2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区选拔赛试题

**基本信息** 2026年江苏数学奥赛选拔赛试卷，通过12道填空题（84分）和5道解答题（116分），覆盖复数、三角函数、概率等多领域，以综合性问题考查数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/84|复数运算、解三角形、概率计算、立体几何、解析几何、函数奇偶性、椭圆方程、不等式最值、数论、集合|基础与能力结合，如概率题以三局两胜制考查实际应用，体现数学语言表达| |解答题|5/116|抛物线切线、几何证明、向量集合、数论性质、组合最值|突出综合创新，如立体几何与解析几何结合（正四棱锥内切球），数论题考查素因子性质，培养逻辑推理与创新意识|

第1题 题目已知复数2满足2+=2，则以= 5 解由题意z卡0，原式两边同乘z,得 z2-2z+5=0→ 2=2±1G 2 =1士2i 因而 14=V12+22=V5 第2题 题目在锐角△ABC中，BC=3,AC=2√2。若其面积为3，则tan∠BAC= 解记a=BC=3,b=CA=2V2,c=AB,三角形面积为S=3。由面积公式及锐角条件， mc-器-3万号 →C=45. 由余弦定理， c2=a2+b2-2 abcosC=9+8-12=5,c=V5. 再由面积公式、余弦定理， sin A=28 3 2=而 COSA=2+02-a2 1 2bc 故 tam∠BAC=tanA=sin eosA-☒ 第3题 题目甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用三局两胜制。己知每局比赛甲胜的概率为 乙胜的概率为 乙赢得比赛的概率为 解各局相互独立。乙以2：0获胜的序列为“乙乙”：以2：1获胜的序列为“乙甲乙”或“甲乙乙”。因此 )+2() 99 27 P(乙赢得比赛) =6+32 32 第4题 题目在正四棱锥P一ABCD中，AB=2v2,侧面与底面所成二面角的正切值为√2，则此正四棱锥的内 切球半径为 解设O为正方形ABCD的中心，M为AB的中点，侧面与底面的二面角为0。在截面△POM中， PO⊥OM,且 oM-g-反PM0-gam0-吃 故棱锥的高与斜高分别为 PO=OMtan0=2,PM=VPO2+OM2=V6 于是 V-3@例.2=，s泰=2v@r+42v@6=81+V 设内切球半径为r。以内切球球心为顶点、各面为底面分割棱锥，有V=S表，从而 3V2 r= S表1+V 3-1 第1页 第5题 日在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:方-及=1(a,b>0)的离心率e=V3。p为 半轴上一点，过P作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A,直线PA与另一条渐近线交于点B。若 PA=tPB,则t的值为 解由离心率 e2=1+2 =3→k:=名=V2 两条渐近线为=±kx。设P=(p,0)(p>0),不妨取所作直线垂直于y=kz,则其方程为 y=-t-p k 它与y=kx、y=-kx分别交于 A=(4)B-(Pe) 代入k2=2,· 有 pi=(-2,V2p)=3PA 第6题 题目己知a,b为实数，函数fx)=asin4r- m2红r+6,g)=f(-》.若g回为奇函数，则君 的值为 解令u=-由-m22u=os4-子得 9回=am(红+)+o(红+)+b-月 sin 4x+ V3a 2 os4红+b-是 9(x)为奇函数，故余弦项和常数项的系数均为零： V3a 1 2-8=0, 40. 1 b- 因而a= b=京所以 1 6=3 第7题 题目在平面直角坐标系xOy中，己知点O(0,0),A(-1,1),B(0,3),C(2,4),D(3,3)都在椭圆T上，则 T的焦距为 解设椭圆的一般方程为 Ax2+Bzy+Cy2+Dx+Ey+F=0. 将O,A,B,C,D五点依次代入并约去非零公因子，得 x2-xy+y2-3y=0. 第2页 其中心由2x-y=0,-x+2y-3=0求得为(1,2)。令X=x-1Y=y-2,再取 X+Y X-Y u=- 2,= 则 X2-XY+Y2=3→ u22 6 21. 因此c=V6-2=2,椭圆的焦距为2c=4 第8题 (ab+cd)2 题目设实数a,66d∈，孔则十CP+丙的最小值为 解记向量u=(a,c),v=(b,d)的方向角分别为a,B,则 (ab+cd)2 (a2+c2)(+的=cos(a-. 因a,b,c,d∈[1,3， 有 amB=号∈B3 1 两方向的最大夹角为△=arctan3-arctan3'且 3-34 1 9 tan△=1+3产多=3 cos2△=1+tan2△= 25 当(a,c)=(1,3),(b,d)=(3,1)(或两组互换)时取等号，故最小值为 9 25 第9题 题目己知整数u,v满足7u+18=1,且vl≤2026，这样的数对(u,v)共有 个。 解取特解(u,v)=（-5,2),则方程7u+18v=1的全部整数解为 u=-5+18k,v=2-7k, k∈Z. 由lul≤2026得 -2026≤2-7k≤2026←→-289≤k≤289. 故数对共有289-(-289)+1=579个。 第10题 题目己知集合T≤{1,2，·，2026}，若T中任意两个数之差不等于96，则T中元素个数的最大值为 解按模96将1,2，·，2026分成96条链 Cr={r,r+96,T+2.96,…}∩{1,2，，2026}，1≤r≤96. 同一条链中相邻两项之差为96，故长度为m的链至多选「m/2]项（逐对分组即可)，且隔项选取能达到此 数。由于2026=21·96+10，前10条链长22，其余86条链长21，所以 T1≤102 2 +86 =96.11=1056. 各链均从首项起隔项选取即可取等号，故最大值为1056 第3页 第11题 题目设函数f(x)的定义域为R,且x,y∈R,均有 f(+y)=f(x)f(y)-xy. 这样的函数f(x)共有 个。 解记P(x,):f(x+)=f(x)f()-y。分别用P(x+y,z)与P(x,!+z)计算f(x+y+z),得 f(+y+2)=f()f(y)f(z)-xyf(z)-zz-yz, f(+y+2)=f(x)f(y)f(z)-yzf()-zy-xz. 两式相减，并取y=1,得到 x(f(z)-1)=2(f(x)-1) 令z=1,则f(x)=1+cx,其中c=f(1)-1。代回原式可得(c2-1)xy=0对任意x,y成立，故c=±1。 两函数f(z)=1+x、f(x)=1-x均满足条件，所以共有②个。 第12题 题目设a1,a2,·,a100∈R。若 {la1la2J,,la1oo]}={1,2,,100}, 99 则∑La+1-a的最大值与最小值之差为 =1 解令 b:=laJ,0:=a:-b:∈0,1). 由题设知(b1,…,b100)是1,2，，100的一个排列。再令6：=1（当0：+1<0：），否则令6：=0，则 a+1-aJ=bi+1-b:-6i. 记D=∑21d,则0≤D≤99， 从而 99 S:=>Lait1-ai]=b100-61-D, -198≤S≤99. i=1 上界可由a=i取到。下界可取b1=100,b1o0=1,b:=i(2≤i≤99)，并令0：=(101-)/101：此时 D=99,故S=-198。因此最大值与最小值之差为99-(-198)=297 第13题 题目在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线T:y=22。过点P(1,)的直线与T交于A,B两点，T在 A,B处的切线交于点Q。 (1)求线段PQ长度的最小值： (2)若直线PQ与T交于C,D两点，M,N分别为线段AB,CD的中点。求证：直线MN经过定点。 解设抛物线上一点为T(t)=(t,2/2),其切线为 :y=t缸-2 令A=T(a),B=T(b),记s=a+b,p=ab。弦AB的方程为 g=2-2 第4页 因P(1,1)∈AB,故s-p=2。联立A,B处切线得 Q=(⑤) 置u=s/2,则p=2u-2,Q=(u,u-1)。对应的a,b为t2-2t+2u-2=0的两根，而其判别式 4(u-1)2+1]>0, 故u可取任意实数。 (1) p2=u-12+e-2P=2(（u- 1 ) 故当u=3/2时取等号， min PQ= v② (2)任一过P的弦，其两端参数设为r1,2,并令h=(r1+r2)/2。由r1+T2-r1r2=2,其中点为 K肉=(（么，牛）=位，2-+ 故M=K(u)。题设PQ与抛物线交于两点，故u≠1：又弦的斜率等于两端参数和的一半，令 =k0= N=K(v). 此时(u-1)(v-1)=-1,即uw=u+v-2。于是MN的方程为 y=(u+v-1)z+1-uw=(u+v-1)x+3-u-v, 代入x=1恒有y=2,故直线MN恒过定点 1,2) 第14题 题目设点D,E,F分别为△ABC内切圆与三边的切点(D∈AB,E∈AC,F∈BC),作DG⊥EF于 点G。直线AG交BC于点M,直线BG交AC于点N。 (1)求证：A,B,M,N四点共圆。 (2)设P为线段AN中垂线与BM中垂线的交点，Q为CM中垂线与AB边上的高CH的交点。求证： PQ⊥MN. (1)题设构型与共因 (2)两网与公共弦M 第5页 解记a=BC,b=CA,c=AB,半周长、内切圆半径分别为s,r,并令 x=AD=AE=s-a,y=BD=BF=s-b,z=CE=CF=s-c. 则a=y+乙，b=x+2,c=x+y,s=x+y+2。 (1)在内切圆的接触三角形DEF中， ∠DEF=90°-B ∠DFE=90°- 2 A DE 2r cos B DF=2r cos2. 由DG⊥EF及半角公式tan(A/2)=r/x,tan(B/2)=r/y,得 EG DE cos∠DEF GF=DF cos LDFE tan(B/2) tan(A/2)y 在△CEF中，对直线AGM、BGN分别用梅涅劳斯定理： CA EG FM CB FG EN A亚GF·MC=1, BF·GE NC=1. 代入上式及AE=x,BF=,得 器 EN NC-a 又CF=CE=z, 所以 bzbz CM= 6+= CN=az=az a+x s 于是 BC.CM=CA.CN abE 由割线定理的逆定理， A,B,M,N四点共圆 (2)记圆ABMN为w1。由P的定义，P是w1的圆心。又因Q在CM的中垂线上，故QC=QM:以 Q为圆心、QC为半径作圆w2,则C,M∈2。 设w2在C点的切线为。因CQ⊥AB,故L‖AB。由第一问及A,N,C共线， ∠CNM=180°-∠ANM=∠ABM. 又B,M,C共线，所以（直线角均模180°) ∠(E,CM)=∠CNM. 由切线弦定理的逆定理，N∈w2,从而QN=QM。 两圆w1,⊙2的公共弦为MN,圆心分别为P,Q,故 PQ⊥MN 第6页 第15题 题目已知向量0户=(182,143)，00=(262,206)。记集合 T={a|a=x0p+y0d,工，yeZ. 求集合T中非零向量的模的最小值及所对应的向量。 解记 p=(182,143), 9=(262,206). 作整数基变换 u=-36p+25g=（-2,2), v=-23p+16q=(6,7). 由于 -36-23\ det =-36×16+23×25=-1, 25 16 该变换为可逆整数变换， 故 T={mu+nv|m,n∈Z} 任取非零向量a=mu+nv∈T,则 la2=(-2m+6n)2+(2m+7m)2 =8n2+nn+85m2=8(m+)°+192 2 若n≠0，则川a2≥>8：若n=0,则因a≠0而有m≠0，从而‖a2=8m2≥8，且等号仅在 m=士1时成立。 因此，T中非零向量模的最小值为 22 对应的向量为 (-2,2)和(2，-2) 第16题 题目设整数n≥2满足：对任意与n互质的整数a,有 a"-1三a(modn): (1)若p是n的奇质因子，求证：p21n: (2)设n的奇质因子仅有两个，求所有满足条件的n。 解(1)反设奇素数p满足p2|n,置b=n/p,取a=1+b。对每个素因子r|n都有a≡1(modr)(对 r=p用p2|n),故(a,n)=1。又b2=n(n/p2),二项式展开得 an-1=(1+b)m-1≡1+(n-1)b(modn): 题设将迫使 n|(am-1-a)=(n-2)b→p|n-2, 与p|n且p为奇素数矛盾。因此 (2)设两个奇素因子为p<q。由(1)，可写成 n 2pq, k=2(n)≥0. (1) 第7页 记入(m)为（亿/mZ)×的指数。因(a,n)=1时可约去a,题设等价于 λ(n)|n-2. (2) 中国剩余定理及标准公式 1 (k=0,1), A(m)=lcmA(2*),p-1,q-1), A(2)= 2 (k=2), (3) 2k-2(k≥3)， 给出p-1|n-2、q-1|n-2。代入(1)化为 p-1|2*(q-1)+(2*-2), (4) 9-112*m-1)+(2*-2). ()k=0。(4)的第二式给出q-1|p-2,不可能。 ()k=1。(4)变为 p-1|2(q-1),9-1|2p-1) 因p-1<q-1,必有q-1=2(p-1),即q=2印-1。反之，若p,2p-1均为奇素数， n-2=2p(2p-1)-2=2(p-1)(2p+1) 被1cm(p-1,2p-2)=2(p-1)整除，故得到一族 n=2p(2p-1)（p,2印-1均为奇素数). (5) ()k≥2。 此时 2(n-2)=2(2(2*-19-1)=1. 由(2)-(3)，p-1,q-1的2进赋值均为1，且k≥3时2k-2|n-2,故只能有k=2或k=3。写 p=2x+1,q=2+1,x<,x,y为奇数，t=2-1∈{2,4. 则(4)等价于 x|2ty+t-1,y|2tz+t-1. 令正整数u,v满足 uy=2t+t-1, vx 2ty +t-1. 由x<y得1≤u≤2t-1、v≥2t+1:消去y得 (uw-4t2)x=(t-1)(2t+u). (6) 由x≥1还有1≤uu-4t2≤(t-1)(2t+u),故按u的有限范围及(6)枚举（同时要求y=(2tx+t-1)/u 为整数)，得到 t(u,v) (x,y） (p,q) 取舍 2|(1,21) (1,5) (3,11) 2 (1,17) (5,21) (11,43) 4 (1,91) (1,11) (3,23) ? (3,25) (3,9) (7,19) 4 (1,67) (9,75) (19,151) 4 (5,13) (39,63) (79,127) 4 (1,73) (3.27) (7,55) 舍(q合数) 4 (1,65) (27,219) (55,439) 舍（p合数) 第8页 故k=2,3时分别得到 132=4.3.11,1892=4.11·43, 552=8.3.23,1064=8.7.19,22952=8.19.151,80264=8.79.127. 表中保留项均有p-1,q-1|n-2,且(2*)=2|n-2,故由(3)有(n)|n-2,因而满足原题条件。综 上， 全部答案为 n=2p(2p-1)(p,2p-1均为奇素数)，n∈{132,552,1064,1892,22952,80264} 第17题 题目有一个4×2026的矩形T,它被分割成4×2026个单位正方格。若两个不同的单位正方格有一条公共 边，就称它们相邻。现将其中m个单位正方格染成蓝色，使任意一个单位正方格都至少与一个蓝色单位正方 格相邻，求m的最小值。 解将最外侧两行（第1,4行)中的蓝格数记为x,中间两行（第2,3行）中的蓝格数记为y,则m=x+y 注意题目中的相邻格必须是两个不同的方格，所以蓝格本身也必须有蓝色邻格。 数“外侧格与其蓝色邻格”的关联对。每个外侧格至少贡献一对：一个外侧蓝格至多邻接2个外侧格，一个 中间蓝格至多邻接1个外侧格，故 2.2026≤2x+y. (1) 同理数“中间格与其蓝色邻格”的关联对：一个外侧蓝格至多邻接1个中间格，一个中间蓝格至多邻接3个 中间格（同一行左右各一个，另一中间行一个），故 2.2026≤x+3y. (2) 由2×(1)+(2)得 T6·2026 6.2026≤5x+5y=5m, m≥ =2432. (3) 5 下面给出达到此下界的染法。自上而下将行编号为1,2,34，自左而右将列编号为1,2，.，2026。因2026= 5·405+1,对每个k=0,1,.,404,染蓝 (2,5k+1),(3,5k+1),(1,5k+3),(4,5k+3),(1,5k+4),(4,5k+4), (4) 并另染(2,2026)，(3,2026)。这里(r,c)表示第r行第c列的方格。 每个五列块的蓝格行集合依次为 {2,3},⑦，{1,4}，{1,4}，0， 末尾再接一列{2,3}。其中{2,3}列的四格均由竖直邻格覆盖：相邻的两列{1,4}中，蓝格彼此横向相邻，而 第2,3行分别由第1,4行覆盖：每个空列两侧的蓝格行集合之并均为{1,2,3,4}。故所有方格（包括蓝格）均 有蓝色邻格。该染法共用 6.405+2=2432 个蓝格。结合(3)，所求最小值为 2432 第9页 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区选拔赛 一、填空题：本题共12小题，每小题7分，满分84分，请把答案填写在答卷相应位置上． 1．已知复数满足．则_____． 2．在锐角中，，，若其面积为3，则_____． 3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用三局两胜制．已知每局比赛甲胜的概率为、乙胜的概率为，则乙赢得比赛的概率为_____．（答案用最简分数表示） 4．在正四棱锥中，，侧面与底面所成二面角的正切值为，则此正四棱锥的内切球的半径为_____． 5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率，为正半轴上一点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，若，则的值为_____． 6．已知为实数，函数，．若为奇函数，则的值为_____． 7．在平面直角坐标系中，已知点，，，，都在椭圆上，则椭圆的焦距为_____． 8．设实数，则的最小值为_____． 9．已知整数满足．且，这样的数对共有_____个． 10．已知集合，若集合中任意两个数之差不等于96，则中的元素个数的最大值为_____． 11．设函数的定义域为，且，均有．这样的函数共有_____个． 12．记为不超过实数的最大整数．设，若，则的最大值与最小值之差为_____． 二、解答题：本题共5小题，满分116分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（本题满分16分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在两点处的切线交于点． （1）求线段长度的最小值； （2）若直线与抛物线交于两点，分别为线段的中点．求证：直线经过定点． 14．（本题满分20分） 如图1，点分别为的内切圆与三条边的切点，，垂足为，直线交于点，直线交于点． ( 图1 )（1）求证：四点共圆； （2）如图2，设点为线段的中垂线与的中垂线的交点，点为的中垂线与边上的高的交点．求证：． 15．（本题满分20分） ( 图 2 )已知向量，．记集合 ， 求集合中非零向量的模的最小值及所对应的向量． 16．（本题满分30分） 设正整数满足：对任意与互质的整数，有． （1）若是的奇素因子，证明：； （2）设的奇素因子仅有两个，求所有满足条件的． 17．（本题满分30分） 有一个的矩形，它被分割成个单位正方格．若两个不同的单位正方格有一条公共边，就称它们为相邻的．现将矩形中个单位正方格染成蓝色，使中任意一个单位正方格都至少与一个蓝色的单位正方格相邻，试求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $