规律及开口方向、对称轴等性质，构建“复习-探索-归纳-应用”的学习支架。 该资料以动手操作和数据分析为特色，通过表格填写函数值、图象平移对比，培养学生几何直观与推理意识，性质总结表格系统呈现a、k对图象的影响，分层练习（函数值比较、参数范围求解）强化应用意识，课中助力教师引导探究，课后便于学生回顾性质、弥补知识盲点。

第二章 直角三角形的边角关系 《2.3.3二次函数y=+k的图象与性质》讲义 【学习目标】 1.基本知识技能： （1）会通过列表、描点、连线画出y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-2的函数图象，直观对比三个函数图象的位置关系。 （2）理解y=+k与y=图象之间的平移规律，能根据函数表达式判断图象平移方向与单位长度。 （3）熟练掌握二次函数y=+k的完整性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性、开口大小由a决定的规律； （4）会利用函数性质比较同一抛物线上不同点的纵坐标大小；能结合图象位置、象限分布求解参数取值范。 2. 数学思维能力 （1）经历列表、作图、观察、对比、归纳的完整探究流程，发展数形结合思维，建立代数式与函数图象相互转化的思考方式。 （2）通过对比解析式、表格数值、抛物线图象，自主推导上下平移规律，提升观察分析、归纳推理与抽象概括能力。 （3）借助对称轴分析点到对称轴的距离与函数值的关系，总结比较函数值的通用方法，锻炼逻辑推理与转化思维。 （4）在辨析 a 、 k 分别对图象的影响、区分两类二次函数性质异同的过程中，培养分类讨论、对比辨析的数学思维。 （5）能结合图象信息解决参数范围、函数值大小比较、图象匹配等综合题型，提升几何直观与数学建模能力。 3.情感价值 （1）通过自主画图、自主推导函数平移规律，感受抛物线图象的几何规律美，激发探究二次函数图象的学习兴趣。 （2）在数形结合的探究过程中，体会代数与几何的内在关联，感受数学知识的整体性与逻辑性，建立严谨的数学认知。 （3）通过运用函数知识解决各类题型，感受数学知识的实用价值，增强学好函数知识的自信心。 一、课前复习 1.二次函数的一般式为：_______________________； 2.下列关于抛物线y=2x2与抛物线y=－2x2的说法中，不正确的是（ ） A. 对称轴都是y轴 B. y轴左侧的部分都是上升的 C. 开口方向相反 D.顶点都是原点 我们已经研究了二次函数y=ax2的图象，那么二次函数y=+k的图象有什么特征？它与的y=ax2图象有什么关系呢？比如y=2x2+1的图象，它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？上一节课我们是如何研究的y=ax2图像与性质的？ 二、新知探索 操作：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-2的图象 思考：观察二次函数表达式y=ax2，你认为x取哪些值比较合适？与同伴交流。 x取值 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x2函数值 y=2x2+1函数值 y=2x2-2函数值 1. y=2x2+1图象与性质探索 （1）填表分析：填写表格前两行函数值后，观察并分析数据，当x取相同值时，二次函数y=2x2+1的函数值总比的y=2x2函数值要_________；作用在函数图像上时，说明抛物线y=2x2+1与抛物线y=2x2上的点，当横坐标相等时，纵坐标要________，所以，同一竖直方向上，抛物线上的点要比抛物线y=2x2上的点在位置上要高______个单位长度。 （2）描点连线：画出抛物线y=2x2、y=2x2+1。在画y=2x2+1的图象时，可以怎样画更快？ （3）观察图象并分析性质 · 通过观察，发现抛物线y=2x2+1可以由抛物线y=2x2的图象整体向_______平移______单位长度得到； · 抛物线y=2x2+1的性质有： 思维路径：①开口方向：________________；②顶点坐标：___________；③顶点是最_____点，则y的有最______值，为_______，则y的取值范围是___________。④图象关于_______呈________对称；⑤图象从左到右变化趋势是___________________。 · 抛物线y=2x2+1与抛物线y=2x2的性质有何异同？ 思维路径：①开口方向______；②顶点坐标_______；③最低最高点？_________；y的取值范围？_________；④对称性_________；⑤图像的增减性___________；⑥开口大小_______。（填“相同”或“不同”） 2. y=2x2-2图象与性质探索 （1） 填表分析：先填写y=2x2-2函数值。观察表格中数据，你能获取二次函数y=2x2-2自变量x与因变量y变化的哪些信息？作用在图象上，则抛物线的图象变化趋势应该是___________。 （2） 思考：观察表格中，x取相同值时，y=2x2-2与y=2x2的函数值有什么关系？所以，两个函数图象具有什么特点？在同一个直角坐标系中，可以怎样快速画出的y=2x2-2图象。 （3） 观察图象并分析性质 · 通过观察，发现抛物线y=2x2-2可以由抛物线y=2x2的图象整体向_______平移______单位长度得到； · 抛物线y=2x2-2的性质有： 思维路径：①开口方向：________________；②顶点坐标：___________；③顶点是最_____点，则y的有最______值，为_______，则y的取值范围是___________。④图象关于_______呈________对称；⑤图象从左到右变化趋势是___________________。 · 抛物线y=2x2－2与抛物线y=2x2的性质有何异同？ 思维路径：①开口方向______；②顶点坐标_______；③最低最高点？_________；y的取值范围？_________；④对称性_________；⑤图像的增减性___________；⑥开口大小_______。（填“相同”或“不同”） 思考·交流：二次函数的图象是什么形状？其中，a对图象有什么影响？k对图象有什么影响？与同伴进行交流。 3. 二次函数y=ax2+k图象与性质总结 二次函数y=ax2+k的图象也是_______，它与抛物线的形状________，只是位置______。的y=ax2+k图象可以是看做把y=ax2的图象向________（k＞0）或向_______（k＜0）平移|k|个单位长度得到。 抛物线 y=ax2+k a＞0 a＞0 图 象 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 开口方向 顶点坐标 （ , ）是最____点（填高/低） （ , ）是最____点（填高/低） 最值 当x=____时，y有最____值，为___； 当x=____时，y有最____值，为___； 对称性 （1）关于_______________________呈________对称； （2）抛物线上的点，若纵坐标相等，则两个点必关于对称轴对称；如果对称轴是y轴，则横坐标互为相反数。 （3）二次函数的一个y值，会对应着______个x值； 增减性 当x＜0时，y随x增大而_______； 当x＞0时，y随x增大而_______； 当x＜0时，y随x增大而_______； 当x＞0时，y随x增大而_______； 开口大小 | a |越大，开口越______（填大/小），图象与y轴越______（填远/近），图象越______（填陡/缓），y随x的变化而变化的速度越______（填快/慢） 熟记：图像与性质总结完毕后，给时间记忆，并同桌之间相互提问巩固。 三、课堂练习 1. （1）二次函数的图象可以看成是由二次函数的图象向____平移____个单位得到；二次函数的图象是轴对称图形吗？______。开口方向：______，对称轴：________,顶点坐标：_________。在同一坐标系中画出草图看一看。 （2）二次函数的图象可以看成由二次函数的图象向____平移____个单位得到。 2. 在同一坐标系中，画出二次函数、、的图象草图（体现顶点位置、开口方向、对称轴）。再根据草图，填写下列表格。 二次函数 性质 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 3.下列二次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，将函数图象的序号填在对应函数表达式后面的括号里: （1）； （ ） （2）+1； （ ） （3）+2； （ ） （4）－1； （ ） （5）－2； （ ） 四、巩固练习 【基础类】 1. 二次函数y=3x2－1的图象大致是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） (－4,3) B. (－4,－3) C. (0,－3) D.(0,3) 3. 关于抛物线。下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象顶点坐标（ 4,5 ） C. 当x＜-1时，y随x增大而减小 D. 当x=0时，y有最大值5 4. （1）点A（1，m），B(4,n)在二次函数的图象上，则m、n的大小关系是______； （2） 点A（－4，m），B（4,n）在二次函数的图像上，则则m、n的大小关系是______； （3） 点A（－4，m），B（2,n）在二次函数的图像上，则则m、n的大小关系是______； （4） 已知点A(－2，y1)，B(1,y2)，C(3,y3)在二次函数的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是______________。 方法总结： ①若抛物线开口向上，则抛物线上的点，到对称轴的距离越远，纵坐标y值越______。到对称轴距离越近，纵坐标y值越_______； ②若抛物线开口向下，则抛物线上的点，到对称轴的距离越远，纵坐标y值越______。到对称轴距离越近，纵坐标y值越_______； 5. 如果二次函数y=(a-3)图象不经过第一象限，则a取值范围__________。 6. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 课堂练习答案： 1题答案（1）下， ；是。向上，直线x=0或y轴，（0，）。草图略 （2）上，1 2题答案 二次函数 性质 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 向下 y轴/直线x=0 (0,0) x＜0 向下 y轴/直线x=0 (0,2) x＜0 向下 y轴/直线x=0 (0,－2) x＜0 3题答案：CBADE 巩固练习答案 1.A； 2. B 3.C 4. （1）m＞n，（2）m=n，（3）m＜n ； （4）y2＜y1＜y3 方法总结：①大，小；②小，大 5. a＜3 6. A 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直角三角形的边角关系 《2.3.3二次函数y=+k的图象与性质》讲义 【学习目标】 1.会画\(y=ax^2+k\)型函数图象，理清其与y=的上下平移规律。 2.熟记该类函数开口、对称轴、顶点、最值及增减性等全部性质。 3.能比较函数值大小，依据图象求解参数范围，熟练解答各类基础题型。 4.借助作图对比归纳规律，强化数形结合、分类讨论的数学思维。 5.感受函数知识内在联系，体会数学实用价值，提升学习探究热情。 一、课前复习 1.二次函数的一般式为：_______________________； 2.下列关于抛物线y=2x2与抛物线y=－2x2的说法中，不正确的是（ ） A. 对称轴都是y轴 B. y轴左侧的部分都是上升的 C. 开口方向相反 D.顶点都是原点 3. 猜一猜二次函数y=+k的图象有什么特征？它与的y=ax2图象有什么关系呢？ 二、新知探索 操作：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-2的图象 x取值 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x2函数值 y=2x2+1函数值 y=2x2-2函数值 （备用图） 1. y=2x2+1图象与性质探索 （1） 表格中数据分析 ①二次函数y=2x2+1的函数值有什么特点？你能据此猜测二次函数y=2x2+1的图象吗？ ②当x取相同值时，二次函数y=2x2+1的函数值与y=2x2函数值有何关系？你能据此快速画出二次函数的图象吗？你能猜到二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象的位置关系吗？ （2） 图象分析 · 抛物线y=2x2+1可以由抛物线y=2x2的图象整体向_______平移______单位长度得到； · 抛物线y=2x2+1的性质有： 思维路径：①开口方向：________________；②顶点坐标：___________；③顶点是最_____点，则y的有最______值，为_______，则y的取值范围是___________。④图象关于_______呈________对称；⑤图象从左到右变化趋势是___________________。 · 抛物线y=2x2+1与抛物线y=2x2的性质有何异同？ 思维路径：①开口方向______；②顶点坐标_______；③最低最高点？_________；y的取值范围？_________；④对称性_________；⑤图像的增减性___________；⑥开口大小_______。（填“相同”或“不同”） 2. y=2x2-2图象与性质探索 （1）按照相同的思路，分析二次函数y=2x2-2图象的性质 （2）思考·交流：二次函数的图象是什么形状？其中，a对图象有什么影响？k对图象有什么影响？与同伴进行交流。 3. 二次函数y=ax2+k图象与性质总结 二次函数y=ax2+k的图象也是_______，它与抛物线的形状________，只是位置______。的y=ax2+k图象可以是看做把y=ax2的图象向________（k＞0）或向_______（k＜0）平移|k|个单位长度得到。 抛物线 y=ax2+k a＞0 a＞0 图 象 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 开口方向 顶点坐标 （ , ）是最____点（填高/低） （ , ）是最____点（填高/低） 最值 当x=____时，y有最____值，为___； 当x=____时，y有最____值，为___； 对称性 （1）关于_______________________呈________对称； （2）抛物线上的点，若纵坐标相等，则两个点必关于对称轴对称；如果对称轴是y轴，则横坐标互为相反数。 （3）二次函数的一个y值，会对应着______个x值； 增减性 当x＜0时，y随x增大而_______； 当x＞0时，y随x增大而_______； 当x＜0时，y随x增大而_______； 当x＞0时，y随x增大而_______； 开口大小 | a |越大，开口越______（填大/小），图象与y轴越______（填远/近），图象越______（填陡/缓），y随x的变化而变化的速度越______（填快/慢） 熟记：图像与性质总结完毕后，给时间记忆，并同桌之间相互提问巩固。 三、课堂练习 1. （1）二次函数的图象可以看成是由二次函数的图象向____平移____个单位得到；二次函数的图象是轴对称图形吗？______。开口方向：______，对称轴：________,顶点坐标：_________。在同一坐标系中画出草图看一看。 （2）二次函数的图象可以看成由二次函数的图象向____平移____个单位得到。 2. 在同一坐标系中，画出二次函数、、的图象草图（体现顶点位置、开口方向、对称轴）。再根据草图，填写下列表格。 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 3.下列二次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，将函数图象的序号填在对应函数表达式后面的括号里: （1）； （ ） （2）+1； （ ） （3）+2； （ ） （4）－1； （ ） （5）－2； （ ） 四、巩固练习 【基础类】 1. 二次函数y=3x2－1的图象大致是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） (－4,3) B. (－4,－3) C. (0,－3) D.(0,3) 3. 关于抛物线。下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象顶点坐标（ 4,5 ） C. 当x＜-1时，y随x增大而减小 D. 当x=0时，y有最大值5 4. （1）点A（1，m），B(4,n)在二次函数的图象上，则m、n的大小关系是______； （2） 点A（－4，m），B（4,n）在二次函数的图像上，则则m、n的大小关系是______； （3） 点A（－4，m），B（2,n）在二次函数的图像上，则则m、n的大小关系是______； （4） 已知点A(－2，y1)，B(1,y2)，C(3,y3)在二次函数的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是______________。 方法总结： ①若抛物线开口向上，则抛物线上的点，到对称轴的距离越远，纵坐标y值越______。到对称轴距离越近，纵坐标y值越_______； ②若抛物线开口向下，则抛物线上的点，到对称轴的距离越远，纵坐标y值越______。到对称轴距离越近，纵坐标y值越_______； 5. 如果二次函数y=(a-3)图象不经过第一象限，则a取值范围__________。 6. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $