增分微练4利用切线解决最值范围问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以切线为核心纽带，通过导数几何意义构建切线斜率、距离公式与函数图象的逻辑链条，系统训练最值范围问题的转化与求解。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线与距离最值|1,3|导数求切线斜率，切线平行时距离最小|导数几何意义→点到直线距离公式→最值计算| |切线与交点个数|2,6|结合图象分析切线斜率与交点关系|函数切线→数形结合→参数范围判定| |切线与函数最值|5,9|转化为点到直线距离，利用切线求最小值|距离平方→切线平行→参数求解| |公切线问题|8,10|导数求公切线斜率，建立方程求解|双函数切线→方程联立→参数范围|

增分微练4　利用切线解决最值范围问题 (时间:45分钟) 1.点M是函数f(x)=的图象上的动点,则点M到直线y=x+2的距离的最小值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.+ B.- C. D. 2.函数y=k(x-1)与y=ln x的图象有且只有一个公共点,则实数k的取值范围为 (　 ) A.k=1 B.k≥e C.k=1或k≤0 D.k≤0或k=1或k≥e 3.已知点P为函数f(x)=ex的图象上任意一点,点Q为圆M:(x-1)2+y2=1上任意一点,则线段PQ长度的最小值为 (　 ) A.-1 B.1 C. D.-1 4.已知函数f(x)=|ln x|,若在区间内,函数y=f(x)-ax有3个不同的零点,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 5.[2024·广西桂林二模] 已知函数f(x)=(x-m)2+(aex-3m)2(m∈R)的最小值为,则正实数a的值为 (　 ) A.3 B.3e-2 C.3e2 D.3或3e-2 6.若函数f(x)=ln x与g(x)=ax2-ax的图象有两个不同交点,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,1)∪(1,+∞) D.(0,+∞) 7.[2024·湖南益阳期中] 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x+a,若g(x)存在3个零点,则a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 8.(多选题)[2024·湖北黄冈模拟] 已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x+1的图象与直线y=m分别交于点A,B,则 (　 ) A.m>0 B.对任意m>0,曲线y=f(x)在A处的切线总与曲线y=g(x)在B处的切线相交 C.|AB|的最小值为1 D.存在m>0,使得曲线y=f(x)在点A处的切线也是曲线y=g(x)的切线 9.[2024·山西大学附中月考] 已知点P在函数f(x)=xex的图象上,若到直线y=x+a的距离为2的点P有且仅有两个,则实数a的取值范围是　　　　.  10.若关于x的不等式组2+ln x≤ax+b≤ex恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  参考答案 增分微练4　利用切线解决最值范围问题 1.C　[解析] 因为f'(x)=,所以当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减,在同一坐标系中作出直线y=x+2和f(x)的图象如图.由f'(x)==1,得x2+ln x-1=0,易得函数y=x2+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,且x=1为其零点,所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+2平行,则当M的坐标为(1,0)时,点M到直线y=x+2的距离最小,由点到直线的距离公式可得M到直线y=x+2的距离的最小值为. 2.C　[解析] 易知y=k(x-1)的图象过定点(1,0),且点(1,0)在y=ln x的图象上.∵y=ln x,∴y'=,∴y=ln x的图象在x=1处的切线斜率k=y'=1,作出y=ln x的图象如图.结合图象可得,当k≤0时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有且只有一个公共点,则k≤0符合题意;当0<k<1时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有两个公共点,则0<k<1不符合题意;当k=1时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有且只有一个公共点,则k=1符合题意;当k>1时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有两个公共点,则k>1不符合题意.综上所述,实数k的取值范围为k=1或k≤0. 3.A　[解析] 由圆的对称性可得,只需考虑圆心M(1,0)到函数f(x)=ex的图象上任意一点的距离的最小值.设f(x)的图象上任意一点为N(m,em),f(x)的图象在点N(m,em)处的切线为l,因为f'(x)=ex,所以切线l的斜率为em,当MN⊥l时,圆心M(1,0)到点N的距离最小,此时=-e-m,则有e2m+m-1=0.设g(x)=e2x+x-1,则g'(x)=2e2x+1>0,g(x)在R上单调递增,又g(0)=0,所以m=0,所以N(0,1),所以圆心M(1,0)到f(x)的图象上任意一点的距离的最小值为,则线段PQ长度的最小值为-1. 4.A　[解析] 设g(x)=ax,由题知函数y=f(x)与g(x)=ax的图象有3个公共点,当a≤0时,显然不符合题意,所以a>0,作出y=f(x)与g(x)=ax的图象如图所示.当x∈时,函数y=f(x)与g(x)=ax的图象必有1个公共点,则a≤-ln,得a≤3ln 3;当x∈(1,3]时,只需函数y=f(x)与g(x)=ax的图象有2个公共点.设过原点且与曲线y=ln x相切的切线为l,切点为(x0,ln x0),则l的斜率k==,得x0=e,则k=,故a<且3a≥ln 3,所以a∈.综上,a的取值范围是. 5.D　[解析] (x-m)2+(aex-3m)2表示点A(x,aex)与点B(m,3m)的距离的平方,点A在曲线y=aex上,点B在直线y=3x上,∴a>0.设与直线y=3x平行的直线与曲线y=aex相切于点P(x0,a),∵y'=aex,∴a=3①.点A(x,aex)与点B(m,3m)的距离的平方的最小值等于点P(x0,a)到直线y=3x的距离的平方,则=,∴|a-3x0|=3②.由①②得x0=0,a=3或x0=2,a=3e-2.故选D. 6.C　[解析] 因为函数f(x)=ln x与g(x)=ax2-ax的图象有两个不同交点,所以方程ln x=ax2-ax有两个不同的解,所以=a(x-1)有两个不同的解,所以函数y=与函数y=a(x-1)的图象有两个不同的交点.设h(x)=,则h'(x)=,当x>e时,h'(x)<0,函数h(x)=在(e,+∞)上单调递减,当0<x<e时,h'(x)>0,函数h(x)=在(0,e)上单调递增,又h(1)=0,h(e)=,当x>1时,h(x)>0,所以函数h(x)=的图象如图.因为h'(1)=1,所以函数h(x)=的图象在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.观察图象可得,当a=1时,y=a(x-1)与h(x)=的图象有且只有一个交点;当a≤0时,y=a(x-1)与h(x)=的图象有且只有一个交点;当a>1或0<a<1时,y=a(x-1)与h(x)=的图象有两个交点.综上可得,a的取值范围是(0,1)∪(1,+∞). 7.D　[解析] 令g(x)=f(x)-x+a=0,得f(x)=x-a,则函数g(x)的零点个数即为函数f(x)与函数y=x-a的图象的交点个数,作出函数f(x)与函数y=x-a的图象,如图所示.当直线y=x-a与曲线y=ex相切时,因为y=ex,所以y'=ex,则ex=1,得x=0,所以切点坐标为(0,1),此时a=-1.因为g(x)存在3个零点,所以函数f(x)与函数y=x-a的图象有3个交点,所以解得-1-≤a<-1,所以a的取值范围是. 8.ACD　[解析] 设A,B的横坐标分别为x1,x2,则=ln x2+1=m,因为>0,所以m>0,故A正确;当m=1时,x1=0,x2=1,因为f'(x)=ex,g'(x)=,所以f'(x1)=f'(0)=1,g'(x2)=g'(1)=1,所以曲线y=f(x)在A处的切线与曲线y=g(x)在B处的切线斜率相等,两切线不相交,故B错误;|AB|=x2-x1=em-1-ln m,设h(m)=em-1-ln m(m>0),则h'(m)=em-1-(m>0),易知h'(m)在(0,+∞)上是增函数,且h'(1)=0,所以当m∈(0,1)时,h'(m)<0,h(m)单调递减,当m∈(1,+∞)时,h'(m)>0,h(m)单调递增,所以|AB|min=h(m)min=h(1)=1,故C正确;曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-=(x-x1),若此切线同时也是曲线y=g(x)的切线,可设切点坐标为(x0,y0),则 消去x0,y0得(x1-1)-x1=0,设φ(x)=(x-1)ex-x,则φ(-1)=-+1>0,φ(0)=-1<0,φ(2)=e2-2>0,因为φ(x)的图象是连续的,所以φ(x)至少有两个零点,故(x1-1)-x1=0有解,进而得到m的值是存在的且大于零的,故D正确.故选ACD. 9.(-4,4)　[解析] 由函数f(x)=xex,可得f'(x)=(x+1)ex,设斜率为1的直线与f(x)的图象相切于点M(x0,y0),则f'(x0)=1,即(x0+1)=1,解得x0=0,则切点为M(0,0).当点M(0,0)到直线y=x+a的距离为2时,可得=2,解得a=4或a=-4.由f'(x)=(x+1)ex可得,当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,又当x→-∞时,f(x)→0且f(x)<0,当x=0时,f(0)=0,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)的图象如图所示.当a=-4时,函数f(x)=xex的图象与直线y=x-4不相交,从而函数f(x)=xex的图象上有且仅有一个点到直线y=x-4的距离为2;当a=4时,函数f(x)=xex的图象与直线y=x+4相交,从而函数f(x)=xex的图象上有且仅有三个点到直线y=x+4的距离为2.综上,要使到直线y=x+a的距离为2的点P有且仅有两个,则-4<a<4,即实数a的取值范围为(-4,4). 10.[1,e]　[解析] 设f(x)=2+ln x,g(x)=ex,依题意知只需求曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线斜率.f'(x)=,g'(x)=ex,设切点分别为(x1,2+ln x1),(x2,),则切线方程为y-(2+ln x1)=(x-x1),即y=x+1+ln x1,y-=(x-x2),即y=x+(1-x2),所以=①,1+ln x1=(1-x2)②,由①得x2=-ln x1,代入②得(1+ln x1)=0,则x1=1或x1=,故公切线的斜率为1或e.作出曲线y=f(x)与曲线y=g(x)如图,由图可知a∈[1,e]. 1 学科网（北京）股份有限公司 $