专题19 双曲线-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

17.解(1)设椭圆E的方程为m.x2十ny2=1,过A(0,-2), B(2,-1) 4=1 则{9 (4n+n=1: 1 1 解得m=3= 2A0,-2,B是-D.所以AB:+2=号， ①若过点P1,一2)的直线斜车不存在，直线x=1,代入号 可得M1,25.N,2.代入AB方程y 3-2,可得 T5+3,25.由M-i得到H26+5,2.求得HN 方程： y=(2-2.-2过点0，-2》 ②若过点P(1,一2)的直线斜率存在，设kx-y一(k十2)=0， M(),N(2). 1kx-y-(k+2)=0 联立 ,得(3k+4)x2-6k(2+k).x+3k(k+4)=0, x1十x= 6k(2+k) -8(2十k) 3k2+4 1y1十=3k2+4 可得 3k(4十k) Ix= 3k+4 %-4(4+4k-2) 3k2+4 且x1十x2M= 一24k(*). 3k2+4 (y=y 联立2 y=号2可得T(之+3v1),H(3v+61y). 可求得此时HN:y一业=3y+6一一2 y一 （x-x), 将(0，一2)，代入整理得2（无1十）一6(y十2)十x1”十M 3y-12=0, 将(*)代入，得24k+12k+96+48k-24k-48-48k+24k-36k -48=0, 显然成立 综上，可得直线HN过定点(0，一2) ,b=1, a=2, 18.解(1)由题意，得2c=23,解得b=1, (a2=+c2, c=√/3， :描圆E的方程为号十少=1 (2)由题意可设直线BC的方程为y一1=k(x十2). 2 联立得方程组)4 +y2=1, y-1=k(x十2). 消去v并整理，得(4k+1)x2+(16k+8k)x+16k+16k=0, 则△=(16k2+8k)2-4(4k2+1)(16k2+16k)>0, 解得k<0. 设B(x1,y),C(x2,),十=- 16k2+8k 4k2+1,x1x= 16+16k.① 4k2+1 :直线AB的方程为y=y一十1，则直线AB与工轴交点M的 坐标为(0） 同理得点N的坐标为（平2 MN=2,. 一x2 一x1 k(x2十2)k(1+2) =2 1 ∴.x1-x2=k[x1x+2(十x)+4], √五1十)2-41五=kLx十2十x)+4]1.② 将①代入②，得 16k2+8k 4(16k+16k) =k16k+16k 4k+1 4k2+1 4k+1 2(16k+8k) 4k2+1 整理，得k”十4k=0.又k<0,∴.k=一4 19.解(1)设M(23cos0,sin0)是椭圆上一点，P(0,1), 则1PM2=12cos20+(1-sin0)2-13-11sin0-2sin0=14 11 1 2144 11 故PM的最大值为2四 11 (2)由题意，知直线AB的斜率存在， 故授直线AB的方程为V=k虹十子. (y=kx2 将直线方程与椭圆方程联立，得 12+y2-=11 消去y并整，得（十司）十虹 3=0. 4 设A(x1y1),B(x2,y2),则x1十x2= k2十 x1x2一 1 4(+ 直线PA:y=当-1 x十1与直线y=- 1 x十3交于点C,则0= 4.x 4x1 x1+2y-2(2k+1)x1-11 4.x2 同理可得，n-十2y-2(2+10x, 则CD=√+于- 4x1 4% 2 (2k+1)x1-1(2k+1)x2-1 =2√5 x1一xg [(2k+1)x1-1](2k+1)x-1可 -2√5 x1一2 (2k+1)2x1x2-(2k+1)(x1+x2)+1 -35.16k+1_65」 65 2 3k+1T 5 3k+1 5 当且仅当=后时等号成立， 3 故CD的最小值为6⑤ 5 专题19双曲线 考向1双曲线的定义与方程 35[由题意可知，F(-c,0),F,(c,0),设A(M),B0), 所以FA=(红-c,),F店=(-c,),因为FA=-号FB,所 -c=3 5 以 2”即 2 y=-3%y=-3 A-(号4，号%）店=(c%.周为F方L可i所以FA. 可-0，号-号-0，解得=4 周为点A(号，一号）在双南线C上，所以-1，又 9a29b 5 -,所以装器-151的-1，化 9a2 962 药将-所以1-9 +-号所以-5] 考向2双曲线的几何性质 1.B[双曲线的方程与几何性质 (代入法)将点(1,0)， (侣)的坐标代入双曲线方程，得 =1 ,得a=1,b=2√，所以C的渐近线方程为y= 7 9 4a2b =1 bx=士25x.] a 2.B[双曲线的渐近线 a 一兰-0，得y=士吕，所以吕-号解得a=3故选B] 一4 3.D[双曲线的定义、几何性质十余弦定理设双曲线的右焦，点为 F,半焦距为c,如图，连接PF.因为|FA=FP,∠FAP=30°， 所以∠PFA=120°，FA=FP=a十c,由双曲线的定义，可知 PF|-|PF=2a,所以PF|=3a十c.在△PFF中，由余弦定理 可得PF2=FP2+FF2-2 FP X FF1Xcos120°，（题 眼)即(3a十c)2=(a十c)2十(2c)2-2(a十c)×2 cX cos120°，得4a2 十a一3c=0,得3e-e-4=0(e为双曲线的离心率)，得e=令， 故选D.门 4.D[双曲线离心率十基本量计算依题意得b=√7a,又c2=a2十 b,所以c2=a2十(7a)2=8a2,即c=22a,故e=2√2.故选D] 5,ACD[双曲线十余弦定理 A(/)根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2V为平行四边 形，周为∠NAM=警，所以∠AMA:=若 错误项分析B(×)解法一（余弦定理） 如图，在△A1M0中，MA1|2=A1O12+ OM-2A,O OM Cos/MOA=a2+ -2accos/MOA=a++2acx a= A 3a2+c2,在△AM0中，MA22=a2+c -2accos/MOA:a+c-2ac xa= N c2-a2, 【此思路是从“数”的角度分析，在两个三角形中，分别将需要求解 关系的两条线段的长度用a,c表示出来，但是并不能直接得a,c的 关系，需要找到这两条线段长度间的关系】在△AMA中，AA1巴 =MA,P+MA,2-2MA,1lMA,cos若，即4a=2c2+2a- 23a+×-a×号，则13a=c2,所以MA,=16a, MA22=12a2,所以MA1≠2MA,. 解法二（解析几何法）设Mx,%)(x,>0,yo>0),则x6十听= c,又为=名g心+6=，联立可得=a,%=b,所以M(@, b),所以MAg⊥x轴， 【此思路找到直角三角形，减少了运算量，从“形”的角度分析了线 段的比值关系】在R△AAM中，因为∠AMA:=否，所以 MA2 πW341 MA=cos6=≠ C(/)根据13a2=c2,得e=√13. D(/)当a=√2时，MA1|=√32，MA=√24，所以四边形NAMA 的面积为MA,MA.sin-否=√32X√2X7=85.] 1 6.A「双曲线、抛物线的定义十双曲线的离心率由 题意知c=号，所以抛物线方程为=4cx,因为 PF1+|PF,=3F,F,,|FF,=2c,所以|PF 十PF,=6,又点P在双曲线上且在第一象限，由 双曲线的定义可得PF,一PF2|=2a,所以|PF =3c十a,PF,=3c一a,如图所示，过点P作抛物 线准线的垂线，垂足为P,因为点P在抛物线上，所以PF。= PP'=xp+c=3c-a,所以xp=2c-a,yp=√PF,2-Pp产 =/(3c十a)-(3c-a)2=2√3ac,把点P的坐标代入抛物线方 程，可得(2√3ac)2=4c(2c一a),化简得C=2,故选A.] 7.A[双曲线的渐近线十三角形的面积直 线AB:y=x十1，双曲线x2-y=1的渐近线 方程为y=士x,所以直线AB与渐近线y=x 平行，如图，当点C无限趋近于渐近线y=x 时，点C到AB的距离越来越小，无限趋近于 直线AB与渐近线y一x之间的距离，故 S△Ar=号ABd(d为点C到AB的距离) 没有最小值；易知当C位于(1,0)时，d取得最大值，即S△Ac一 2ABd取得最大值.] 8.C[双曲线的方程与几何性质（理性思雏、数学探索） 解法一（方程组法）根据焦点坐标可知c=4,根据焦点在y轴上， 可设双曲线的方程为少一工 二=1a>0,b>0),则a2b21.得 a2 (a2+-16 (a=2 ,所以离心率e=￡=2. (b=2√ 解法二（定义法）根据双曲线的定义，得2= √(-6-0)2+(4-4)严-√(-6-0)2+(4+4)2=6-10=4， 报据焦点坐标可知=4，所以高心率。一兰一号-2.】 9.C[双曲线的标准方程十焦，点三角形（理性思维、数学探索）由 题意可知，∠F1PF2一90°，又直线PF2的斜率为2，可得 n∠PF,EPF=2,根据双曲线定义PEPE,=2a,得 IPF,I-4a,IPF:|-2a.SAm,",PFIPE-XaX 2a=4a,又S△F,5,=8,所以a2=2,所以FF12=PF12+ PF22=(4a)2+(2a)2=20a=40.又F1F2|2=4c2,所以c2= 10,又心+6=，所以公=8，所以双曲线的方程为号-苦-1. 故远C.] 10.D[根据双曲线的离心率e=5=,得c=5a,即2=5a2,即 @牛真5，所以=4c,仁=4，所以双曲线的渐近线方程为 y=士2x,易知渐近线y=2x与圆相交.则圆心(2,3)到渐近线y= 2x的距离d= 2×2-3 √/2+(-1)9 =5,所以AB=2√1-正= 5 2-()=45故路D] 11.C[依题意不妨设双曲线焦，点在x轴，设过F作圆D的切线切 点为G, 所以OGLNF,国为c0s∠FNE:=号>0，所以N在双曲线的 右支， 所以OG=a,OF1=c,GF=b,设∠F1NF2=a,∠F2F1N=3, 由sHNF,=号，即ma=号，则如a=告如g=只，mB 在△F2F1N中，sin∠F1F2N=sin(π-a-3)=sin(a十) =naco计osi=号×名+号×名=a点他， 5 he 由正孩定理得2 NF 又因为e>1,所以1<e5, sin a sin B 故答案为：2（满足1<e√皆可）] 5c sin∠FF2N-z' 16.一3[双曲钱y+二=1的渐近线方程为y=士 ,故n= 所以NE=号sn∠RF,N= -3.] ×实-，NF,= 2 17,36 5c 4 [过F且针率为名的直线AB: y= 名c十。)，渐运钱：y b a , 又NF-1NE|=3a+4b_5a 2 2 b(x十c) (y- 联立 -4b-2a=2a, 2 6 a 所以26=，即- 由FB=3A,得A(一晋) 所以双曲线的离心率e=￡ 1b13 a2 2 而点A在双面线上，于是器 81a2F =1,解得： ，所以 故选C.] 12,D[不妨取渐近线y=么x,此时直线P℉，的方程为y 离心率e=3V⑤ 4 a 故答案为：35] 41 合(x一c),与y=名x联立并解得 即P) 考向3直线与双曲线的综合问题 1.D[设A(x1y),B(x,边)，AB的中点为M(,),由点A,B 因为直线PF,与渐近线y= 名：香直所以PF的长度即为点 =1 一g 在双曲线上，得 bx(即bz一ay=0)的距离，由点到直线的距 两式作差，得对一后=，即 0 F2(c,0)到直线y- 9 离公式得PF,= √a2+形 c=b,所以b=2. （1一)(1十2)= 2化两特名治器 9 因为B(一6,0.P(,曾)且直线PE,的鲜率为票，所以 y十yg =9,即一业. 2 x1一x2x1十x2 =kB·当=9，国此B=9· ab =,化简得b=, 2a a 4 a出2-号又6=2，=+，所以22 由双曲线方程可得渐近线方程为y=士3.x,如 十c c =号整型得亡-2ia+2=0,甲(a一=0，解得a=厄 图.对于A选项，因为k=9X广=9>3，所 以直线AB与双曲线无交，点，不符合题意：对 2 所以双南线的方程为号-兰-1，放选D] 于B选项，因为=9X号-号<-3， --2可冰24 2 13.66 所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意； 6 [双曲线的标准方程与离心率 对于C选项，k=9X号=3，此时直线AB 6 由5x-6y=1,得号-兰-1，则a= 1 6 与渐近线y=3.x平行，与双曲线不可能有两个 1 6 56 5 交点，不特合题喜：对于D选项，因为=9×司号 3,所以直 线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D.] 2.乞（答案不唯一）[双曲线的方程及性质（理性思维、数学探索） 3 14.2 [双曲线的定义、离心率、对称性（理性思维） 由题意，知孩双曲线的渐近线方程为y=士号，直线y=(红一3) 解法一（直接法）由AB=10及双曲线的对称性得AF2|= 过定，点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与 AB=5,因为AF,=13,所以2a=AE-AF2=13-5= 2 双曲线只有一个公共，点，测该直线与双曲线的渐近线平行，所以 8,2c=|F1F=√AF2-AF2F=√132-5-12，所以a= k=士立 1=6,野C的高心来e=后-号-号 考向预见双曲线是高考常考内容，常考类型有四点：第一，及曲 a 线的定义和标准方程；第二，友曲线的简单几何性质：第三，直线与 解法二（二级结论）因为AB1=10,所以沙=10，所以仁=二￠ 芨曲线的位置关系：第四，直线与友曲线相交，弦长问题.预测2025 a a a 年高考大概率考查双曲线的定义与性质、直线与双曲线的位置关 =5又A=13,所以ER1=2=√A5-(4-12,得 系的何题.求解与友曲线儿何性质有关的何题时，常结合图形进行 2 分析.当涉及友曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴等时，需要厘清它们 c=6,所以a2+5a-36=0,得a=4,所以C的离心率e=￡=！ 之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.] a 号- !3.双曲线的方程十直线与双曲线的位置关系十弦长问题 解(1)由于T的渐近线方程为y=士x,由对称性不妨取Γ的渐近 15.2(满足1e√5皆可)[裉据题千信息，只需双曲线渐近线y- 线方程为y=x, (2分) ±合中0<合<2即可求得满足要求的e值，即华<4， 故点(2,0)到直线工一y=0的距离为2-0=2. (4分) 可满足条件“直线y=2x与C无公共点” (2)由题知F1（一2,0)，F(2,0),设P(x), 则6一6=1，① 故PF=(-√2-o,-y6),PF=(W2-x0,-%), (6分) 147 PF.PF=xg-2+6=1,得xg+=3,② 八、 由①②可得听=1，故=1， (8分)1 △PF,E,的面积S△m,=号EF:·6=E (10分)· (3)由题意，直线1的斜率不为0，故设1：x=py十√2，P(西，y), Q(x2y2), 联立直线1与D的方程，得{，py十反，整理得（公-1）y+ x2-y2=1 2√Ey+1=0, 1p2-1≠0 且△=8p2-4p2+4>0, (p≥0 -2√2p y十y 由根与系数的关系，得 p=1,由于yy<0,故p∈ 1 4y=p2-1 [0,1). (12分) |PQ|=√(x1-x)+(y-2)P=V√1+p√/(y十w)-4y1w =2+2 1一 二21-)+4=-2+1=D' 4 1一p 由于p∈[0,1)，故p∈[0,1)，1-2∈(0,1]，则|PQ∈ [2,+∞). (14分) 同理，设m:x=qy十√瓦，M(x,为)，N(x,y), 可得 +y=二2② g2-1 1 g2-1 /十y:0 由题意可知，y≤-1，一1<y<0,故{为y>0 ,可得 ((y+1)(y:+1)0 、 q∈(1,22 ! 1MN1=2+2g g-1 (16分) 由于对任意的直线1，都存在唯一的直线m,使得|MN=入PQ: 成立， 则2a,+∞[9+） 即2x≥9，故入的取值范国为[号，十四） (18分)： 4.直线与双曲线的位置关系十等比数列十三角形的面积 解(1)将，点P1(5,4)的坐标代入C的方程得52一4=m,解得1 n=9,所以C:x2-y2=9. （1)进点P(5,)且斜率6=令的直线方程为y=宁（一5）十4，与C 的方程联立，消去y化简可得x2-2x-15=0,即(x-5)(x十3)=0,1 所以点Q的横坐标为一3，将x=一3代入直线方程，得y=0, 因此Q(一3,0)，从而P,(3,0), 即x2=3,=0. (2)解法一由题意，P（xny),P+1(x+1y+),Q（一x+1, ym+1). 设过点Pn(xnyn)且斜率为k的直线为1n:y=k(x一xn)十y,将l, 的方程与C的方程联立，消去y化简可得(1一)x十(2kx,一 2ky)x-(kxm-y)2-9=0, 由根与系数的关系得一x+1十x= 2k-2ky 1-k2 所以x+1 22+五五士52 1一k2 1-k2 又Q(-x+1y+1)在直线ln上， 所以+1=k(一五+1一x,)十y,=一kx+1一kx十： 从而xn+1一ya+1=xa+1十kxw+1十kx,一yn=(1十k)xa+1十kx。 =1+.2+怎告- 1-k2 易知，一以0，所以数列红。一}是公比为吉资的学比数列 解法二由题意，Pm(,y),P+1(xm+1,y+1),Q(-x+1, yw+1), 由点P.,Q所在直线的斜率为k,可知k=一y+山 148 又点P,Q都在C上，所以-=9 {x+1-场+1=9 即{x)五十y)=9 1(x+1-y+1)(xn+1十y+1)=9' 易知工，一y≠0， 1+一y+1 工，十工+⊥_工n十xw+1十一y+山 则一一一出 xw十xw+1一y十y+1 9 x+1一y+1 xu一y 9 1 [(x+1-yw+1)(x.-y)+9] 1 xw+1一y+ 一[(x-yn)(x+1-ya+1)+9] xw+1一yw+1 ru一yu 即列，一是公比为告兰的等比能列 (3)解法一由(2)知，数列{x,一ym}是首项为x1一y1=5一4=1， 公北为吉的等比数列 1-k 告瓷南0<1可知>1，则与%=， 令t= 又x后一=9，所以xn十y= 9 9 可得-9十 24”-1 所以p9十-29-4a- P+2 9++29-42m+2 2"+1T2+T 所以直线P.P中1的方程为x一x,-+二(y一y), yu+1一yw 即(9+t2-1)x-(9-t-1)y-9"-1(1+t)=0. 易知点Pn+2到直线PnPm+1的距离 2+1-(9-42-1).9-1+2 (9+42m-1).9+2+2 2T-901(1+0 d=- √(9+t2w-1)2+(9-2w1)2 |9"-2(t-1)2(t+1) √(9+m-1)2+(9-4a-1)产 又PnPw+1 19+29+2m-2 2-1 +99-二 2”2-1 √-1)(9-”)]+(9+) 21” 则S=合·P.P+1·d=9-+D=36 4 1-)F,即S为 定值，所以S=S+1· 解法二由(2)知，数列{xm一y}是首项为x1-y1=5一4=1，公比 为告资的等比载列。 令1=告瓷由0<1可知>1，剥=， 又x-y后=9，所以xn十y= 9 9 可得x一 9十t2m-2 9-t2-2 2w-1Γ，y= 所以P= 19+2m-29-2m-2 /9+t29-t2m ,Pa+1= 22 9+a+29-4m+21 /9+2+49-2m+4\ P+ 21+1, 2+P.+ 2+2, 2+2 9+2+49+2m-2 所以+3一 2m+2 20-1 9-t2w+1 xu+2一工十L= yu+3-yu 9-t2+9-2m-2 9+t2m'y+2-y+ 2w+2 2w-1 9+2m+29+2m 2"+1 2" 9-2+1 9-2m+29-12m9+2a+T' 2+1 2 即+2一工=+3一五， yw+2一ya+1yw+3一yw 所以PnPu+3∥Pw+1Pu+2, 所以，点P。和，点P+3到直线P+1P+的距离相等， 因此△PP+1Pn+2和△Pn+1P+P+3的面积相等，即Sn=Sn+1· 5.双曲线的方程及性质十直线与双曲线的位置关系十双曲线中的取 值范围问题十向量的数量积运算（理性思维、数学探索） 解(1)第1步：由双曲线的方程求a 由双曲线的方程知a一1， 第2步：由离心率公式与a,b,c间的基本关系求b c=十，因为离心率为2，所以5=中E=2,得6=5 (2)第1步：求出等腰三角形MA,P的腰长 当6=2时，双曲线x-3Y=1,且A,1,0. 8 因为点P在第一象限，所以∠PAM为钝角. 又△MA2P为等腰三角形，所以A2P=AM=3. 第2步：由点在双曲线上与两点间距离公式求点P的坐标 ,√(x-1)2+6=3 设，点P(x0,yo),且x0>0,o>0,则 得∫62 所以P(2,2√2) (yo=2√2 (3)第1步：设出相关点的坐标 由双曲线的方程知A1(一1,0)，A2(1,0),且由题意知Q,R关于原！ 点对称 设P(x1y1),Q(x2y),则R(一，一y). 第2步：设出直线PQ的方程，与双曲线方程联立，写出根与系数的· 关系 设直线PQ的方程为x=ny一2. /x-y-2 联立直线与双曲线的方程得 =1消去，得(m-1)y- 4my+3G=0,且-1≠0，申≠行 4b2 m 3 由根与系数的关系，得y+必一m二1必一m一 第3步：由向量的数量积运算求m,b的关系式 图为AR=(-x2+1,-),A2P=(x1-1,y1), 由A1R·A2P=1,得(-2+1)(x1-1)-y1y2=1, 所以(x-1)(x-1)+y2=-1,即(ny-3)(my-3)+y业= -1, 整理，得(m+1)y1y-3m(y十y2)+10=0, 所以(m+1)·- 36 46m,十10=0， -3m‘6m-可 茎理，得m+35-10=0,所以=0写（0，号1， 第4步：根据m的取值范国求出b的取值范围 又m≠，所以≠113二36得≠3， 所以∈0,3U(3.号1，又b>0 故6的取值范周是0U,. 考向预见解析几何作为高中数学重要的内容之一，一直受到高 考命题人的青睐.认真研究历年高考数学试题就会发现，和解析几 何有关的题型具有多样化的特点.预测2025年高考会考查圆锥曲 线的定义十圆锥曲线的方程及几何性质十直线与圆锥曲线的位置： 关系的试题 6解(1)设双由钱C的方程为号一芳1(a>0,6>0),c为双曲线 C的半焦距， 14 「c=2√5 1c=25 由题意可得 =5 a ,解得a=2· c2=a2+b2 (b=4 所以双曲线C的方程为号一音=1. (2)解法一 设M1M),N(x2,2),直线MN的方程为x=my-4, 则x1=my-4,x2=m2一4. x=my-4 联立得x2 =1得(4m-10y2-32my+48=0. 416 因为直线MN与双曲线C的左支交于M,N两，点，所以4m一1≠0， 且△>0. 32n 4n2-1 由根与系数的关系得 48 所以+= y=42-1 因为A1,A。分别为双曲线C的左、右顶，点， 所以A1(-2,0),A2(2,0). 直线M的方程为斗予直线的方程为产 2x2 所以 9+2 x十2 x:-2y==2,m:-6)y y x2-2 x-2 得《x+2D0 x+2'(my1-2)2 y1-6业=x-2 ny1-2y2x十21 因为my1”二6y myiy2-2y ny1y2-6(y十y2)十6 my y:-2y2 my y:-6.2m yiy:+6y2 myy2-2y -3myy+6业 ny12-22 =3， 所以号 -3,解得x=-1, 所以点P在定直线x=一1上. 解法二由题意得A1(一2,0)，A(2,0). 设M(x1,y1),N(xe,y2),直线MN的方程为x=my-4, 则于普-1，即4-疗=16 如图，连接MA2, y 1-2 xi-4 4-16=40. xi-4 -=1,得4r-y=16,4(x-2》十 2 2]-y=16, 4(x-2)2+16(x-2)+16-y=16,4(x-2)2+16(x-2)-y=0. 由x=my-4,得x-2=my-6,my-(x-2)=6,6[my-（x 2)]=1.4(x-22+16(x-2)·言my-(x-2)]-y=0,4(x 22+号(x-2my-号x-2y2-=0 两边同时除以（一2，得号+学·点2（产）=0 即()-婴产2-0 m,=2, 由根与系数的关系得k,·,=一专② 由①②可得kA,=一3kA, 1A,:y=kuA1(x+2)=-3kNA,(x+2),lA,:y=kNA,(x-2). 由=-3k,(x+2 ,解得x=-1 (y=kA,(x-2) 所以点P在定直线x=一1. 7解1)：点A2,1)在双南线C:若-兰=1(a>1)上， aa-1,解得a-2. 1 ∴双向找C的方程为号-y=1 显然直线l的斜率存在，可设其方程为y=k.x十m. (v=k.x十m, 联立得方程组{x」 72y2-1. 消去y并整理，得(1一2k)x2一4kmx一2m2一2=0. △=16km2+4(1-2k2)(2n2+2)=8n2+8-16k2>0. 设P(x1,y),Q(x2y), 则x1十x2= -20214=2m-2 4km 1-2k2 由k十k0=0,得二+边二1 41,2-2=0, 即(x2-2)(kx1十m-1)十(x1-2)(kx2十m-1)=0. 整理，得2kx1x2十(m一1一2k)(x1十x2)一4(m一1)=0， 即2·22+(m-1-2)·0一4m一1）=0， 即(k+1)(m十2k-1)=0. :直线1不过点A,k=-1. （2)设∠PAQ=2,0a<受，则m2a=2E, 六。2亿，解得ne=号（负值已合去. 由(1)得k=-1,则x1x2=2m2+2>0, P,Q只能同在双曲线左支或同在右支 当P,Q同在左支时，tana即为直线AP或AQ的斜率. 设如一怎：号为双曲线一条新运战的斜率 2 直线AP与双曲线只有一个交点，不成立 当P.Q月在右支时，an(受一。）-即为直线AP成AQ的 斜率， 设kAP一 1 =√2，则k0=一√2， 3 ∴.直线AP的方程为y一1=√2(x-2), 即y=√2x-2√2+1. 1y=2x-22+1, 联立得方程组 (2-y2-1, 消去y并整理，得3x2-(16-4√2)x十20-8√2=0， 则·220-8巨，解得-10-1 3 3 xA一xp= 10-4V2=4(W2-1) 3 3 同理可得A一Q= 4(√2+1) 3 tan2a=2E,0<2a<,in2a=22, 3 ∴SAPAQ=AP·AQ·n2a=号X5XxA-nX5X A-q X sin 2a=- ×3x9× <16×22_162 3 9 b=5, 8.解(1)由题意可得 解得了4-1， √a2+b=2 b-√5. 所以C的方程为r-苦-l (2)当直线PO斜率不存在时，x1=x2,但x1>x>0,所以直线PO 斜率存在，所以设直线PQ的方程为y=kx十b(k≠0). 15 y=kx十b, 联立得方程组 消去y并整理，得(3-k)x2-2kbx--3=0. 则x十2 2kb +3 3-k西6一-3 x1一x=√/(x1十x2)-4x1x2 2/3(b+3-k2) 3-k2 因为x1>x2>0, 所以x1x2 +3>0,即k>3. k2-31 所以-2-2V3(+3- k2—3 设点M的坐标为(xrM,yw), 则yw-y2=√5(xw-x2),yM-y=-V3(xM-x1), 两式相减，得y1一=25xw一√3(x十x). 图为y一y2=(kx1十b)-(k十b)=k(一)， 所以2V3.xw=k(x1一x2)十5(m十e), 解得xw=√+3--b k2-3 两式相加，得2yM一(y1十y2)=√3(1一x2). 因为y十y=(k.x1十b)+(k2十b)=(x1十x2)十2b, 所以2yM=k(x1十x2)十√5(x1-x2)十2b 解得w=3V公于3--3弘-3 k2一3 M. 3 所以点M的轨选为直线y=后，其中k为直线PQ的斜率. 选择①②. 因为PQ∥AB,所以kB=k. 设直线AB的方程为y=k(x一2)，并设，点A的坐标为(xA,yA),点 B的坐标为(%g),则=(A-2), (yA=√3xA, 解得xA一 2k 23k k-√3 同理可得xB一 5%=-2 2k k十3 4k2 12k 此时十工B2一3A十%=3 因为点M在AB上，且其轨迹为直线y=:习 M=k(xM-2), 所以) 3 w=- 解得wwg 2k2 6k=yA十塑 2 所以点M为AB的中点，即MA=MB. 选择①③. 当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0),此时点M不在 3 直线y=后x上，与题设矛盾，故直线AB的斜率存在。 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=n(x一2)(m≠ 0),并设点A的坐标为(xA,ya),点B的坐标为(xg,yg), 则了=m(xA-2), 1yA=V5xA· m-有%-23 解得A=2m n-√3 m十5=-23m 同理可得=2m m十√3 此时w=ZA型=2m 2 m3'w-4业-6m 2 n2-3 由于点M同时在直线y-是上，故6m=是·2mi,解得6=m, 因此PQ∥AB. 选择②③. 因为PQ∥AB,所以kB=k. 设直线AB的方程为y=k(x一2)，并设点A的坐标为(xA,yA),点 B的坐标为（工Byg), 则了=(x1-2, 2k 2√5k A=3A 解得名一后及一后 同理可得B+5'8二一<的 k十√3 设AB的中点为C(z,yc), 剥=欢=4 2 2 因为MA=MB,所以，点M在AB的垂直平分线上，即点M在 直线y-e=-名(x一0)上. 3 2k2 6 将该直线方程与y=后x联立，解得w一二W一二3 ,即点M恰为AB的中点，所以点M在直线AB上. 专题20抛物线 考向1抛物线的定义与方程 1.D[抛物线的方程、性质十两点间的距离公式 因为抛物线C1:y=2p1x(p1>0)和C2:x=2p2y(p2>0)均经过 点(4,8)，所以8=2×4p1,4=2×8p2,解得p1=8,p2=1,所以 C1:y=16.x,C:x2=2y,则抛物线C1的焦点坐标为(4,0)，抛物线 C的焦点坐标为(0，立)，所以C的焦点与C的焦点之间的距 高4-0m+(0)-,选n] 11 2.C[直线与抛物线的位置关系根据直线y=一2x十2得 F(1,0),所以C的准线方程为x=一1，C的方程为y2=4x,所以 B(-1,4),所以A(4,4),所以AF=AB=5.] 3.B[由题意得，F(1,0),则AF=BF=2, 即点A到准线x=一1的距离为2，所以点A的横坐标为一1十 2=1, 不妨设，点A在x轴上方，代入得，A(1,2), 所以AB=√(3-1)2+(0-2)产=2V2. 故选B.门 4.号[将点A的坐标代入抛物线方程，得5=2p,于是了=5，则 抛物线的准线方程为x=一号，所以A到准线的距离为1一 ()=号] 考向2抛物线的几何性质 山，BCD[将点A(1,1)的坐标代入2=2y(p>0),解得力=习，所 以抛物线C:=y,其准线方程为y=一子，所以A错送.由= x2,得y=2x.当x=1时，y=2,所以抛物线在点A(1,1)处的切线 方程为y=2.x-1.令x=0,得y=一1，即切线y=2x一1过点B,所 以B正确.设直线PQ:y=kx一1，P(x1,xi),Q(x,x).将PQ:y= k-1与C:x2=y联立，得x2-kx十1=0，所以△=k-4>0,x1十 =k,1x2=1,所以OP·OQ=√十·√十=x12 √1十x·√1十若=√2+x十>√2+2x1x2T=2|QA2,所 以C正确.因为BP引·BQ=√1十k1|·√1十E12=1+ k>5=|BA2,所以D正确.故选BCD] 2.(4,0)[抛物线的方程及性质（理性思维）由题意，知力=8，则 号=4，所以抛物线=16x的焦点坐标为(4,0).] 3.号[圆的几何性质十抛物线的定义十点到直线的距离（理性思 雏、数学探索)由题意知圆(x一1)2十y2=25的圆心坐标为(1， 0),则F(1,0),故号=1，p=2,由抛物线的定义得AF=xA十1- 5,得xA=4.由对称性不妨设A(4,4),则直线AF的方程为y= 号(x一1)，即4红-3-4=0，所以原点到直线AF的距离是} 4,4√巨[抛物线的性质设P(x,%),因为点P到准线x=一1的 12 距离为9，所以x。十1=9，则x。=8,6=4x。=32,则%=土4√2， 即点P到x轴的距离为4√2.] 考向3直线与抛物线的综合问题 1.ABD[抛物线的几何性质十直线与抛物线的位置关系 A(/)因为抛物线E:y2=8x,所以其准线方程为x=一2，A正确： B(/)由题意可知直线1的方程为y=k(x十1)，与y=8.x联立并 化简，得kx2+(2k-8)x十k2=0,△=(2k2-8)2-4k=32(2 k2),若1与E没有公共点，则△<0，得k>√2，B正确； 错误项分析C(X)若与E有唯一公共，点B,则结合选项B可知 k=√2，此时B(1,2√E),若E的焦点F(2,0)在直线AB上，则直线 AB即直线BF,易知直线AB的一个方向向量m一(1，一2√2)，直 线BC的一个方向向量n=(1,√2)，设m,n的夹角为0，则cos0= 册日-号，因为△ABC为正三角形，所以∠ABC必为60，故 E的焦点不在直线AB上，C错误： D(√)当k=2时，l:y=2x十2，设A(81）,则A到直线1的距离 4=-+2 (t-2)2+ 4 √5 二≥5，结合题意可知△ABC的面积 S片成S一后得DE现长送An] 2.ACD[抛物线的定义十抛物线的几何性质 A(/)直线【为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知AD一 AF. 通解错误项分析B(X)当AB上x轴时，A(受，3) B(受，-3)E(-号0）AB=6,AE=3,E,此时AE≠ 3 AB. C(√)易知直线AB的斜率不为0，设直线AB:x=my十号，A(, 3 y1),B(x2,y2),由 =mv+立，得y-6my-9=0,则y十= (y=6x 6m,y2=-9,x1十x=m(y1十y)+3=6m2+3,AB=x1十x2 +3=6m2+6≥6. D(/)当n=0,即AB⊥x轴时，由B知，AE=BE=3W2,AE· BE=18当m≠0时，直线EF:x=-办y+,E(-是，3m） EF=√9+9m,SAAEB=2AE·BEn∠AEB=号AB· EF=号(6+6m)·√9+9m=9(1+m)>9,所以AE到· BE>n哪>1R茶上，AE·BE≥18.故连AD 光速解1分钟（二级结论） 错误项分析B(×)以焦点弦为直径的圆与准Dy 线相切，AB为直径，AE为弦，所以|AB|> AE. C(/)抛物线的焦点弦中通径最短，p=3,则 AB≥2p=6. D(/)由选项B可知AE⊥BE,如图，设∠AFx =A,由SaEm=之AE·BE=名AB· EF,可得AE·|BE=AB·EF=2史 sin'g cos(-） 二合>2沙=18故透AD】 3.ABD[直线与圆相切十直线与抛物线的位置关系（理性思维、数 学探索) 数形结合法对于A,易知1：x=-1,故1与⊙A相切，A正确； 对于B,A(0,4),⊙A的半径r=1,当P,A,B三点共线时，P(4,4), 所以PA=4,|PQ=√PA-7=√-1P=√5，故B 正确： 对于C,当PB=2时，P(1,2),B(一1,2)或P(1,-2),B(-1, 一-2)，易知PA与AB不垂直，故C错误：专题19 考向1双曲线的定义与方程 (2023·新课标I卷，5分)已知双曲线C:号 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2. 点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥FB,F2A 恝 号F店，则C的离心率为 考向2双曲线的几何性质 ® ①，(2026·全国Ⅱ卷5分)设双曲线C:乙 y2 62 1(a>0,b>0)经过点(1,0)和点 r )则c 的渐近线方程为 ( A.y=士3√2x B.y=士2√3x Cy=士3 2.2026·北京卷，4分)已知双曲线C:号 4 量 农 1(a>0)的渐近线方程为y=土3x,则a的 值为 ( A.2 B.3 C.4 D.9 和 3.(2026·天津卷，5分)已知双曲线 y2 =1 赵 (a>0,b>0)的左焦点为F,A是右顶点，P是 双曲线上一点，满足|FA|=|FP|,∠FAP= 30°，则双曲线的离心率为 ( 濫 A.4 B.g C.8 0.3 4 4.(2025·全国卷I,5分)已知双曲线C的虚轴 长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 ( 尔 A.√2 B.2 C.7 D.2√2 固（多选）(2025·全国卷Ⅱ，6分)双曲线C:号 问 -1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F· b2 左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与 双曲线 C的一条渐近线交于M,N两点，且∠NA1M 琴则 A∠AMA2=晋 B.MA=2MA2 C.C的离心率为√13 D.当a=√2时，四边形NA1MA2的面积为 8√3 y2 6,(2025·天津卷5分)双曲线1a>0 b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以右焦点F2 为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第 一象限的交点为P,若PF1|十PF2= 3F1F2,则双曲线的离心率e= A.2 B.5 C,2+1 D.5+1 2 2 7.(2025·上海卷，5分)已知A(0,1),B(1,2), C在T:x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则△ABC 的面积 A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 8.(2024·全国甲卷·理T5,文T6,5分)己知双 曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，一4)，点 (一6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 ) A.4 B.3 C.2 D.√2 9.(202·天津奉，5分)已知双自线导-若 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是 双曲线右支上一点，且直线PF,的斜率为2， △PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线 的方程为 A- 、=1 B. =1 84 D.2y2 48=1 10.(2023·全国甲卷·理，5分)已知双曲线C: 三-是-1(a>0,b>0)的离心率为5，C的- a2 b2 条渐近线与圆(x一2)2+(y一3)2=1交于A, B两点，则|AB|= ( B.2⑤ C.3⑤ D.4⑤ 5 5 5 11.(2022·全国乙（理）T11)双曲线C的两个焦 点为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D, 过F1作D的切线与C的两支交于M,N两 点，且cos∠FNF,=号则C的离心率为 A B.Z C 13 D 7 2 2 12.(2023·天津卷，5分)双曲线 y2 a22=1(a> 0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作 其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知PF2 =2,直线P的斜率为，则双曲线的方 程为 A-苦- B.2y2 =1 48 c--1 n -=1 13.(2026·全国I卷，5分)双曲线5.x2-6y2=1 的离心率为 14.(2024·新课标I卷，5分)设双曲线C,三 y2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两 点，若|F1A|=13,AB=10,则C的离心率 为 15.(202·全国甲（文）T15)记双曲线C.-号 a2 b2 八 (a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线 y=2x与C无公共点”的e的一个值 16.(2022·北京卷T12)已知双曲线y2+ -=1 的渐近线方程为y= 3x,则m= 17.(202·浙江卷T16)已知双曲线-号 42-b2 =1 (a>06>0)的左焦点为F过F且斜率为 的直线交双曲线于点A（x1,y1),交双曲线的 渐近线于点B(x2y2)且x1<0<x2·若|FB| =3|FA|,则双曲线的离心率是 考向3直线与双曲线的综合问题 1.(2023·全国乙卷·理，5分)设A,B为双曲线 x2一2=1上两点，下列四个点中，可为线段 AB中点的是 A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 2.(2024·北京卷，5分)若直线y=k(x一3)与双 恤线 一y2=1只有一个公共点，则k的一个 取值为 3.(2026·上海卷，18分)本题共有3个小题，第1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分 已知双曲线T:x2一y2=1,F1,F2分别为T的 左、右焦点。 (1)求点(2,0)到Γ渐近线的距离. (2)P为r上一点，PF·PF2=1,求△PF1F2 的面积. x0 5.(2024·上海卷，18分)本题共有3个小题，第1 (3)设曲线2：x2-y2=1,其中 或 y≤-1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 {≥-1过点P,的直线1交0于P,Q两点 x>0 分8分. (分别位于第一、第四象限)，过点F2的直线m 已知双曲线12若=1(6>0左，有顶点分 交2于M,N两点（分别位于第三、第四象限）， 别为A1,A2,过点M(一2,0)的直线交双曲线Γ 是否存在正数入，对于任意的1，都存在唯一的 于P,Q两点 m,使MN|=入|PQ成立？若存在，求出所有 (1)若T的离心率为2，求b. 的入；若不存在，请说明理由. 2)若b三26，△MA2P为等腰三角形，且点卫 在第一象限，求点P的坐标。 (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交Γ于点 R,若A1R·A2P=1,求b的取值范围」 4.(2024·新课标Ⅱ卷，17分)已知双曲线C:x2一 y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上，k为常数， :6.(2023·新课标Ⅱ卷，12分)已知双曲线C的中 0<k<1.按照如下方式依次构造点P,m(n=2, 3,…):过Pm-1作斜率为k的直线与C的左支 心为坐标原点，左焦点为（一2√5,0），离心率 交于点Qm-1,令Pm为Qm-1关于y轴的对称 为5 点.记Pn的坐标为(xnym）. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点（一4， (1)若=2，求x22 0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第 (2)证明：数列(，一是公比为吉会的等比 二象限，直线MA1与NA2交于点P,证明：点 P在定直线上 数列 (3)设Sm为△PnPm+1Pm+2的面积.证明：对任 意正整数n,Sn=Sm+1 63 7.(2022·新高考1卷T21)已知点A(2,1)在双 8.(2022·新高考Ⅱ卷T21)已知双曲线C, 曲线C号 y2 a" ,=1(a>1)上，直线l交C于 y2 b =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线 P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0. (1)求1的斜率； 方程为y=士3x (2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点，点P(x1y1),Q(x2,y2)在C上，且x1> x2>0,y1>0.过P且斜率为一√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中 选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在AB上；②PQ∥AB;③|MA|=|MB. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解 答计分. 64