暑假预习：数字类规律探索问题、图形类规律探索问题 专项训练-2026年小升初暑假数学（人教版七年级数学上册）

**基本信息** 聚焦数字与图形规律探索，精选各地开学考及期中期末真题，覆盖循环、数列、点阵、几何变换等核心题型，强化观察归纳与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字类规律探索问题|6例+6变式|涵盖循环小数、数列排列、递推运算、进位制转换等，强调数与式的抽象表达|从具体数字现象观察到规律提炼，培养抽象能力与符号意识，构建“观察-猜想-验证”逻辑链条| |图形类规律探索问题|5例+5变式|包含几何计数、变换规律、传统文化图形等，突出图形与数量的转化|从图形结构分析到数量关系归纳，发展几何直观与空间观念，形成“形-数-式”转化思维|

暑假预习：数字类规律探索问题、图形类规律探索问题专项训练 暑假预习：数字类规律探索问题、图形类规律探索问题专项训练 考点目录 数字类规律探索问题 图形类规律探索问题 考点一 数字类规律探索问题 例1．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）现有一个循环小数0.231853185……，小数点后第100位上的数是（     ） A．3 B．5 C．8 D．1 例2．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）的值在以下两数之间（     ）． A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）观察这一列数：，根据它们的排列规律写出第6个数是___________． 例5．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为7，我们发现第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5，…，则第2024次输出的结果为___． 例6．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 变式1．（25-26七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 变式2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 变式3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 变式4．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示1024的点与圆周上某个点重合，这个点所标数字为______． 变式5．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）若一列数依次为，即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第9个数为______． 变式6．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 考点二 图形类规律探索问题 例1．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·河南焦作·期中）如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 例4．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪，摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示，表示，则表示______ 例5．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 变式1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑩个图形中桃心的个数为（     ） A．26 B．29 C．32 D．34 变式2．（25-26七年级上·河南郑州·月考）1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，用相等长度的火柴棒摆成如图所示的一组图形，按照此规律，摆第个图形要用的火柴棒的根数为（    ）． A． B．12m C． D． 变式4．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图，用棋子摆成反写的“”字．摆成第10个反写的“”字需要______个棋子． 变式5．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）用木棒按照如下方式摆图形． 摆1个八边形需要8根木棒，摆20个八边形需要_____根木棒． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：数字类规律探索问题、图形类规律探索问题专项训练 暑假预习：数字类规律探索问题、图形类规律探索问题专项训练 考点目录 数字类规律探索问题 图形类规律探索问题 考点一 数字类规律探索问题 例1．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）现有一个循环小数0.231853185……，小数点后第100位上的数是（     ） A．3 B．5 C．8 D．1 【答案】C 【分析】先确定该循环小数的不循环部分和循环节，再通过计算余数得到第100位对应的数字． 【详解】解：观察循环小数，可得小数点后第1位是不循环数字，从第2位开始循环，循环节为，循环节长度为， ∵ 求小数点后第位的数字，先减去不循环的位，剩余位数为 ， ∴ 计算得，余数为，说明第位对应循环节的第个数字， ∵ 循环节的第个数字是， ∴ 小数点后第位上的数是． 例2．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 例3．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）的值在以下两数之间（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察算式各项的结构，每一项的分子比分母大1，可将每一项拆为整数1与一个分子为1的分数的和，再利用裂项相消法计算，拆分公式为，消去中间项得到结果后即可判断结果所在范围． 【详解】解： ， 又， 则原式在之间． 例4．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）观察这一列数：，根据它们的排列规律写出第6个数是___________． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律．分别从符号、分子、分母三个方向找出数字的排列规律．利用规律求解即可． 【详解】解：观察数列可得排列规律： 符号规律：第奇数个数为负，第偶数个数为正， 分子规律：第个数的分子为， 分母规律：第个数的分母为， 第个数位于偶数位置． 符号为正．分子为．分母为． 第个数为． 例5．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为7，我们发现第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5，…，则第2024次输出的结果为___． 【答案】2 【分析】观察运算程序的结果发现，从第四次输出结果开始，每三次循环一次，依次为4、2、1，即可得解． 【详解】解：开始输入的值为7， 则第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， …… 观察发现，从第四次输出结果开始，每三次循环一次，依次为4、2、1， ， 第2024次输出的结果为2． 例6．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 变式1．（25-26七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 【答案】D 【详解】解：由题意可知，奇数排列从列开始到列，再从列到列结束，每个奇数位置循环出现， 另第一个数字为，第个数字为，第个数字为， 则第个数字为， 是第个式子， 则， （行）， 可知在行列，选项符合题意． 变式2．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据差倒数的定义计算前几项，找出数列的循环规律，再通过除法运算得到余数，根据规律得出的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环 ∵，刚好整除 ∴ 故选：C． 变式3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 【答案】B 【分析】根据前面的规律，求解即可； 【详解】解：最上层的四个数字自左到右依次十位数字平方得到的两位数，个位数字平方得到的两位数，平方不是两位数时，十位数字用0补齐位； 中间行的数字是最右边一个空出来，计算十位数字与个位数字积的2倍，把结果的个位数字写在空格后的最右边空里，依次向左写， 故 故． 变式4．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示1024的点与圆周上某个点重合，这个点所标数字为______． 【答案】 【分析】根据循环周期进行求解． 【详解】解：圆转动一周，0，1，2，3循环一次， ∵， ∴， ∴这个点所标数字为． 变式5．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）若一列数依次为，即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第9个数为______． 【答案】 【分析】根据题意给出的递推关系，总结该列数的规律，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ．．．， 可推得第个数为， 则第个数为． 变式6．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 【答案】(1)6；六 (2)；89 (3)2026 (4) 【分析】（1）根据逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，据此即可解答； （2）仿照材料二中的思路，运用除2取余法，可知把十进制63对应的二进制数为，根据材料三中：n进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为89； （3）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为2026； （4）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为38，仿照材料二中的思路，运用除7取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为6，逢六进一， （2）解：运用除2取余法，如图所示，    ∴十进制63对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为：， （3）解：将十二进制转化为十进制数为：， （4）解：先将转化为十进制数为：， 运用除7取余法，如图所示，    将所得的十进制数转化为七进制数为：． 考点二 图形类规律探索问题 例1．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意； B、， 该选项不符合题意； C、， 该选项不符合题意； D、； 该选项不符合题意． 例2．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察图形中“▪”的个数，归纳出第幅图形中“▪”的个数的通项公式为，然后利用裂项相消法进行求和计算即可求解． 【详解】解：依题意，，，，，…∴ ∴ ． 例3．（25-26七年级上·河南焦作·期中）如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点的个数为；第2个图形共有圆点的个数为；第3个图形共有圆点的个数为；…；则第n个图形共有实心圆的个数为，进而得出答案． 【详解】解：第1个图形共有圆点的个数为； 第2个图形共有圆点的个数为； 第3个图形共有圆点的个数为； ……； 则第n个图形共有实心圆的个数为， 故图⑧中圆点的个数是：． 例4．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪，摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示，表示，则表示______ 【答案】 【详解】 解：根据题意，表示． 例5．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【答案】 【分析】观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为个，据此求解即可． 【详解】解：当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； … 从而可以探究：第n个图案所贴剪纸“○”的个数为个， ∴第个图中所贴剪纸“○”的个数为个． 变式1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑩个图形中桃心的个数为（     ） A．26 B．29 C．32 D．34 【答案】C 【分析】根据前三个图形可得到第n个图形一共有个桃心，当代入计算即可． 【详解】解：第①个图形一共有个桃心； 第②个图形一共有个桃心； 第③个图形一共有个桃心 …… ∴可知第n个图形一共有个桃心， ∴第⑩个图形一共有个桃心． 变式2．（25-26七年级上·河南郑州·月考）1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出四个阶段留下的线段的长度之和，进而得出答案． 【详解】解：前四个阶段变化特点如下： 根据第一阶段时余下的线段的长度之和是； 第二阶段时，余下的线段的长度之和是； 第三阶段时，余下的线段的长度之和是； 第四阶段时，余下的线段的长度之和是． 变式3．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，用相等长度的火柴棒摆成如图所示的一组图形，按照此规律，摆第个图形要用的火柴棒的根数为（    ）． A． B．12m C． D． 【答案】D 【分析】找出图形的变化规律，进行解答即可． 【详解】解：第1个图形需要12根火柴； 第2个图形需要20根火柴； 第3个图形需要28根火柴； 即每次增加8根火柴，则第m个图形需要根火柴． 变式4．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图，用棋子摆成反写的“”字．摆成第10个反写的“”字需要______个棋子． 【答案】 【详解】解：比较前后图形数量发现规律：后一个图形比前一个图形多3个棋子， ∴摆成第10个反写的“”字比第1个反写的“”字多个棋子， ∴摆成第10个反写的“”字需要个棋子． 变式5．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）用木棒按照如下方式摆图形． 摆1个八边形需要8根木棒，摆20个八边形需要_____根木棒． 【答案】141 【分析】根据图形得出规律摆个八边形需要根木棒，即可得出结果． 【详解】解：由图形得： 摆1个八边形需要8根木棒， 摆2个八边形需要根木棒， 摆3个八边形需要根木棒， …， ∴摆个八边形需要根木棒， ∴摆20个八边形需要根木棒． 2 学科网（北京）股份有限公司 $