专题25 离散型随机变量的分布列、期望和方差-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题25 离散型随机变量的分布列、期望和方差 考向1分布列的性质、正态分布 考向2二项分布、超几何分布 1.(2025·天津卷，5分)已知r为相关系数，则下1.(2025·天津卷，5分)小桐操场跑圈，一周2 列说法中错误的是 ( 次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概 A.若X~N(,o2),则P(X≤-o)=P(x≥ 率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈 u十o) 的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6.若第一次 B.若X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X<1) 跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈 <P(Y<2) 的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为 C.|r越接近1，线性相关性越强 ;若一周至少跑11圈为运动量达标，则连 D.|r越接近0，线性相关性越弱 续跑4周，记达标周数为X,则期望E(X)= 2.(2024·新课标I卷，6分)随着“一带一路”国 际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶2.(2022·浙江卷T15)现有7张卡片，分别写上 叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万 数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取 元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口 3张，记所抽取卡片上数字最小值为，则 后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2= P(ξ=2)= ,E()= 0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态3.(2025·全国卷Ⅱ，17分)甲、乙两人进行乒乓 分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入 球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每 Y服从正态分布N(x,2),则（若随机变量Z服 个球甲胜的概率为p(2<<),乙胜的概率 从正态分布N(μ，o2),则P(Z<十o)≈0.8413) 为q,p十q=1,且各球的胜负相互独立，对正整 数k≥2，记为打完k个球后甲比乙至少多得 A.P(X>2)>0.2 2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得 B.P(X>2)<0.5 2分的概率， C.P(Y>2)>0.5 (1)求p3,p4(用p表示)； D.P(Y>2)<0.8 3.(2026·上海卷，5分)已知随机变量X的分布 (2)若4g =4,求p； 94-93 0 1 列为 ,且E(X)=0.5,则b (3)证明：对任意正整数m,p2m+1一92m+1< 0.3b p2n一92np2m+2-92m+2. 4.(2025·全国卷I,5分)有5个相同的球，分别 标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3 次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取 出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)= 5.(2025·上海卷，4分)己知随机变量X的分布 56 7 为 ,则期望E(X)= 0.20.30.5 6.(2022·新高考Ⅱ卷T13)已知随机变量X服从 正态分布N(2,o2),且P(2<X≤2.5)=0.36， 则P(X>2.5)= 80 考向3离散型随机变量的期望、方差 考向4离散型随机变量的期望、方差的应用 (2022·全国甲（理）T19)甲、乙两个学校进行1.(2024·新课标Ⅱ卷，17分)某投篮比赛分为两 体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体 1111111111111111111111111 10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结 规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在 3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成 三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8， 绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶 各项目的比赛结果相互独立， 段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每 (1)求甲学校获得冠军的概率； 次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛 (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列 成绩为第二阶段的得分总和。 毁 与期望 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中 的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中 与否相互独立， (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛， 求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设0<p<q 靴 (1)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的 概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期 望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 81 2.(2024·北京卷，13分)某保险公司为了解该公3.(2022·北京卷T18)在校运会上，只有甲、乙、 司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限 丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理 9.50m(含9.50m)以上的同学获优秀奖.为预 这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 测优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以 索赔次数 0 2 3 4 往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m) 保单份数 800 100 60 30 10 甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40 9.35,9.30,9.25 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔 乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23 时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔 丙：9.85,9.65,9.20,9.16 时，保险公司赔偿0.6万元 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩 假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估 相互独立. 计概率。 (1)估计甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的 (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费 概率； (2)设x是甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获得 与赔偿总金额之差 优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX; (1)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学 (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠 期望EX; 军的概率估计值最大？（结论不要求证明） (ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索 赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下 一份保单毛利润的数学期望估计值与（「）中 EX估计值的大小.（结论不要求证明） 82P(B)P(AB)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. (2)设第i次投篮的人是甲的概率为P:,由题意可知，P=号， p+1=p:×0.6+(1-p:)×(1-0.8),即p+1=0.4p:十0.2= 2 1 又A一吉-所以数到{号}是以为首项 号为公比的等比教列， 所以=言×（号） 1 2 1 1 2 所以p=3+百×（) (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为X:,则X:的可能取值为0或 1,当X,=0时，表示第i次投篮的人是乙，当X:=1时，表示第i次 投篮的人是甲，所以P(X:=1)=p:,P(X:=0)=1一：，所以 E(X:)=p: Y=X1+X2十X+…+Xm, 则E(Y)=E(X1十X2十X十…十X)=p+十p十…十p, (10分) 由2)知：=十日×（号） 所以十十p++A=号+×[1+号（号） 1-号 号+×-()] 9.解(1)平均年龄x=(5×0.001十15×0.002十25×0.012十35× 0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85× 0.002)×10=47.9(岁). (2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，则 P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1 0.11=0.89. (3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一人患这 种疾病}， 则由条件概率公式，得 PCBD-9-01%X0.023x10-0.01x0.3=0.01375 16% 0.16 0.0014. 专题25离散型随机变量的分布列、期望和方差 考向1分布列的性质、正态分布 1,B[正态曲线十样本相关系数A(√/)由正态曲线的对称性可知 P(X≤一)=P(X≥u十a). 错误项分析B(×)若X一N(1,2),Y~N(2,2),则P(X<1)= P(Y<2)=2 C(/)D(/)根据人教A版选择性必修第三册(2020年3月第1 版)第99页内容可知样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对 样本数据之间线性相关的程度，当x越接近1时，成对样本数据的 线性相关程度越强：当越接近0时，成对样本数据的线性相关程 度越弱.门 2.BC「正态分布（理性思雏、数学探索、数学应用） 数形结合法由题意可知，XN(1.8,0.1),所以P(X>2)< P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413，所以P(X>2)<P(X≥ 1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413=0.1587<0.2，所以A错误， B正确.因为YV(2.1,0.12),所以P(Y2.2)≈0.8413，P(Y 2)P(Y>2.1)=0.5,所以P(2Y2.1)-P(2.1<Y<2.2) P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.8413-0.5=0.3413，所以P(Y>2) P(2Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.8413>0.8，所以C 正确，D错误.综上，远C 3.0.6[离散型随机变量的分布列与期望E(X)=-1×a十0X 0.3十1×b=-a十b=0.5,由分布列的性质可知a十0.3十b=1,即 a十b=0.7,由{a+-0,5得6=0.6.] 1a+b=0.7 1 4. 61 25 厂离散型随机变量的分布列和数学期望十排列与组合 X的所有可能取值为12,3，则PX=1)=C(合)）广=务=方 P(X=2)=C()】 60=是，P(X=3)=C×(5)X6 ×6=1225 号所以X的分布列为 60 X 1 2 12 25 25 25 所以BX)=1X+2x号+3×号-] 5.6.3「随机变量的数学期望E(X)=5×0.2十6×0.3+7×0.5 =6.3. 6.0.14[本题考查正态分布，体现了数学运算的核心素养，由题意 可知P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X 2.5)=-0.5-0.36=0.14.] 考向2二项分布、超几何分布 1.0.63.2[相互独立事件的概率十二项分布小桐一周跑11图 的概率P=0.5×0.6十0.5×0.6-0.6.小桐一周运动量达标的概 率p=1-0.5×0.4=0.8,显然X服从二项分布B(4,0.8),故 E(X)=4×0.8=3.2.] 16 2.357 2[从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共 有C种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有 C+CC种，所以P(2)=C+CC=16 C 351 由已知可得的取值有1,2,3,4， 16 P(=1)=2号，P(=2)=35' P(=3) 11 ==,P(4==35 所以B以)=1×铝+2×票+3×品+4X高号，故答家为： ”是] 3.二项分布十递推思想十不等式的性质 解(1)打完3个球后甲比乙至少多得2分，只有一种情况：甲全胜 得3分，所以p3=p3 打完4个球后甲比乙至少多得2分，有两种情况：甲全胜得4分：甲 胜3个球得3分，乙胜1个球得1分.所以p,=p十C!·p(1一p) =p3(4-3p). (2)由(1)可知p,一p3=p3(4一3p)一p3=3p3(1一p), 【考虑每个球甲胜的概率p和每个球乙胜的概率？是对等的，所以 可直接类比得出q一9】 同理q:-93=3q(1-q)=3(1-p)3 由二2=4，可得21二A-4,即3p-8p十4=0，解得p= q:-93 3p(1-p)3 号或p=2合). 2 所以p=3 (3)由7<pK1,p十q=1,可知0<g号<p<1. 设随机变量X为“打完k个球后甲的得分”，则X一B(k,p), 【打完2m个球后甲比乙至少多得2分，包括：甲得2m分，乙得0 分；甲得2n一1分，乙得1分：…；甲得n十2分，乙得n一2分； 甲得m十1分，乙得m-1分】 pem=p2m十Cm·b2m-1q十C8m·p2m-2g十…十Cn1· pm+1m-1 【p2m的表达式比较复杂且不易化简，如果继续计算中2m+1,p2m+2, q2m等，会使问题更加复杂.注意到要证Pm+1一2m+1<p2m一4m, 即证92m一坠m+1<pm一pm+1,所以考虑寻求pm+1与P2m的递推 关系，同理也可得到q2m+1与q的递推关系，达到简化计算的目 的 对于p2m+1,考虑前2m个球的情况.若打完2个球后，甲、乙得分 一样，或者甲比乙得分少，则第2n十1个球无论甲胜负，甲都不可 能比乙至少多得2分，若打完2n个球后，甲比乙至少多得4分，则！ 第2n十1个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分.若打完 2m个球后，甲比己哈好多得2分，则第2m十1个球甲必须胜才能！ 满足甲比乙至少多得2分，所以P2m+1=(pm一Cm1·p+1q-) 十p·Cnl·pm+'q-1=pm-q·C1·m+lq-1 故P2m-Pm+1=q·C2n1·pm+1q”-1>0, 同理g2m一92m+1=p·Cn1·q+1pm-1>0. 所以Pm一Pm+=9·C1·pm+1g-l q2m一92m+1 卫>1， p·C8m·g+pm可- 即p2m一2m十1>q2m一2m+1,所以p2m+1一92m+1<p2m一92m· 【要证p2m一92m<pm+2一92m+2,即证q2m+2一9m<p2m+:一pm,所 以考虑寻求Pm+2与Pm的递推关系，同理也可得到92m+2与9m的 递推关系】 对于pm+,考虑前2m个球的情况.若打完2m个球后，甲比乙得 分少，则剩下两个球（第2n十1和2m十2个球）无论甲胜负，甲都不！ 可能比乙至少多得2分，若打完2n个球后，甲、乙得分一样，则剩 下两个球甲必须全胜才能满足甲比乙至少多得2分，若打完2n个 球后，甲比乙恰好多得2分，则剩下两个球甲全胜，或者一胜一负 都能满足甲比乙至少多得2分.若打完2个球后，甲比乙至少多 得4分，则剩下两个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分。 所以p2m+2=p2·Cgn·pgm+(1一)·C1·pm+1g-1+(p2m! 一Cm1·pm+1gm-1) =pm十p·C2m·pq”-d·Cm1·p+g”-1 =p2m十pq·(Cm·p2-Cm1·pq) 故p2m+2一pm=pqm·(Cm·p2-C1·pq), 同理m+2一9m=qpm·(Cm·q一Cm1·gp), 所以(pm+2一pm)-(g2m+2一92m)=pqm·Cn·(p2一)>0， 即力2m+:一力：m>q2m+2一坠m, 所以p2m一q2m<p2m+2一业m+2· 综上，p2m+1一9m+1<p2m一92m<p2m+2一92m+2· 考向3离散型随机变量的期望、方差 解(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学 校获得冠军的概率为 P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2 =0.16+0.16+0.24+0.04=0.6. (2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以， P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X-10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8十0.5×0.4×0.2= 0.44, P(X=20)=0.5×0,6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2= 0.34, P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06. 即X的分布列为 X 0 10 20 30 0.160.44 0.34 0.06 期望E(X)=0×0.16+10×0.44十20×0.34十30×0.06=13. 考向4离散型随机变量的期望、方差的应用 1.相互独立事件的概率十分布列与数学期望 解(1)第1步：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率 设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”， 则P(A)=1-(1-0.4)3=0.784. 第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的概率 设A2=“乙在第二阶段至少得5分”， 则P(A,)=1一(1-0.5)3=0.875. 第3步：计算甲、乙所在队的比赛成绩不等于5分的概率 设A=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”， 则P(A3)=P(A1)·P(A)=0.686. (2)(ⅰ)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分 的概率 设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为Pm,则 P=[1-(1-p)3]·q=pg3·(3-3p+p). 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P, 则P,=[1-(1-g)3]·p3=gp3·(3-3g十). 第3步：比较Pm与P,的大小 16 则Pm-Pz=pg(3-3pgd十p-3p2十3pg-p)=3g(g p)·(p十g-q), 由0<pq1,得q一p0,p十q一g=p十q(1一p)>0, 所以P一P>0,即P>P 第4步：做决策 故应该由甲参加第一阶段比赛 (ⅱ)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩 的数学期望 若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能 取值为0,5,10,15. P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]·Cg·q·(1-q), P(X=10)=[1-(1-p)3]·C号·d·(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]·C3g, 所以E(X)=[1-(1-p)3]·[15g(1-q)+30g(1-q)+159]= [1-(1-p)3]·15g=15g(p-3p+3). 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的数 学期望 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能 取值为0,5,10,15. 同理，可得E(Y)=15pg(d-3g十3). 第3步：比较E(X)与E(Y的大小 E(X)-E(Y)=15pg(p2-3p-q+3q)=15pg·(g-p)·(3- 力一q), 由0<p<q≤1，得q-p>0,3-p-q=3-(p+9)>0, 所以E(X)-E(Y)>0,即E(X)>E(Y). 第4步：做决策 故应该由甲参加第一阶段比赛 ,频率估计概率十离散型随机变量的分布列、数学期望（理性思维、 数学探索、数学应用) 解(1)解法一（正面计算）记“随机抽取一份保单，索赔次数不 少于2”为事件A, 由索赔次数不少于2，知索赔次数为2,3,4， 所以P(A)=60+30+10.100 1000 100010 解法二（反面计算）记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为 事件A, 由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算， 则P(A)=1-800+100=⊥ 1000 101 (2)(1)由题知X的所有可能取值为0.4，一0.4，一1.2，一2.0， -2.6, 则p(X=0.4)=1000 800 =0.8, 100 P(X=-0.4)=1000=0.1, 60 P(X=-L2)=1000-0.06, 30 P(X=-20)=1000=0.03, 10 P(X=-2.6)=1000=0.01, 故EX=0.4×0.8-0.4×0.1-1.2×0.06-2.0×0.03-2.6× 0.01=0.122. (菲)如采无索赔的保单的保资减少4%，有索赔的保单的保费增加 20%,这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(1)中EX 估计值大 证明如下： 设调整保费后一份保单的毛利润（单位：万元）为Y,则 对于索赔次数为0的保单，Y=0.4×(1一4%)=0.384， 对于索赔次数为1的保单，Y=0.4×(1十20%)一0.8=一0.32， 对于索赔次数为2的保单，Y=一0.32-0.8=一1.12， 对于索赔次数为3的保单，Y=一1.12-0.8=一1.92， 对于索赔次数为4的保单，Y=一1.92一0.6=一2.52， 故EY=0.384×0.8-0.32×0.1-1.12×0.06-1.92×0.03 2.52×0.01=0.1252. 所以EX<EY ,解(1)由题意得： 设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A. 比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上 的有：9.80,9.70,9.55,9.54四个， 所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)一0.4 (2)X所有可能取值为0,1,2,3. 甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)一0.4. 乙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B,则P(B)一 0.5. 丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C,剥P(C)一 0.5. P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15 P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5= 0.4 P(X=2)=0.4×0.5×0.5十0.4×0.5×0.5十0.6×0.5×0.5= 0.35 P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1 E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4 (3)甲的平均数：(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+ 9.35+9.30+9.25)×0.1=9.479 乙的平均数：(9.78十9.56十9.51十9.36十9.32十9.23)÷6≈ 9.457 丙的平均数：(9.85十9.65十9.20十9.16)×0.25=9.465 甲的方差：S=「(9.8-9.479)2+…+(9.25-9.479)2]÷10= 0.172 乙的方差：S2=[(9.78-9.457)2十·十(9.23-9.457)2]÷6= 0.0329 丙的方差：S2=[(9.85-9.465)2十…(9.16-9.465)2]÷4=0.086 专题26复数 考向1复数的概念 1.C[复数乘法十复数概念(1十5i)i=一5十i,其虚部为1，故 远C.] 2.C[复数的模x=-1-i=√(-1)+(-1)严=√2，故选C.] 3.DL因为z=1+i,所以z=1-i,所以z十3z=i(1+i)十3(1一i) 2-2i,所以iz十3z|=2-2i=√/22+(-2)2=2√2.故选D.] 4.A[由(1+2i)a+b=2i,得a+2ai+b-2i=0,即(a+b)+(2a 2=0,所以{226年释81业选A] 5.B[a十3i=一1十bi,而a,b为实数，故a=一1，b=3,故远B.] 6.B[由条件可知=3-4i-一4-31，所以2=5.] i 7.A[z=1+2i,x+a·z+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+ -2i.由+6=a.得22.0中0l ,故远A.」 考向2复数的几何意义 2√2[复数的运算十复数的模设z=a十i(a,b∈R),则z=a bi,由z2=(x)2,可得(a十i)2=(a-bi)2,即a2一b2十2abi=a2-b -2ab,故ab=0.由x1可得√a2十1，即a2十b21. 解法一当a=0时，b≤1，z一2-3i=-2十(b-3)i= √4+(b-3)产，此时z-2-3imim=√4+(1-3)2=2V2.当b=0 时，a1,z-2-3=|a-2-3i=W√(a-2)2+9,此时z-2- 3imm=√(1-2)+9=√10.当a=0,b=0时，z-2-3i=-2 一3i=√4十9=√13.综上，x一2-3的最小值为2√2 解法二设复数之在复平面内对应的点的坐标 y 为(x,y),其中x=0(一1y1)或y=0(一1 °23) x1),表示两条相交线段，x一2一3i表示x在 复平面内对应的点与点(2,3)的距离，作出图形 1 如图，结合图知，当：在复平面内对应的点为(0，口1之 1)时，之一2一3取到最小值，为 √/(0-2)2+(1-3)2=2√2.] 考向3复数的运算 1,ACD[复数的概念、四则运算、几何意义 A(/)由共轭复数的定义知，2=3十2i的共轭复数为2=3一2i,故 A正确. 错误项分析B(X)复数z=3十2i的模z=√3+2=√13，故 B错误. C(/)x2=(3+2i)2=32+2×3×2i+(2i)2=9+12i-4=5+12i, 故C正确。 V33+2i时3g=23十D2∈R,故D正碗 :-i 3+2i-i 3+i 选ACD.1 2.B「复数的运算 (1-3i)2=1-6i+9=1-6i-9=-8-6i,故选B.] 3.C[复数的运算因为1=2+i,=1-3i,所以十=2+i十 1-3i=(2+1)十(1-3)i=3-2i,则x+22=|3-2i= √/3+(-2)2=√13，故远C.] 4.A[复数的四则运算 1 x-11 =一i,故远A.] 5.C[复数的四则运算（理性思雏、数学探索） 解法-（解方程法）因为气1十i,所以之=(：一1)(1+i),即 之=2-1十i-i,即i=1十i,所以=1中i1中D卫=1一i,故 1 i(-) 远C. 解法二（取倒数法）国为片=1十i所以。六即1 1 y 1-i 1 1 2 1-i,故选C.] 6.A[共轭复数的概念十复数的运算（数学应用）因为x=5十i,所 以z=5一i,所以i(2+z)=10i,故选A.] 7.D[复数的四则运算十共轭复数因为z=√2i,所以z=一√2i, x·x=2,故远D. 知识巩固复数z与其共轭复数之的乘积满足之·之=z?.] 8.C[复数的乘法运算（理性思雏）由题意得，z=i(一1一i)=1一i 故选C.] 9Λ[闲为一年云2一安，所以=合i,所以 1-i (1-i)2 10.C[(a+i)(1-ai)=a+i-a2i-ai-2a+(1-a)i=2,.2a =2且1-a2=0,解得a=1,故远C.] 1.C[由题意知，2”=里--1-，故 5(1+3) 22-2 5 选C.] 12.A[因为(1十3i)(3-i)=3-i十9i-3=6十8i,所以该复数在复 平面内对应的，点为(6,8)，位于第一象限，故远A.] 2+i 2+i 3.B[=511干=1-2i,所以=1+21 故选B.] 14.C[2+￥+23|=2-1-2i=11-2i=W5.故选C] 15.C[e=-1-1,2=(-1十5i)(-1-5)=1+3=4.22 3 16.D[对原式两边同时来以i得：z一1=i,即x=1十i,所以z=1 i,则z十z=2.故远D.] 17.D[(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i=2-2i+4=6-2i,故 远D.] 18.8+6i[复数的运算(3+i)2-9+6i+i-9+6i-1-8十6i.] 19.√10[复数的模 ---而] 1 20.7-√5i[复数的乘法运算（理性思维）（√5十i)一（√5-2i)= (w√5)2-25i+√5i-2=7-√5i.] 21,2[复数的运算解法一设x=1+i(b∈R且b≠0)，则十2 =1+i+子=1+发+2-1+名+62i,因 2 1十b2 26 2 为m∈，所以b一1中=0，得=1，所以m=1十1中=2. 解法二由计2=m得：-m2十2=0，解得=m士√8一m 2 依题意得受-1，解得m=2.门 2.4+11-5123_10-15it28+2_213=4+i] 2+3i -(2+31)(2-3D 13 13 2