无外力作用下与有外力作用下水平导轨上的单杆模型 专项训练 -2027届高三物理一轮复习

**基本信息** 聚焦水平导轨单杆模型，通过无外力/有外力分类训练，构建电磁感应与力学综合问题的系统解题框架，强化模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无外力作用下|3例+3变式|涵盖磁场边界、导轨质量、电阻调节等情境，涉及匀速运动、动量守恒、能量转化|从电磁感应定律推导安培力，结合动量定理与能量守恒建立运动方程，体现“力-电-磁”综合逻辑| |有外力作用下|3例+3变式|包含恒力驱动、变磁场、多杆系统等复杂模型，考查动态平衡与非匀变速运动|以牛顿运动定律为核心，整合功-能关系与电磁感应规律，构建“外力-安培力-运动状态”分析链条|

无外力作用下与有外力作用下水平导轨上的单杆模型专项训练 无外力作用下与有外力作用下水平导轨上的单杆模型专项训练 考点目录 无外力作用下水平导轨上的单杆模型 有外力作用下水平导轨上的单杆模型 考点一 无外力作用下水平导轨上的单杆模型 例1．（2026·湖北孝感·模拟预测）如图所示，水平面上固定了两条不计电阻的足够长的平行光滑金属导轨、，导轨间距为，两条导轨的Q、处是极短的光滑绝缘材料，两导轨左端间连接一电动势为、内阻为的电源，区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。边长为的正方形区域内加有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。bcde是质量为、开口向左的形金属框，三条边长度均为，边电阻为，bc、de边电阻不计，初始静止于和之间，运动过程中金属框的上下两条边与导轨始终接触良好。一不计电阻质量为的金属棒a紧贴由静止释放，越过前金属棒a已匀速运动，与形金属框恰好无碰撞地粘在一起（U形金属框边到达之前）。不计其他电阻，不计一切摩擦，重力加速度，求： (1)从金属棒a由静止释放到越过的过程中，回路中产生的焦耳热； (2)初始时形金属框端与点间的距离； (3)金属棒a与组成的正方形线框穿过磁场过程中，回路中产生的焦耳热。 例2．（2026·吉林·模拟预测）如图所示，电阻不计的U形导轨P放置在光滑的水平面上，导轨质量M=3kg，宽度L=1m，导体棒ab放置在导轨上并与导轨垂直，导体棒质量m=1kg、电阻R=1Ω。右侧区域内存在着竖直向上的有界磁场，磁感应强度大小B=2T，初始时棒ab距磁场左边界距离x1=0.4m，距导轨左端距离x2=4m，现对导轨施加水平向右的恒力F=20N，使导轨与棒ab一起做加速运动。棒ab进入磁场刚好做匀速运动（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），当棒ab离开磁场的瞬间，导轨左端正好进入磁场，导轨出磁场前与棒ab达到共同速度并一起做匀速运动，重力加速度取g=10m/s2。求： (1)导体棒进入磁场时速度大小； (2)导体棒与导轨间动摩擦因数和磁场宽度d； (3)离开磁场前，导体棒和导轨最终速度和U形导轨P的左端穿越磁场所用的时间。 例3．（2026·河南三门峡·三模）电磁减速装置在生产生活中的应用极为广泛，其原理图可简化如图所示。在绝缘的水平地面上固定着一段无限长的平行光滑金属直导轨，导轨间距为，导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为。一根质量为的导体棒垂直放置在导轨上，导轨的一端连接着一个智能电阻箱，初始电阻阻值为（可根据需要调节电阻阻值大小）。若导体棒以初速度在导轨上开始滑行，其他电阻及一切摩擦阻力不计，导体棒与导轨接触良好且始终保持垂直。 (1)若电阻箱的阻值保持不变，当导体棒的速度由到的过程中，求： ①电阻箱产生的热量； ②导体棒滑行的位移大小。 (2)若要使导体棒匀减速滑行，求导体棒滑行至停止时的位移大小。 变式1．（2026·天津红桥·三模）如图所示，两条足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面上，间距，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小，方向竖直向下，导轨左端连接一阻值的电阻，质量、电阻的金属棒ab在水平外力F的作用下沿导轨匀速向右运动，已知ab两端电压，导轨电阻不计。 (1)判断a、b两点，哪点电势高； (2)求ab的速度大小； (3)某时刻撤去外力F，求撤去外力F后，电阻R上产生的热量及通过的电量。 变式2．（2026·河南新乡·模拟预测）如图所示，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距，左端连接阻值的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小。某装置从右侧沿导轨水平向左发射第1根导体棒，导体棒以初速度进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第100根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量，电阻，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力和导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响，求： (1)第10根导体棒刚进入磁场时的加速度大小； (2)第20根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第99根导体棒速度减为0的过程中，导轨左端定值电阻上产生的总热量。 变式3．（2026·江西·模拟预测）2025年11月18日，我国第一艘电磁弹射型航母福建舰编队首次在海上实兵训练，“歼-15DT”首次在福建舰上完成电磁弹射起飞和着舰，这标志着人民海军从“近海防御”向“远洋护卫”实现质的飞跃。“歼-15DT”电磁弹射原理图如图所示，两足够长的平行导轨固定在福建舰水平甲板上，两导轨间距为L，两导轨间接入电动势为E、内阻为r的电源，“歼-15DT”上连入导轨间部分导体的电阻为R，该部分导体与“歼-15DT”固定在一起但彼此绝缘，“歼-15DT”和该部分导体的总质量为M。电源、开关、两导轨和“歼-15DT”上导体构成一闭合回路，导轨所在空间存在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场。某次训练中，开始时开关S断开，“歼-15DT”从静止开始沿导轨加速运动，当速度为v0时开关S闭合，同时关闭“歼-15DT”的动力，“歼-15DT”在弹射系统安培力的作用下继续加速，运动过程中“歼-15DT”受到的阻力与速度大小的关系为f=kv（k为已知的比例系数且k>0），“歼-15DT”在弹射系统安培力作用下加速运动位移的大小为x0，不计导轨的电阻与其他摩擦阻力。 (1)求闭合S瞬间“歼-15DT”的加速度大小a； (2)求弹射过程中“歼-15DT”达到的最大速度大小vm； (3)若“歼-15DT”达到的最大速度vm=nv0（n>1），求弹射过程中电源输出的总能量W。 考点二 有外力作用下水平导轨上的单杆模型 例1．（2026·辽宁阜新·模拟预测）某科学兴趣小组设计了一个“拉力和电磁推进小车”的模型，其原理图如图所示。在绝缘水平面上固定两根间距为、电阻不计的足够长平行金属导轨，其左端通过开关S与干电池相连。两导轨间存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场。质量为、长度为、电阻为的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨间的动摩擦因数为。在闭合S的同时，对金属棒施加一个大小为（为重力加速度大小）、方向平行导轨水平向右的恒定拉力，闭合S后，金属棒由静止开始运动。干电池的电动势为、内阻为，金属棒始终与导轨接触良好。求： (1)闭合S瞬间，金属棒的加速度大小； (2)金属棒的最大速度。 例2．（2026·河南周口·三模）如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面（纸面）上，间距，右侧存在垂直纸面向里的磁场，以点为原点，水平向右为轴正方向，磁场的磁感应强度大小随变化的图像如图乙所示。边的长度、边的长度的矩形金属线框置于导轨上。现使线框以的速度水平向右运动，边运动到处时，速度大小，边运动到处时，对线框施加水平向右的力使其匀速进入 的磁场区域，边运动到处时撤去外力。整个运动过程中线框始终与导轨接触良好。已知线框的质量，边和边的总电阻 ，其他边和导轨的电阻均可忽略。在线框运动的过程中，求： (1) 内磁场的磁感应强度大小； (2)撤去外力前瞬间，外力的大小与边所在位置间的函数关系式（采用国际单位制）； (3)撤去外力后，线框运动的位移大小。 例3．（2026·陕西商洛·模拟预测）工业生产中，某自动化物料输送装置的简化模型如图所示，在水平面上有足够长的固定平行金属导轨，导轨间距，电阻不计，一质量的金属棒与导轨垂直放置，金属棒的长度恰好等于导轨间距，金属棒的电阻，导轨的一端连接一个阻值的定值电阻，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度。某时刻对金属棒施加一个水平向右的恒定拉力，金属棒从静止开始向右运动，运动距离时，达到最大速度。已知金属棒运动过程中始终与导轨垂直，金属棒与导轨间的动摩擦因数，重力加速度取。求： (1)金属棒能达到的最大速度； (2)金属棒从静止加速到最大速度的过程中产生的焦耳热； (3)金属棒从静止加速到最大速度的过程中经历的时间。 变式1．（2026·陕西西安·三模）如图所示，水平放置的足够长两条平行金属导轨相距为，三根质量均为的导体棒a、b、c相距一定距离垂直放在导轨上，导体棒a光滑，导体棒b、c与导轨间的动摩擦因数均为，导体棒的电阻均为，空间存在磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场。现用一水平向右的拉力作用在导体棒a上，使之由静止开始向右做匀加速运动，加速度。取重力加速度大小，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略导体棒间的相互作用。求： (1)当导体棒b刚开始运动时，导体棒a运动的时间； (2)若在导体棒a运动2s时撤去拉力，求导体棒a在导轨上滑行的总距离。 变式2．（2026·广东广州·二模）如图，质量为的“U”形金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上，其单位长度的电阻为，bc段长为L，ab、cd段长均为3L。电阻不计、质量为m的导体棒PQ平行于bc放置在导轨上，且PQ与导轨间的动摩擦因数为μ，紧靠PQ左侧有两个固定于水平面的光滑绝缘立柱。空间中存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在时，PQ与bc间距为L，对bc边施加水平向左的力F使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a。已知重力加速度为g，PQ始终与导轨接触良好，求 (1)时回路中感应电流大小； (2)F随时间t变化的表达式。 变式3．（2026·北京海淀·一模）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，两根相距为L的平行长直金属导轨水平放置，左端接阻值为R的定值电阻。一长为L、电阻为r的导体棒放置在导轨上，与导轨接触良好。导体棒在外力作用下沿导轨以速度v向右匀速运动。不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦，导体棒运动过程中始终与两导轨保持垂直。经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞。展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型；在此基础上，求出导体棒中一个自由电子受到金属离子阻碍其沿导体棒长度方向做定向移动的平均作用力f的表达式。 2 学科网（北京）股份有限公司 $无外力作用下与有外力作用下水平导轨上的单杆模型专项训练 无外力作用下与有外力作用下水平导轨上的单杆模型专项训练 考点目录 无外力作用下水平导轨上的单杆模型 有外力作用下水平导轨上的单杆模型 考点一 无外力作用下水平导轨上的单杆模型 例1．（2026·湖北孝感·模拟预测）如图所示，水平面上固定了两条不计电阻的足够长的平行光滑金属导轨、，导轨间距为，两条导轨的Q、处是极短的光滑绝缘材料，两导轨左端间连接一电动势为、内阻为的电源，区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。边长为的正方形区域内加有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。bcde是质量为、开口向左的形金属框，三条边长度均为，边电阻为，bc、de边电阻不计，初始静止于和之间，运动过程中金属框的上下两条边与导轨始终接触良好。一不计电阻质量为的金属棒a紧贴由静止释放，越过前金属棒a已匀速运动，与形金属框恰好无碰撞地粘在一起（U形金属框边到达之前）。不计其他电阻，不计一切摩擦，重力加速度，求： (1)从金属棒a由静止释放到越过的过程中，回路中产生的焦耳热； (2)初始时形金属框端与点间的距离； (3)金属棒a与组成的正方形线框穿过磁场过程中，回路中产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）金属棒做匀速直线运动，则通过金属棒电流 解得 从金属棒由静止释放，到它做匀速直线运动，由动量定理得 解得 由能量守恒得 解得 （2）在与间时，金属棒与金属框组成的系统动量守恒，有 设它们间的相对位移为，对由动量定理有 又有 联立解得 （3）正方形金属框进入磁场的过程回路中电流为 正方形金属框所受安培力为 由动量定理得 其中 解得 正方形金属框离开磁场的过程，同理由动量定理得 解得 该过程中产生的总焦耳热由能量守恒定律得 联立解得 例2．（2026·吉林·模拟预测）如图所示，电阻不计的U形导轨P放置在光滑的水平面上，导轨质量M=3kg，宽度L=1m，导体棒ab放置在导轨上并与导轨垂直，导体棒质量m=1kg、电阻R=1Ω。右侧区域内存在着竖直向上的有界磁场，磁感应强度大小B=2T，初始时棒ab距磁场左边界距离x1=0.4m，距导轨左端距离x2=4m，现对导轨施加水平向右的恒力F=20N，使导轨与棒ab一起做加速运动。棒ab进入磁场刚好做匀速运动（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），当棒ab离开磁场的瞬间，导轨左端正好进入磁场，导轨出磁场前与棒ab达到共同速度并一起做匀速运动，重力加速度取g=10m/s2。求： (1)导体棒进入磁场时速度大小； (2)导体棒与导轨间动摩擦因数和磁场宽度d； (3)离开磁场前，导体棒和导轨最终速度和U形导轨P的左端穿越磁场所用的时间。 【答案】(1)2m/s (2)0.8，2m (3)5m/s，0.4s 【详解】（1）导体棒进入磁场前，导轨与导体棒整体做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得： 根据运动学公式 代入数据解得导体棒进入磁场时的速度大小为 （2）导体棒进入磁场后做匀速运动，处于受力平衡状态。棒上产生的感应电动势为 感应电流为 所受安培力为 代入数据解得 由于棒匀速运动，导轨对棒的滑动摩擦力大小 即 由 解得动摩擦因数 对导轨应用牛顿第二定律，有 解得： 设导体棒在磁场中运动的时间为，导体棒的位移 此过程中导轨的位移为 当棒离开磁场瞬间，导轨左端恰好进入磁场，此时两者距离即为磁场宽度d，由相对运动的几何关系可知导轨的位移 即 联立可得 解得：（负值舍去） 故磁场宽度 （3）导体棒离开磁场瞬间，导轨的速度 计算得 导轨左端进入磁场后，两者最终达到共同速度v并匀速运动，此时整体所受安培力 对整体受力平衡有 解得 此过程导体棒在滑动摩擦力作用下做匀加速直线运动，其加速度大小 达到共速所需时间 设在此时间内导轨左端在磁场中运动的位移为，对整体应用动量定理有 其中流过导轨的电荷量 联立代入数据解得 因为，故导轨左端达到共速后还需匀速运动位移 计算得 匀速运动的时间 计算得 故穿越磁场所用的总时间，即 例3．（2026·河南三门峡·三模）电磁减速装置在生产生活中的应用极为广泛，其原理图可简化如图所示。在绝缘的水平地面上固定着一段无限长的平行光滑金属直导轨，导轨间距为，导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为。一根质量为的导体棒垂直放置在导轨上，导轨的一端连接着一个智能电阻箱，初始电阻阻值为（可根据需要调节电阻阻值大小）。若导体棒以初速度在导轨上开始滑行，其他电阻及一切摩擦阻力不计，导体棒与导轨接触良好且始终保持垂直。 (1)若电阻箱的阻值保持不变，当导体棒的速度由到的过程中，求： ①电阻箱产生的热量； ②导体棒滑行的位移大小。 (2)若要使导体棒匀减速滑行，求导体棒滑行至停止时的位移大小。 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①导体棒的动能最终转化为电路中的焦耳热，即     ②将整个过程分为无穷多段，每一段的时间为，根据动量定理有     可得 电荷量         解得         （2）若导体棒匀减速运动，有     导体棒切割磁感线电动势 由闭合电路欧姆定律可得 则安培力         导体棒运动的加速度为初始瞬间的加速度     导体棒的位移 变式1．（2026·天津红桥·三模）如图所示，两条足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面上，间距，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小，方向竖直向下，导轨左端连接一阻值的电阻，质量、电阻的金属棒ab在水平外力F的作用下沿导轨匀速向右运动，已知ab两端电压，导轨电阻不计。 (1)判断a、b两点，哪点电势高； (2)求ab的速度大小； (3)某时刻撤去外力F，求撤去外力F后，电阻R上产生的热量及通过的电量。 【答案】(1)a点电势高 (2) (3)； 【详解】（1）金属棒向右运动，根据右手定则可知，电流方向由b到a，则a点电势高。 （2）根据闭合电路欧姆定律得 根据欧姆定律得 根据电动势公式 解得 （3）根据能量守恒定律得 根据焦耳定律得 解得 对ab由动量定理得 结合电流定义式 联立解得 变式2．（2026·河南新乡·模拟预测）如图所示，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距，左端连接阻值的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小。某装置从右侧沿导轨水平向左发射第1根导体棒，导体棒以初速度进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第100根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量，电阻，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力和导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响，求： (1)第10根导体棒刚进入磁场时的加速度大小； (2)第20根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第99根导体棒速度减为0的过程中，导轨左端定值电阻上产生的总热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）第10根导体棒刚进入时，回路中的总电阻，此时回路中的感应电动势 根据闭合电路欧姆定律有 第10根导体棒受到的安培力为 对第10根导体棒根据牛顿第二定律有 解得 （2）第20根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，根据动量定理有，其中 解得 （3）由于每根导体棒均以初速度进入磁场，速度减为0时被锁定，则根据能量守恒，每根导体棒进入磁场后产生的总热量均为 第1根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨左端定值电阻上产生的热量 第2根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨左端定值电阻上产生的热量 第3根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨左端定值电阻上产生的热量 第根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨左端定值电阻R上产生的热量 则从第1根导体棒进入磁场到第根导体棒速度减为0的过程中，导轨左端定值电阻上产生的总热量 将代入得 变式3．（2026·江西·模拟预测）2025年11月18日，我国第一艘电磁弹射型航母福建舰编队首次在海上实兵训练，“歼-15DT”首次在福建舰上完成电磁弹射起飞和着舰，这标志着人民海军从“近海防御”向“远洋护卫”实现质的飞跃。“歼-15DT”电磁弹射原理图如图所示，两足够长的平行导轨固定在福建舰水平甲板上，两导轨间距为L，两导轨间接入电动势为E、内阻为r的电源，“歼-15DT”上连入导轨间部分导体的电阻为R，该部分导体与“歼-15DT”固定在一起但彼此绝缘，“歼-15DT”和该部分导体的总质量为M。电源、开关、两导轨和“歼-15DT”上导体构成一闭合回路，导轨所在空间存在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场。某次训练中，开始时开关S断开，“歼-15DT”从静止开始沿导轨加速运动，当速度为v0时开关S闭合，同时关闭“歼-15DT”的动力，“歼-15DT”在弹射系统安培力的作用下继续加速，运动过程中“歼-15DT”受到的阻力与速度大小的关系为f=kv（k为已知的比例系数且k>0），“歼-15DT”在弹射系统安培力作用下加速运动位移的大小为x0，不计导轨的电阻与其他摩擦阻力。 (1)求闭合S瞬间“歼-15DT”的加速度大小a； (2)求弹射过程中“歼-15DT”达到的最大速度大小vm； (3)若“歼-15DT”达到的最大速度vm=nv0（n>1），求弹射过程中电源输出的总能量W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）闭合S瞬间，“歼-15DT”上部分导体的感应电动势为 “歼-15DT”在弹射系统的安培力的作用下继续加速，安培力的方向与运动方向相同，根据闭合电路的欧姆定律得电路中的电流 “歼-15DT”受到的安培力大小 根据牛顿第二定律有 解得 （2）“歼-15DT”速度越大，导体产生的感应电动势越大，回路中电流越小，“歼-15DT”受到的安培力越小。当“歼-15DT”速度最大时加速度为0，此时安培力， 感应电动势为 回路中的电流为 阻力大小 解得 （3）“歼-15DT”在弹射系统的安培力的作用下加速过程，选水平向右为正方向，由动量定理有 电荷量 ， 弹射过程中电源输出的总能量 解得 考点二 有外力作用下水平导轨上的单杆模型 例1．（2026·辽宁阜新·模拟预测）某科学兴趣小组设计了一个“拉力和电磁推进小车”的模型，其原理图如图所示。在绝缘水平面上固定两根间距为、电阻不计的足够长平行金属导轨，其左端通过开关S与干电池相连。两导轨间存在磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场。质量为、长度为、电阻为的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨间的动摩擦因数为。在闭合S的同时，对金属棒施加一个大小为（为重力加速度大小）、方向平行导轨水平向右的恒定拉力，闭合S后，金属棒由静止开始运动。干电池的电动势为、内阻为，金属棒始终与导轨接触良好。求： (1)闭合S瞬间，金属棒的加速度大小； (2)金属棒的最大速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在闭合S的瞬间，金属棒的速度为0，产生的感应电动势为0，电路中的电流，其中   根据牛顿第二定律有，其中   解得 （2）当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势，此时电路中的电流   同时，金属棒所受的合力为0，有   解得 例2．（2026·河南周口·三模）如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面（纸面）上，间距，右侧存在垂直纸面向里的磁场，以点为原点，水平向右为轴正方向，磁场的磁感应强度大小随变化的图像如图乙所示。边的长度、边的长度的矩形金属线框置于导轨上。现使线框以的速度水平向右运动，边运动到处时，速度大小，边运动到处时，对线框施加水平向右的力使其匀速进入 的磁场区域，边运动到处时撤去外力。整个运动过程中线框始终与导轨接触良好。已知线框的质量，边和边的总电阻 ，其他边和导轨的电阻均可忽略。在线框运动的过程中，求： (1) 内磁场的磁感应强度大小； (2)撤去外力前瞬间，外力的大小与边所在位置间的函数关系式（采用国际单位制）； (3)撤去外力后，线框运动的位移大小。 【答案】(1)0.5T (2) (3)3.75m 【详解】（1）边从运动到的过程中，边产生的平均感应电动势 根据欧姆定律有 根据动量定理有 联立解得 （2）边从运动到的过程中，边产生的平均感应电动势 根据欧姆定律有 根据动量定理有 解得 由图乙可知，边从处运动到处的磁感应强度大小为 在撤去外力前瞬间，线框匀速运动，根据受力平衡，则有 解得 （3）撤去外力后，、边所有位置处的磁感应强度大小始终相差 则回路中的感应电动势为 根据欧姆定律有 线框所受安培力的合力大小为 对线框，根据动量定理有 可得 又撤去外力后，线框的位移大小为 联立解得 例3．（2026·陕西商洛·模拟预测）工业生产中，某自动化物料输送装置的简化模型如图所示，在水平面上有足够长的固定平行金属导轨，导轨间距，电阻不计，一质量的金属棒与导轨垂直放置，金属棒的长度恰好等于导轨间距，金属棒的电阻，导轨的一端连接一个阻值的定值电阻，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度。某时刻对金属棒施加一个水平向右的恒定拉力，金属棒从静止开始向右运动，运动距离时，达到最大速度。已知金属棒运动过程中始终与导轨垂直，金属棒与导轨间的动摩擦因数，重力加速度取。求： (1)金属棒能达到的最大速度； (2)金属棒从静止加速到最大速度的过程中产生的焦耳热； (3)金属棒从静止加速到最大速度的过程中经历的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设金属棒达到的最大速度为，则根据法拉第电磁感应定律可知，此时金属棒产生的感应电动势为 根据闭合电路欧姆定律可知，电路中的感应电流为 则此时金属棒受到的安培力为 由于金属棒达到最大速度时的加速度为零，故所受合力为零，则对金属棒进行受力分析，根据平衡关系有 联立解得 （2）对金属棒从静止加速到最大速度的过程，列动能定理方程有 设整个过程中电路产生的总焦耳热为，则根据功能关系有 又因为金属棒中产生的焦耳热为 联立解得金属棒从静止加速到最大速度的过程中产生的焦耳热为 （3）对金属棒从静止加速到最大速度的过程，由动量定理有 又因为 其中 联立解得金属棒从静止加速到最大速度的过程中经历的时间为 变式1．（2026·陕西西安·三模）如图所示，水平放置的足够长两条平行金属导轨相距为，三根质量均为的导体棒a、b、c相距一定距离垂直放在导轨上，导体棒a光滑，导体棒b、c与导轨间的动摩擦因数均为，导体棒的电阻均为，空间存在磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场。现用一水平向右的拉力作用在导体棒a上，使之由静止开始向右做匀加速运动，加速度。取重力加速度大小，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略导体棒间的相互作用。求： (1)当导体棒b刚开始运动时，导体棒a运动的时间； (2)若在导体棒a运动2s时撤去拉力，求导体棒a在导轨上滑行的总距离。 【答案】(1)7.5s (2)2.875m 【详解】（1）导体棒a切割磁感线产生的电动势为 导体棒a做匀加速运动，则有 由闭合电路欧姆定律得 以导体棒b为研究对象，由并联电路分流关系 导体棒b刚开始运动时，由平衡条件 联立解得 （2）在导体棒a运动2s时撤去拉力，在前2s导体棒b、c静止，导体棒a做匀加速直线运动，则有， 撤去外力F后，导体棒a做加速度逐渐减小的减速直线运动，导体棒b、c一直处于静止状态，对导体棒a由动量定理可得 其中 联立解得 则导体棒a在导轨上滑行的总距离为 变式2．（2026·广东广州·二模）如图，质量为的“U”形金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上，其单位长度的电阻为，bc段长为L，ab、cd段长均为3L。电阻不计、质量为m的导体棒PQ平行于bc放置在导轨上，且PQ与导轨间的动摩擦因数为μ，紧靠PQ左侧有两个固定于水平面的光滑绝缘立柱。空间中存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在时，PQ与bc间距为L，对bc边施加水平向左的力F使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a。已知重力加速度为g，PQ始终与导轨接触良好，求 (1)时回路中感应电流大小； (2)F随时间t变化的表达式。 【答案】(1) (2)①当时；②当时； 【详解】（1）线框做匀加速直线运动，速度 此时bc切割磁感线的电动势 回路中的电阻 由欧姆定律可得 将时间代入，联立解得 （2）PQ离开线框有 解得 ①当t≤T，也即时；由第（1）问可知，PQ未离开线框前，回路中的电流 线框受到的安培力 对线框分析，由牛顿第二定律可得 联立解得 ②当，也即时；离开后，线框中无电流无摩擦，则有 变式3．（2026·北京海淀·一模）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，两根相距为L的平行长直金属导轨水平放置，左端接阻值为R的定值电阻。一长为L、电阻为r的导体棒放置在导轨上，与导轨接触良好。导体棒在外力作用下沿导轨以速度v向右匀速运动。不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦，导体棒运动过程中始终与两导轨保持垂直。经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞。展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型；在此基础上，求出导体棒中一个自由电子受到金属离子阻碍其沿导体棒长度方向做定向移动的平均作用力f的表达式。 【答案】 【详解】设一个自由电子受到金属离子阻碍其沿导体棒长度方向做定向移动的平均作用力为f，电子在平均作用力、电场力和洛伦兹力的作用下做匀速直线运动，所以沿导线长度方向有， 可得 又感应电动势为 导体棒的两端电压为 联立可得 2 学科网（北京）股份有限公司 $