增分微练4利用切线解决最值范围问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

增分微练4　利用切线解决最值范围问题

(时间:45分钟)

1.点M是函数f(x)=的图象上的动点,则点M到直线y=x+2的距离的最小值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.+   B.-

C.   D.

2.函数y=k(x-1)与y=ln x的图象有且只有一个公共点,则实数k的取值范围为 (　 )

A.k=1 

B.k≥e

C.k=1或k≤0 

D.k≤0或k=1或k≥e

3.已知点P为函数f(x)=ex的图象上任意一点,点Q为圆M:(x-1)2+y2=1上任意一点,则线段PQ长度的最小值为              (　 )

A.-1   B.1

C.   D.-1

4.已知函数f(x)=|ln x|,若在区间内,函数y=f(x)-ax有3个不同的零点,则实数a的取值范围是 (　 )

A.  B.

C.   D.

5.[2024·广西桂林二模] 已知函数f(x)=(x-m)2+(aex-3m)2(m∈R)的最小值为,则正实数a的值为 (　 )

A.3   B.3e-2

C.3e2  D.3或3e-2

6.若函数f(x)=ln x与g(x)=ax2-ax的图象有两个不同交点,则实数a的取值范围是 (　 )

A.(0,1)    B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)  D.(0,+∞)

7.[2024·湖南益阳期中] 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x+a,若g(x)存在3个零点,则a的取值范围是 (　 )

A.   B.

C.   D.

8.(多选题)[2024·湖北黄冈模拟] 已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x+1的图象与直线y=m分别交于点A,B,则 (　 )

A.m>0

B.对任意m>0,曲线y=f(x)在A处的切线总与曲线y=g(x)在B处的切线相交

C.|AB|的最小值为1

D.存在m>0,使得曲线y=f(x)在点A处的切线也是曲线y=g(x)的切线

9.[2024·山西大学附中月考] 已知点P在函数f(x)=xex的图象上,若到直线y=x+a的距离为2的点P有且仅有两个,则实数a的取值范围是　　　　. 

10.若关于x的不等式组2+ln x≤ax+b≤ex恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

 

参考答案

增分微练4　利用切线解决最值范围问题

1.C　[解析] 因为f'(x)=,所以当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减,在同一坐标系中作出直线y=x+2和f(x)的图象如图.由f'(x)==1,得x2+ln x-1=0,易得函数y=x2+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,且x=1为其零点,所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+2平行,则当M的坐标为(1,0)时,点M到直线y=x+2的距离最小,由点到直线的距离公式可得M到直线y=x+2的距离的最小值为.

2.C　[解析] 易知y=k(x-1)的图象过定点(1,0),且点(1,0)在y=ln x的图象上.∵y=ln x,∴y'=,∴y=ln x的图象在x=1处的切线斜率k=y'=1,作出y=ln x的图象如图.结合图象可得,当k≤0时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有且只有一个公共点,则k≤0符合题意;当0<k<1时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有两个公共点,则0<k<1不符合题意;当k=1时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有且只有一个公共点,则k=1符合题意;当k>1时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有两个公共点,则k>1不符合题意.综上所述,实数k的取值范围为k=1或k≤0.

3.A　[解析] 由圆的对称性可得,只需考虑圆心M(1,0)到函数f(x)=ex的图象上任意一点的距离的最小值.设f(x)的图象上任意一点为N(m,em),f(x)的图象在点N(m,em)处的切线为l,因为f'(x)=ex,所以切线l的斜率为em,