3.3.1　从函数观点看一元二次方程课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦“从函数观点看一元二次方程”，核心内容包括二次函数零点概念、一元二次方程与二次函数的关系及图象法解方程。通过一次函数与一元一次方程关系的情境导入，引导学生类比探究二次函数与一元二次方程的联系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象核心素养，如用表格清晰呈现判别式、方程根、函数图象与零点的关系，典型例题通过根与系数关系及零点分布求参数范围，培养学生思维能力。学生能深化知识理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

3.3.1 从函数观点看一元二次方程 新课程标准解读 核心素养 1.正确理解二次函数零点的概念 数学抽象 2.理解一元二次方程与二次函数的关系 逻辑推理 3.掌握图象法解一元二次方程 直观想象、数 学运算 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　函数与方程有着一定的联系，如一次函数 y ＝ ax ＋ b 与一元一次 方程 ax ＋ b ＝0之间关系的探究： a ＞0 a ＜0 一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图象 一元一次方程 ax ＋ b ＝0的根 有一个实数根 有一个实数根 目录 数学·必修第一册（SJ） 　　通过探究，我们发现一次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是对应 方程的解. 【问题】　你能否对二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）图象与 x 轴交 点的横坐标和对应的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的解建立 联系？ 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点一　二次函数的零点 　一般地，一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根就是二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）当函数值取 时自变量 x 的值，即二次 函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象与 x 轴交点的 ，也称 为二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的零点. 提醒　函数的零点不是点，是函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 零　 横坐标　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点二　一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之 间的关系 　当 a ＞0时，一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的根、二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象、二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的零点之间的关 系如表所示： 目录 数学·必修第一册（SJ） 判别式Δ＝ b2－4 ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0 的根 没有实 数根 目录 数学·必修第一册（SJ） 判别式Δ＝ b2－4 ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的零点 有两个零点 x1，2 ＝ ⁠ ⁠ 有一个零点 ⁠ ⁠ 无零点 x ＝－ 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的零点⇔一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的实数根 ⇔二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 函数 y ＝ x2－3 x ＋2的零点是（　　） A. －1，－2 B. －1，2 C. 1，2 D. 1，－2 解析：　由 x2－3 x ＋2＝0得 x1＝1， x2＝2，故函数 y ＝ x2－3 x ＋2 的零点为1和2.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）以下四个命题正确的是（　　） A. 二次函数的零点是其图象与 x 轴的交点 B. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）一定有零点 C. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的零点即为对应方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的根 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　对于A，零点不是点，是图象与 x 轴交点的横坐标，故 A错误；对于B，当Δ＝ b2－4 ac ＜0时，没有零点，故B错误；对于 C，由二次函数的零点与方程根的关系，易知C正确；对于D，由Δ ＝（－4）2－4×4×1＝0，知二次函数 y ＝4 x2－4 x ＋1有一个零点 为 x ＝－ ＝－ ＝ .故D正确. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 二次函数 y ＝2 x2＋ ax －3（ a ∈R）的零点个数是 ⁠. 解析：因为Δ＝ a2－4×2×（－3）＝ a2＋24＞0，所以二次函数 y ＝2 x2＋ ax －3（ a ∈R）的零点个数为2. 2　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 二次函数的零点 【例1】　（链接教科书第64页练习3题）（1）二次函数 y ＝ x2－7 x ＋ 12的零点为 ⁠； 解析：由 x2－7 x ＋12＝0得 x1＝3， x2＝4.所以函数 y ＝ x2－7 x ＋12的 零点为3和4. 3和4　 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若函数 y1＝ x2－ ax － b 的图象如图所示，则函数 y2＝ bx2－ ax －1 的零点是 ⁠. － 和－ 　 解析：由题图可知函数 y1＝ x2－ ax － b 的零点是2和3，由函数的 零点与对应方程根的关系知方程 x2－ ax － b ＝0的两根为2和3， 再由根与系数的关系得 a ＝2＋3＝5，－ b ＝2×3＝6，即 a ＝5， b ＝－6.所以 y2＝－6 x2－5 x －1，易得 y2＝－6 x2－5 x －1的零点 为－ 和－ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程 的根. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 求下列函数的零点： （1） y ＝3 x2－2 x －1； 解：由3 x2－2 x －1＝0解得 x1＝1， x2＝－ ，所以函数 y ＝3 x2－ 2 x －1的零点为1和－ . （2） y ＝ ax2－ x － a －1（ a ∈R）； 解：①当 a ＝0时， y ＝－ x －1，由－ x －1＝0得 x ＝－1，所以 函数的零点为－1. 目录 数学·必修第一册（SJ） ②当 a ≠0时，由 ax2－ x － a －1＝0得（ ax － a －1）·（ x ＋1） ＝0，解得 x1＝ ， x2＝－1， 当 a ＝－ 时， x1＝ x2＝－1，函数有唯一的零点－1. 当 a ≠－ 且 a ≠0时， x1≠ x2， 函数有两个零点－1和 . 综上：当 a ＝0或－ 时，函数的零点为－1. 当 a ≠－ 且 a ≠0时，函数有两个零点－1和 . 目录 数学·必修第一册（SJ） （3） y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，其图象如图所示. 解：由图象可知，函数有两个零点－1和3. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 二次函数零点个数的判断与证明 【例2】　（链接教科书第64页例1）求证：函数 y ＝－ x2－2 x ＋5有两 个零点. 证明：考察一元二次方程－ x2－2 x ＋5＝0， 因为Δ＝（－2）2－4×（－1）×5＝24＞0，所以方程－ x2－2 x ＋5＝ 0有两个不相等的实数根， 因此，二次函数 y ＝－ x2－2 x ＋5有两个零点. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的零点个数的判断 　　一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的判别式Δ＝ b2－4 ac . （1）Δ＞0⇔函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）有两个零点； （2）Δ＝0⇔函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）有一个零点； （3）Δ＜0⇔函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）无零点. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若 a ＞2，则函数 y ＝（ a －2） x2－2（ a －2） x －4的零点个数为 （　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 解析：　考察一元二次方程（ a －2） x2－2（ a －2） x －4＝0， 因为Δ＝4（ a －2）2＋16（ a －2）＝4（ a －2）·（ a ＋2），又 a ＞ 2，所以Δ＞0，所以函数 y ＝（ a －2） x2－2（ a －2） x －4有两个 零点. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 求证：函数 y ＝ ax2－ x － a （ a ∈R）有零点. 证明：当 a ＝0时， y ＝－ x ，该函数有零点0； 当 a ≠0时，对于一元二次方程 ax2－ x － a ＝0，Δ＝1＋4 a2＞0，函 数 y ＝ ax2－ x － a 有两个零点. 综上，函数 y ＝ ax2－ x － a （ a ∈R）有零点. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 二次函数零点的分布探究 【例3】　（链接教科书第64页例2）（1）判断二次函数 y ＝－ x2－2 x ＋1在（－3，－2）上是否存在零点； 解：由－ x2－2 x ＋1＝0得 x1＝－1＋ ， x2＝－1－ ，因为－3＜ －1－ ＜－2，所以二次函数 y ＝－ x2－2 x ＋1在（－3，－2）上存 在零点. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若二次函数 y ＝ x2－5 x ＋1－ m 的两个零点均大于2，求实数 m 的 取值范围. 解：设二次函数的两个零点分别为 x1， x2， 因为二次函数 y ＝ x2－5 x ＋1－ m 的两个零点均大于2， 所以方程 x2－5 x ＋1－ m ＝0有两个不相等的根且两根均大于2， 则 x1－2＞0， x2－2＞0， 所以即 解得－ ＜ m ＜－5， 所以实数 m 的取值范围是（－ ，－5）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　由二次函数的零点分布求参数范围问题，一般要结合对应一 元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行 求解；或结合二次函数图象，得出开口方向、对称轴、判别式及 端点函数值符号（此端点指的是与方程的根比较大小的数），列 出不等式组进行求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知函数 y ＝ x2－ x － a2＋ a （ a ∈R）. （1）若该函数有两个不相等的正零点，求 a 的取值范围； 解：由 x2－ x － a2＋ a ＝0得 x1＝ a ， x2＝1－ a ， 因为该函数有两个不相等的正零点，所以解得0＜ a ＜ 或 ＜ a ＜1， 所以 a 的取值范围是 ∪ . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求 a 的取 值范围. 解：因为函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1， 所以或 解得 a ＞1或 a ＜0. 所以 a 的取值范围是（－∞，0）∪（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 函数 y ＝2 x2－3 x ＋1的零点是（　　） 解析：　解方程2 x2－3 x ＋1＝0，得 x1＝ ， x2＝1，故函数 y ＝2 x2－3 x ＋1的零点是 和1.故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若函数 y ＝ kx2－ x ＋1（ k ≠0）有零点，则 k 的取值范围是（　　） 解析：　依题意得Δ＝1－4 k ≥0，解得 k ≤ ，又 k ≠0.故 k 的取 值范围为 k ≤ 且 k ≠0.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知函数 y ＝ x2－ ax －3 a 的一个零点是－2，则它的另一个零点是 ⁠. 解析：由题意知，4＋2 a －3 a ＝0，解得 a ＝4，故方程为 x2－4 x － 12＝0，解出另一个根为6. 6　 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 讨论函数 y ＝（ ax －1）（ x －2）（ a ∈R）的零点. 解：当 a ＝0时，函数为 y ＝－ x ＋2，则函数的零点为2； 当 a ＝ 时，则 （ x －2）＝0， 解得 x1＝ x2＝2，则函数的零点为2； 当 a ≠0且 a ≠ 时，由（ ax －1）（ x －2）＝0， 解得 x1＝ ， x2＝2，则函数的零点为 和2. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $