专题18 椭圆-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题18椭圆 考向1椭圆的定义与方程 1.A[由巴知得6=百，=日-，周为-5，所 以9-×巨，得a=2故选A] 2.B[解法一依题意a=3,b=√6，c= √a-=√3.如图，不妨令F(-√3,0)， F(W5,0).设PF1=m,PF2=n,在 △rPF:中，oos∠F,PF,=m+-12=3 2mn 5 ①，由椭圆的定义可得m十n=2a=6②.由①②，解得mn= 号设OP=x在△FOP和△ROP中，∠E,OP+∠F,OP=x 由余孩定理得十3一m=一心十3-心，得x=m+-6 23x 2√3x 2 m+022m6=号，所以0p=厘 2 2 解法二依题意a=3,b=√6，c=√a-b=√5.如图（图同解法 一)，设点P的坐标为(x,y),a=∠FPF2,则cos∠FPF= a eosa=号，放in∠RPE:=sna 2sin 2 cos2 sin2号+cos号 2tan 2 成号友m2合故F 的面积SaF,,=fan号=6X合=3又SaF,R,=号X2x%- B,放=3又号+答-1，所以6=号，0即=6+6 岁，op-@ 2 解法三依题意a=3,b=√6，c-√a一b=√3.如图（图同解法 一)，设点P的坐标为(，y),利用焦点三角形面积公式知 S,品周为∠RE=号所以nLPE=子 6X三=3.又SAF PF,=2X2c%=3%,故8写 3又号+普-1，所以6=号，00=后+坊=号，0p=] 3.B[根据离心率及BA1·BA=-1,解得关于a,b的等量关系 式即可得机国为高世率=台√吾-子解得华-号 公=号。，A1A分别为C的左右顶点，则A(-a,0,A(a,0 B为上顶点，所以B(0,b).所以BA=(-a,-b),BA=(a,-b), 因为B所·B队=-1，所以-心+=-1，将份=号。代入，解 得心=9，形=8，武镜圆的方报为号+号-1，我选B] 413[第图高心奉为分不游设C后十茶-1，且△AFE为正 三角形，则直线DE斜率长-怎由等熊三角形性质可得，AE EF,,AD=|DF。,由椭圆性质得△ADE的周长等价于 DE+DE+EE=4a,另设直线DE方程为y=号(x+e0, 与椭圆方程联立得13.x2十8c.x一32c2=0. 由弦长公式|DE|=√+I·|西-2|=√E十I· /(1十xg)2一4x1x2得 8c=13.] 考向2椭圆的几何性质 1,B[因为P·P正=0，所以PFLPF:,则SAm,=PE· PR=mFPE,得子PE,·PE=1Xmg,所以 2 PF|·PF2=2,故选B.] 2.号[描圆的方程与几何性质由题意不坊设描圆焦，点在x轴上， 作出椭圆如图所示，其中F,F,分别为椭圆的左、右焦点，F,G分 别为椭圆的左、右顶点，D,E分别为椭圆的上、下顶点.由题意可知 线段AB,BC,AC可以构成一个三角形，故A,B,C三点不都在x 轴上，则D,E这两，点至少远一个，若同时远D,E,则三角形ABC 为等腰三角形，不符合题意，所以不妨设D为A,B,C中的一点，点 E不为A,B,C中的点. E 若剩下的两个，点都是焦，点或都是顶点，则三角形ABC为等腰三角 形，不符合题意，所以剩下的两个点一个为焦点，一个为顶点，第一 种情况：若剩下的两个，点在O同侧，不妨设为F,F,连接DF, DF,则DF1|=a,FF=a-c,DF=/a2+b,因为a-c<a <√a2+b,所以a-c=3①，a=√/14②，√a2+b=5③， 由②③可得b=√1T,又c2=a2-形，所以c=√3，与①a-c-3矛 盾，所以此种情况不符合题意。 第二种情况：若剩下的两个点不在O的同侧，不妨设为F,F2,连接 DF2,则DF2=a,FF2=a十c,DF=√a+形，易知a,a+c, √a+b中a最小，a十c与V√a+b产的大小关系不确定，所以a= 3,若a十c=√14，√a十形=5，测c=√14-3，b=4,不满足a2= +c2:若a十c=5,√a+6=√14，则c=2,b=5,满足a2=+ ,此时精圆的离心率e=合=子】 3.x+√2y-2V2=0[令AB的中点为E,图为|MA=|NB,所以 ME=NE, 设A(红)，B(y),则后+兰-1，度+兰=1， 67 3 63 -普+普-兰-0，中 所以 6 (y十y)(y一y2=0 3 所以名 之，即ke·kAg=-合，设直线AB: y=k.x十n,k0,n>0 令x=0得y=m,令y=0得x=一贤， 即M(-,0）N(0m,所以E-张，罗） 即kX 2 1 强 89 又MN=2√5，即MN|-√m2+(W2m)2=2√3，解得m=2或 n=-2(舍去)， 所以直线ABy=- 2x+2,即x+2y-22-0.] 考向3直线与椭圆的综合问题 1.C[由题意，F1(-√2,0)，F2(√2,0)，△F1AB面积是△F2AB面 积的2倍，所以，点F到直线AB的距离是点F,到直线AB的距离 的2倍，即-+m=2×E+m,解得m=-或m=一32 √2 3 (舍去)，故选C.] 2.椭圆方程十直线与椭圆的位置关系十两角和的正切公式 解（1)由题感，得c=1,e=合=豆a=2. (1分) a2=f+c2,.b-3, (2分) C的方程为号+-1 (3分) (2)设P(x,y1),Q(x,y),由直线PO交C于R,得R(-x1, 一y). (1)如图，连接QO :O为PR的中点， ∴.S△P0R=2S△P00· :S△QR=3S△PFO,S△PQ=S△PFO十S△QFO, ÷Samo=2Sa0o→7F0lm=2·F01y, .ly=2y2→y=-2w2 (6分) 解法一（常规联立、根与系数的关系）设l:x=ny一1(n>0),由 x=my-1 4 -1 得(3m2+4)y2-6my-9=0, 3 6m △=144(m2+1)>0> 1y十y2=32+4 (8分) -9 6m ① ,y=-2y2 1一y:=3r2+4 -9 将⑩代入②垫理得心=合解得m= 喷维参 (9分) (xD, 故1的方程为y=号 (10分) 解法二（不联立、点差法） 1y=2为1→F市=2Q亦→ 1十2.x2=-3 1y+2y=0· (6分) 点P,Q在C上， +=1 =1 ③ 43 4 4zx4y」 1×4④ 4 3 3 ③-0>+2x,-2）+y+2-2）--3→x 4 3 -2x2=4. 又西十2=一3=分，再代入③得=士35 4 14 又点P在第-象限-3P(合)P%=县 4 故1的方程为y=与(+1) (10分) 2 (ⅱ)【合理将正切值转化为目标斜率，进而利用基本不等式加以解 决】 如图，延长RQ交x轴于，点M,tan∠QMF=-kaR,tan∠MFQ =kpQ 结合店=3-寻听=3-是>ks=-是 (14分) an∠PQR=an(∠MrQ+∠QMF)=fka kpa一kaR= 4(kpQ+4kpa） 等号. .tan∠PQR的最小值为4√5. (17分) 3.椭圆的方程、几何性质十点的轨迹方程 解(1)解法一设E的短半轴长为b,半焦距为c,则b=1,c2=a2 -1,将=c代入E的方程，得号十=1，所以旷=1-《己 则号-厄，得a=E,放=1 (2分) 则E的高心率为日罗 (4分) 解法二椭圆中过焦点且垂直于长轴的孩长为少，其中6为椭圆 的短半轴长，又b=1,所以2=2，得a=√2，故c=1, (2分) 故E的离心率为二一号 (4分) (2(1)由(1D知E:号+r-1 (5分) 由题意得直线BG的方程为子十兴=1， (6分) yo 直线OA的方程为x=v(w≠0) x+y=1 联立得】 I-x' (8分) 国为A)在E:号+y=1上. (9分) 所以（气）+2(）=2，得(r-2)+2y+4红-2 =0, 故M的方程为(-2)x2+222十4tx-22=0(y≠0).(10分) (iⅱ)由(1)得当t=士√2时，M的方程为y2=一√2x十1或y2= √反x十1，此时M为抛物线，无对称中心 (12分) 当t≠土√2时，由(2-2)x2+2y2+4tx-22=0(y≠0)得(t2一2) (与)+2-兴2易知M有对中心 平移M,得到M,因为O为M'的对称中心，所以M的方程为 -20r+2=2+兰=1 (14分) (-2)22-2 故当≠0且t≠士√2时，M有对称中心. (15分) 当>√2时，M为焦点在x轴上的椭圆 (16分) 当0<t<√2时，M为焦点在x轴上的双曲线. (17分) 4.椭圆的方程与几何性质十直线与椭圆的位置关系十三角形面积公 式十点到直线的距离公式 解(I)(圆维曲线基本概念法)由题意可知a=2,离心率为日 1 =2’ 0 所以c=1,又a2=2+c2,所以b=√5. (3分)1 故E的方程为号+苦-1. (4分) (Ⅱ)（面积同高法）如图，设B(x1,y),C(x2,边)， 由题意，得直线BC的方程为y=k(x一1)十1，由 片+苦-1，消去得(+ (y=k(x-1)+1 3)x2+8k(1-k)x+4(1-k)2-12=0, (6分) 则△=[8k(1-k)]-4(4k+3)[4(1-k)2-12]>0, 4k+32x4=41-02-12 十五2=二8k(1) (8分) 4k2+3 又B关于直线y=x的对称点为D,则D(y1,x1),设Q(1,), 易知直线DC斜率存在，由D,C,Q三点共线，可得二西=一西 t-y xg一y1 解得t= =殿%以Q( V1一x1x2 13k十11 8k+6 (10分) 设点Q到直线BC的距离为d,则d=k-1D(-1D √J1+k 5k2-1 √1+k8k+6 由弦长公式可知AB=√1+Ex-1,AC=√1十kx一1， 则|AB-AC||=√1+k|x1十x:-2|=√1十k· 1-8k-6| 56M0-SN0-ABd-Acldd 11AB-AC11=，即之-· 5 -8k-6 4k2+3 5k2-1 5 V√1+k18k+68' (13分) 化尚得一号= 4k2+3 解得k=土2 (15分) 5.椭圆的方程十直线与椭圆的位置关系十圆的切线方程 解(1)【采用基本量法，为了计算方便可以借助新的变量】 由题意得，名=号，所以可设a=2,c=,则 (2分)i 3 又点(，号)在C上，所以 2 (3分) a b2 所以3+ -=1,因此b=3,a2=4, (4分) 4 -=1. (5分) (2)由题意知斜率为一√3的直线与圆x”十y2=3相切，设切点为！ M(xo,y),则过点M的切线方程为xox十yoy=3, (7分) 3 =一5，由光得〉 =2 3 1=-2 yo ) (9分) x6十y=3 9 2 所以切线方程为√x十y=士2√3， 与3.x2十4y2=12联立并化简得5x2士16.x十12=0. (10分) ①当%=号时，(5-6(-2)=0，光时P2.0.Q(号，4） (11分)： 6 又4A0周所以会-兰=05×喜-812分 :-5西45-5 14 ②当为=9时，(5x十6)(x十2)=0，此时P 64W3} 5，一 Q(-2,0), (13分) 4 则 5 -X 一23 (14分) 0-√5 6 5 k3. 综上 (15分) 6,椭圆方程十动点的轨迹问题十两动点间距离的最值问题（逻辑思 维能力、运算求解能力、化归与转化思想) 解1)由题意知二2y,所以二=8 3 以。=分， 设a=9t,t>0,则c2=8t,所以b=t. 又AB2=a2+b=10t=10, 所以=1，所以C的方程为。十广=1， (2)(i)设R(x,y),由(1)知A(0,-1),又P(m,n), 【关键一步：线段长度的乘积如何运用？常规思路是用两点间的距 离公式，但计算量很大，再看看题目给的点R在射线AP上这个条 件，想到使用向量的数量积计算，将模长计算与坐标运算相结合， 就更方便了】 所以AP·AR=(n,n+1)·(x,y+1)=mx+(n+1)(y+1)= APl. AR·cos0=3.① 【共线条件如何转化？共线这个条件正常就用斜率（斜率存在）转 化较为简单，如果用向量，写起来就相对麻烦了】 由p=k,得-十1，@ 【如何消元？这也是本题的一个难点，这里很关键的一，点是将y十1 作为整体代入消元，这样计算量就小很多】 3m 由①②得m十1w=中2m一 m2+(n+1)2, 故（中产） 3m (i)由(1）得k-+2-m一立-3说=30，得m2十r+8一 32 12 2=0, 【轨迹方程的几何意义？借助点P的轨迹为圆，很快就能想到要转 换，否则两个动，点间距离的最值问题很难求解】 即m2+(n+4)2=18. 【圆上的点为何转换为圆心？这应该是高中数学中一个较为常见 的问题，看到椭圆上的点应该能很快想到三角换元（或椭圆的参数 方程，其本质上是同角三角函数的平方关系，这在高考中经常使 用)，求最值时变量越少，思雏就越简单，计算才会越方便】 由题设Q(3cos0,sin0),K(0,-4), 则|KQ2=(3cos0)2+(sin0+4)2=-8sin20+8sin0+25, 【代数换元转化为二次函数？这里不进行代数换元也可以，但换了 之后书写更方便，同时借助二次函数求最值也更加方便】 设s=sin0,则|KQ2=-8+8s+25=-8(-2）+27(-1≤ s1), 故当s=sin0=号时，KQ取得最大值，且KQ=3尽， 故PQ的最大值为KQmx十3V2=3(W5+√2)， .椭圆的方程与几何性质十直线与椭圆的位置关系十弦长公式 解(1)第1步：根据长轴长求a的值 由2a=4,得a=2. 第2步：根据离心率及a,b,c之间的关系求b的值 ,则c=2 由题感得e=￡=， a=2,又=a2-c2,所以b=2 第3步：得C的方程 所以C的方程为号+兰 =1 (2)第1步：联立直线与椭圆的方程，得到根与系数的关系 由题意得1的斜率存在，设14y=k虹一2，代入号+艺-1消去y并 化简得(1+2k2)x2一8k.x+4=0, 由△=16(2k-10>0,得>立 1 8k 1x1十x=1+2R 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 4 1x=1+2R 第2步：利用三角形的面积公式求k的值 X2X-4=√a+)=4x西 S△0AB=Z 42k2-1 1+2k =厄，解得=是 第3步：利用弦长公式求AB 所以AB=+农x,-√1什多X反=5. 8.椭圆的方程与性质十直线与椭圆的位置关系 解(1)：PF的斜率为号， PA=子EA, 2 得a十c=3, 又名=号a=2c=1.则6= 1 a (2)由1)知F(-1,0),则PF:y=号(x+1)P(2,1 易知直线PB的斜率存在，设PB:y一1=k(x一2)， /w-1=k(x-2) 得(4k2+3)x2-8k(2k-1)x+8(2k2-2k-1=0, PB与椭圆仅有一个交点， ∴.△=64k(2k-1)2-32(4k2十3)(2k2-2k-1)=0, 解得k=一 21 I8= 22=1,则3g=是B1,受) 2(4k2十3) 3 :直钱BF的斜率为=-=4 2 3 1 .tan2∠PFA 2×3 1-() ∠BFA=2∠PFA, 3 即PF平分∠AFB. 9.椭圆的离心率十直线与椭圆的位置关系（逻辑思维能力、运算求解 能力) 解(1)由已知得a2-5=22,所以a2=9. 所以a=3,又c=2, 所以e=号 【本问的关键是记得椭圆中a,b,c三者之间的关系】 (2)当a=4时，八后+苦-1，则A4,0, 因为PA=2MP,所以OA-OP=2(OP-OM),其中O为坐标 原点， 则0币-号i+号i=号(4.0)+号0，m-(分，号m小 【利用向量的坐标运算或直接利用定比分点公式正确求出OP的坐 标】 故P(号，号m) 又P在r上.所合（ 16 又m>0, 所以m=√10. 【点P在椭圆上，直接将坐标代入椭圆方程即可，同时别忘了>0 这个已知条件】 (3)设C(x1,y1),D(x2,2),由题知A(a,0),M(0,m),则kAM= m 故k,=a=2,即a=2m. 【由已知垂直关系及斜率公式得出a,m的关系式是本问最初一步， 千万不能出错，否则前功尽弃】 直线1过线段AM的中点（受，受），即(m,受）剥1：y-罗 3 2(x-m),即l:y=2.x-2m, 【正确写出1的方程是基本功，不容有失，也是基础的一步】 =2x-n 联立得) +=1 消去y得(5+16m2)x2-24m3x十9m-20m2=0, 消去x得4(5+16m2)y2+60my-275m2=0, 【关键一步：这里消两次是本题的最关键一步，如果只消一次，则只 得一个方程，还是得转换，不如直接消两次】 由∠CMD为钝角知，M花·MD=(x1,y-n)·(x2,一m)= x1x2十(y1一m)(y2一n)=x12十y1y-m(y1+y)+m2= 9m-20m -275m -60n 5+16n2 (5+16)m4C5十16m)十m=100”275, 4(5+16m) <∠0， 【要善于运用根与系数的关系，转化钝角这个条件的最好方式就是 利用向量，这里没有共线的情况，故只需数量积小于零即可（这是 由方程本身决定的)】 即25(4m-11m)<0,又m>0,所以0<m< 2 又a=2m,且a>√5，所以√5<a<√/11， 故a的取值范国为(W5,√1I). 【最后下结论时别忘了a>√5这个条件，同时注意是求a的取值范 国而不是m的取值范周.本题是高考中很常规的一道题，重点在于 远择什么样的求解方式，使得运算又快又准，这对数学运算的能力 要求较高，理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算 方法，设计运算程序，求得运算结果，数学运算这一核心素养从来 不是一句口头禅，而应该是刻在骨子里的记忆，是运算的程序化 操作！】 10.椭圆的离心率十三角形的面积公式（理性思维、数学应用） 解(1)第1步：代入A,P坐标求解a,b T=I 9 由题知， ,解得a=23 (b=3 第2步：根据a,b,c的关系求解c,得出C的离心率e =√公-8=尽C的高心率e=合=2 (2)第1步：求解PA +)- =2 第2步：得出点B到直线PA的距离h 设点B到直线PA的距离为h,则△ABP的面积为S=号PA ·h=9,解得h=12⑤ 5 第3步：求解点B坐标 易知直线PA:x十2y-6=0,设B(x,y), [1x+2y-6=125 5 则 5 后+ =1 x=-3 2 第4步：求直线1的方程 3 故l:y=立x-3或y=立 42 11.椭圆的标准方程十直线与椭圆的位置关系 解(1)解法一（直接法）第1步：构造关于a,b,的方程组 1+9 1 由题意知 c=1 a2=b2+c9 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 a=2 得b=5, （c=1 所以精圆C的方程为号+苦-1 解法二第1步：构造关于a,b,c的方程组 a 由题意知 c-1 (a2=b2+c2 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 a=2 得b=5, (c=1 所以满圆C的方程为号+号-1， 解法三（巧用椭圆的定义） 设F为C的左焦点，连接MF, 则MF=,FF=2, 在Rt△MFF中， MF1-√TMFP+FFTP- 3 由椭圆的定义知2a=MF'十MF=4,2c=FF=2, 所以a=2,c=1, ; 又a2=b+c2,所以b=√5， 所以箱园C的方程为号+号-1 (2)第1步：联立方程，消元得出关于y的一元二次方程，写出根与！ 系数的关系 分析知直线AB的斜率存在， 易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴， 当直线AB的斜率不为0时， 设直线AB:x=ty+4(t≠0)，A(1y1),B(x2y),Q(1,n), ,x=y十4 消去x得(32+4)y+24y+36=0,△>0， -24t 36 则y十=3r+M必32+ 第2步：将三点共线代数化，建立关于n的代数式 因为N的线段FP的中点，F1,O),所以N(号0） 由N,Q,B三，点共线，得kN=kNQ, 即 5 x一2 ”三得-号= 1- 一3y2 得n=22-5' 第3步：证明n=y 一32 -3% 所以n一y=2产一y=2(地千0-万 -2t×363×24t -2yy-3(y十y）=3+43+4=0, 2ty+3 2ty2+3 所以n=y1,所以AQ⊥y轴. 12.椭圆的方程与几何性质十直线与椭圆的位置关系十向量的数 量积 解(1)第1步：用c表示a和b 因为e=合=2，所以a=2c,b=V瓜-乙=5c, 143 第2步：写出点A,B,C的坐标 由题知A(-Q,0),B0,-b),C0,-合， 第3步：用c表示出S△ABC,并求出c 所以S=之·BC·QA=·合·a= 1 2 c.2c- 2 9,得= 第4步：求出a和b,并写出椭圆方程 所以a=2√5，b=3. 故描国的方程为号十苦-1 (2)第1步：设，点的坐标，并讨论直线PQ斜率不存在的情况 设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(0,). 当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0,3),Q(0,-3),则TP, T0=(0,3-)·(0,-3-)=2-9≤0，解得-3≤≤3. 第2步：讨论直线PQ斜率存在的情况，设出直线方程 当直线PQ的斜单存在时，设其方程为y=虹一多， 第3步：联立方程，消去y,判断判别式符号，写出根与系数的关系 y=kx-2 由 可得(3+4k2)x2一12kx-27=0,所以△=144k y 129 =1 12k 27 十4×27(3+4k)>0,+=3十4k41=一3+4级 第4步：表示出TP.T,代入根与系数的关系并化简 因为T币.T0=(y-)·(y-)=西十(y-)(一) =西西+（红号-）(-是-）=(1十）4- (受+小++（倍+）°-21212（受+ 3+4k 3+4k2 +()= -27-27-18k-12k1+号+30+9g+9g+4+124 3+4k 4k-36k+3r2+9r-8 3+4k2 0, 第5步：求出t的范周 所以4k2-36k+3r2+91-8头≤0对k∈R恒成立， 4 42-360 则有 {中-头<0解得-3K号 第6步：得出结论 3 综上可得，一3≤1≤2，即点T的纵坐标的取值范国是 [-] 3.椭圆的标准方程十直线与椭圆的位置关系 解(1)解法一（直接法）第1步：构造关于a,b,c的方程组 f19 46=1 由题意知了c=1 a2=b2+c2 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 a=2 得b=5, (c=1 x21v2 所以椭圆C的方程为行十芍=1. 解法二第1步：构造关于a,b,c的方程组 (MF=3 一2 a 由题意知 c=1 a2=2+c2 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 a=2 得)b=√5 (c=1 所以精国C的方粒为号+号-1. 解法三（巧用椭圆的定义） 设F为C的左焦点，连接MF,则MFP=号，FP=2。 在R△MF'中，MF'=√MF+FT=√(2)+2 由椭圆的定义知2a=MF十MF=4,2c=FF=2, 所以a=2,c=1, 又a2=十c2,所以b=√5， 所以描园C的方程为号+兰-1. (2)第1步：联立方程，消元得出关于y的一元二次方程，写出根与 系数的关系 分析知直线AB的斜率存在. 易知当直线AB的斜率为0时，AQLy轴. 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB:x=y十4(t≠0)，A(x1 y),B(x2),Q1,n), 1x=w+4 消去x得(3+4)y+241y十36=0，△>0， -24t 36 则y十：=3+4y1=32+4 第2步：将三，点共线代数化，建立关于n的代数式 因为N为线段FP的中点，F1,0),所以N(号，0） 由N,Q,B三点共线，得x=0,即业 5 1-2 5 x2一2 第3步：证明n=y -3y2 一3y% 所以n-y1=2x兰一y=21w于0-为 -2t×3613×24t -2yy-3(y十y22=3+43+4=0, 2ty2+3 2ty2+3 所以n=y1,所以AQ⊥y轴. 14.直线与椭圆的位置关系（理性思维、数学探索） 解(1)第1步：结合题意得到b,C 由题意可知b=√2，c=√2， 第2步：由椭圆的基本量间的关系求a 所以a=√b2+c2=2, 第3步：写出椭圆E的方程、离心率 故接国E的方程为号十苦-1，高心余e=台-号 2 (2)第1步：设出点A,B的坐标及直线AB的方程 设A(x1y),B(x2,y),直线AB的方程为y=kx十(k≠0)， 第2步：联立方程，利用根与系数的关系得x1十x与x1x2 x21y2 联立得行+之=1，得1+2)x+4+242-4=0. y=kx+t 所以△=(4kt)2-4(1+2k2)(2r-4)>0,即4k-2+2>0, Akt 1x1十x=一1千2k 由根与系数的关系得 75-24 ①. 1+2k9 第3步：由共线关系列等式 由椭圆的对称性可得D(一x2,y2), 因为A,C,D三点共线，所以kC=kD, 所以当一1=当-1 即x1y2十x2y1-(x1十x2)=0. 第4步：代入直线方程消元 由y1=kx1十t,yg=kxg十f,得x1(kx2十t)十x2(k.x1十t)一(x1 x2）=0, 整理得2kx1x2十(t-1)(x1十x2)=0②， 第5步：将①代入②求得t 所以2.2+(1-1) -4kt 1+2k 1+2k9 =0, 解得t=2 15.解(1)因为点A(-2,0)在C上，所以4=1，得=4. 2 因为格周的病心率=台-写所以 9a2,又a2=+c2= 5 4+号a,所以a=9,c=5, 故箱图C的方程为号+=1， 1x2 (2)由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设1m:y-3=k(x十 2),P(x1y1),Q(x2y), 1w-3=b(x+2） 得(4k2+9)x2+(16k+24k)x+16k2+48k=0, 则△=(16k2+24k)2-4(4k+9)(16k2+48k)=-36×48k>0. 故1十x=-16k2+24 ,41x2=16k2+48k 4k°+9 4k2+9 直线AP:y= 十2(x十2)，令x=0,解得yw= 十2，同理得 2y1 yN= 2y2 x2+21 则w十wy=2(十2)+(+2) (x1+2)(.x2+2) =2(Ex十2k+3)(x+2)十(kx2+2k+3)(x1+2) (x1十2)(xg+2) =2 2k.x1x2+(4k十3)(x1十x2)+8k+12 1x2十2(x1十x2)+4 =22k(16k+48k)十(4k+3)(-16k°-24k)+(8k+12)(4k+9) 16k2+48k+2(-16k2-24k)+4(4k2+9) -2× =6. 所以MN的中点的纵坐标为M丛=3，所以MN的中点为定点(O,3). 2 16.解 (1)如图，由题意可知a十c=3. a-c=11 故∫a=2 {c-1则6=a2-c2=3, 所以的方程为号十号 =1, 此精圆的高心率e=。=2 (2)由题易知直线A,P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P y=k(x-2) 的方程为y=k(x一2).由 +兰=1可得(3+4)r-16k工 4 3 +16k2-12=0, 设P(xp,yp),则由根与系数的关系可知xp十2= 16k2 3+46,即xp 期-2》=器 -12k 由直线AP交y轴于点Q可得Q(0,一2k), 所以SaA,P阳=X4Xp-a,SaA,n=号X1X1p, 因为S△A,PQ-2S△A,即，所以2yp-%=yp, ①当2p-2%=p时，m=20,即有2包 =2 3+4k 一2k,解得k=0,不符合题意，舍去 ②当2ya-2yp=|yp时，2yQ=3yp,即有4|k|= 0解得=上号 2 故直线A,P的方程为y=士5(x一2》. 2 44 17.解(1)设椭圆E的方程为m.x2十ny2=1,过A(0,-2), B(2,-1) 4=1 则{9 (4n+n=1: 1 1 解得m=3= 2A0,-2,B是-D.所以AB:+2=号， ①若过点P1,一2)的直线斜车不存在，直线x=1,代入号 可得M1,25.N,2.代入AB方程y 3-2,可得 T5+3,25.由M-i得到H26+5,2.求得HN 方程： y=(2-2.-2过点0，-2》 ②若过点P(1,一2)的直线斜率存在，设kx-y一(k十2)=0， M(),N(2). 1kx-y-(k+2)=0 联立 ,得(3k+4)x2-6k(2+k).x+3k(k+4)=0, x1十x= 6k(2+k) -8(2十k) 3k2+4 1y1十=3k2+4 可得 3k(4十k) Ix= 3k+4 %-4(4+4k-2) 3k2+4 且x1十x2M= 一24k(*). 3k2+4 (y=y 联立2 y=号2可得T(之+3v1),H(3v+61y). 可求得此时HN:y一业=3y+6一一2 y一 （x-x), 将(0，一2)，代入整理得2（无1十）一6(y十2)十x1”十M 3y-12=0, 将(*)代入，得24k+12k+96+48k-24k-48-48k+24k-36k -48=0, 显然成立 综上，可得直线HN过定点(0，一2) ,b=1, a=2, 18.解(1)由题意，得2c=23,解得b=1, (a2=+c2, c=√/3， :描圆E的方程为号十少=1 (2)由题意可设直线BC的方程为y一1=k(x十2). 2 联立得方程组)4 +y2=1, y-1=k(x十2). 消去v并整理，得(4k+1)x2+(16k+8k)x+16k+16k=0, 则△=(16k2+8k)2-4(4k2+1)(16k2+16k)>0, 解得k<0. 设B(x1,y),C(x2,),十=- 16k2+8k 4k2+1,x1x= 16+16k.① 4k2+1 :直线AB的方程为y=y一十1，则直线AB与工轴交点M的 坐标为(0） 同理得点N的坐标为（平2 MN=2,. 一x2 一x1 k(x2十2)k(1+2) =2 1 ∴.x1-x2=k[x1x+2(十x)+4], √五1十)2-41五=kLx十2十x)+4]1.② 将①代入②，得 16k2+8k 4(16k+16k) =k16k+16k 4k+1 4k2+1 4k+1 2(16k+8k) 4k2+1 整理，得k”十4k=0.又k<0,∴.k=一4 19.解(1)设M(23cos0,sin0)是椭圆上一点，P(0,1), 则1PM2=12cos20+(1-sin0)2-13-11sin0-2sin0=14 11 1 2144 11 故PM的最大值为2四 11 (2)由题意，知直线AB的斜率存在， 故授直线AB的方程为V=k虹十子. (y=kx2 将直线方程与椭圆方程联立，得 12+y2-=11 消去y并整，得（十司）十虹 3=0. 4 设A(x1y1),B(x2,y2),则x1十x2= k2十 x1x2一 1 4(+ 直线PA:y=当-1 x十1与直线y=- 1 x十3交于点C,则0= 4.x 4x1 x1+2y-2(2k+1)x1-11 4.x2 同理可得，n-十2y-2(2+10x, 则CD=√+于- 4x1 4% 2 (2k+1)x1-1(2k+1)x2-1 =2√5 x1一xg [(2k+1)x1-1](2k+1)x-1可 -2√5 x1一2 (2k+1)2x1x2-(2k+1)(x1+x2)+1 -35.16k+1_65」 65 2 3k+1T 5 3k+1 5 当且仅当=后时等号成立， 3 故CD的最小值为6⑤ 5 专题19双曲线 考向1双曲线的定义与方程 35[由题意可知，F(-c,0),F,(c,0),设A(M),B0), 所以FA=(红-c,),F店=(-c,),因为FA=-号FB,所 -c=3 5 以 2”即 2 y=-3%y=-3 A-(号4，号%）店=(c%.周为F方L可i所以FA. 可-0，号-号-0，解得=4 周为点A(号，一号）在双南线C上，所以-1，又 9a29b 5专题18 椭圆 考向1椭圆的定义与方程 |AB|=5,|BC引=√14，AC=3,则该椭圆的 1.(2023·新课标I卷，5分)设椭圆C:后十2= 离心率为 3.(2022·新高考Ⅱ卷T16)已知直线1与椭圆 1(Q>1),C2:十y2=1的离心率分别为1 22 6+=1在第一象限交于A,B两点，1写 e2,若e2=√3e1,则a= ( x轴，y轴分别交于M,N两点，且MA|=|NB|, T A.23 B.√2 D.√6 MN|=2√3，则l的方程为 3 C.√3 考向3直线与椭圆的综合问题 2.(2023·全国甲卷·理，5分)设O为坐标原点， F,R为椭阅C:号+ =1的两个焦点，点P 1.(2023·新梁标Ⅱ卷.5分)已知椭图C:号+y2 =1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x十m 在CE,eos∠F,PF&=号，则IOP- 与C交于A,B两点，若△F1AB面积是 △F2AB面积的2倍，则m= ) 3 抑 A. 5 B.30 2 c号 D.35 2 A. 号 C. 3 D.-2 感2022·全国甲（文）TD已知椭圆C 22026·全国1卷，17分)厄知椭圆C:之+为 1(a>b>0)的离心率为3A1A,分别为C的左 =1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),离心率 右顶点，B为C的上顶点.若BA1·BA2=一1，则 为易 量 名 C的方程为 (1)求C的方程； 18T16 =1 8 1 (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动 n号+y2=1 直线1与C交于P,Q两点，其中Q在第三象 限，直线PO与C的另一个交点为R. (ⅰ)若△PQR的面积是△PFO的面积的3倍， 套 4,(2022·新高考缸卷T6)已知椭圆C:5十芳 求1的方程； 烂 (a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2, (i)求tan∠PQR的最小值. 离心率为？，过F且垂直于AP的直线与C交 于D,E两点，|DE=6,则△ADE的周长是 褴 考向2椭圆的几何性质 蝶 1.(2023·全国甲卷·文，5分)设F1,F2为椭圆 郑 C号+y-1的两个焦点，点P在C上，若P丽· PF2=0,则PF1·PF2= ( A.1 B.2 C.4 D.5 问 (2026·上海卷5分)吧知A,B,C是椭圆士 2 b2 =1的四个顶点与两个焦点中的三个点，且！ 57 B,2026·全国卷，7分已知椭图E十6.2025·全国态I,7分卫知桶圆C =1(a>1),过E的右焦点且与x轴垂直的直线 1(a>b>0)的离心率为22，下顶点为A,看 被E截得的线段长为√2. (1)求E的离心率； 顶点为B,AB|=√10 (2)设O为坐标原点，给定点G(t,0)(t≠0). (1)求C的方程. A(xo,yo)(yo≠0)为E上的点，过A作y轴的 (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP 垂线，垂足为B.直线OA与直线GB的交点为： 上，且满足|AP·AR=3. P,当A在E上运动时，点P的轨迹为M (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）； (i)求M的方程； (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线 (ⅱ)当t为何值时，M有对称中心？当M有对 OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ 称中心时，将M平移后得到曲线M',使得O为 的最大值 M'的对称中心，说明M'是什么曲线， 名.(2026·北京参.15分)已知椭圆E:号+若=1.(2025·金国卷1,15分)已知椭圆C, a2十2 (a≥b>0)的-个顶点是(2,0)，离心率为分·过 =1a>6≥0)的离心率为号，长轴长为. 点A(1,1)且斜率为k(k≠士1)的直线交椭圆E (1)求C的方程 于B,C两点，B关于直线y=x的对称点为D,: (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B两点， 直线DC交直线y=x于Q O为坐标原点.若△OAB的面积为√2，求 (I)求E的方程； ABI. 8求 (Ⅱ)若1 SAAIR-SAAQ=5 5.(2026·天津卷，15分)已知椭圆C, =18（2025·天津卷，15分)已知椭圆号+ 63 '621 (a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直 (a>6>0)的离心率为7，椭圆被直线x=6截 线x=a上一点，且直线PF的斜率为行，△PFA 得的线段长为√3 (1)求C的标准方程； 的面积为号，离心率为2 (2)斜率为-√3的直线与圆x2十y2=b2相切，： (1)求椭圆的方程； 且该直线交椭圆于P(x1y1),Q(x2y2)(y1< (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点 y2),A是椭圆上顶点.记直线AP,AQ的斜率 A),求证：PF平分∠AFB. 分别为1k2,求 58 9.(2025·上海卷，18分)本题共有3个小题，第112.(2024·天津卷，15分)已知椭圆二十 =1 小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 62 分8分. 已知椭圆r:号+兰-1a>5,M0,m)m≥ (a>b>0)椭圆的离心率。=2左顶点为A, 5 下顶点为B,O为坐标原点，C是线段OB的中 0),A是T的右顶点. (1)若T的一个焦点是(2,0)，求T的离心率e; 点，其中S△x=35 21 (1)求椭圆的方程， (2)若a=4,且T上存在一点P,满足PA= 2MP,求m的值； (2)过点(0，一2)的动直线与椭圆有两个交点 (3)若线段AM的垂直平分线l的斜率为2，l与 P,Q,在y轴上是否存在点T使得TP.TQ≤ 交于C,D两点，∠CMD为钝角，求a的取值： 0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不 范围. 存在，请说明理由。 0.(2024·断深标表，15分)已知4(0,3)和3.(2024·会国甲卷·文，12分)已知椭圆C: P3引为精c等 =1(a>b>0)上 岁=1(a>b>0)的右焦点为F,点M(1,) 两点 在C上，且MF⊥x轴. (1)求C的离心率； (1)求C的方程； (2)若过P的直线1交C于另一点B,且 (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N △ABP的面积为9，求1的方程. 为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点 Q,证明：AQ⊥y轴. 1.(2024·金国甲卷·理，12分)已知椭圆C, 芳=1e>60的有熊点为F,点M灯】 :14.(2024·北京卷，15分)已知椭圆E:2+3= 1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶 在C上，且MF⊥x轴， 点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，) (1)求C的方程； (t>√2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同 (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N 的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与 为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点 椭圆E的另一个交点为D. Q,证明：AQ⊥y轴. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 59 15.(2023·会回乙卷·里，2分已知稻圆C8.(2022·北京客T9)已知椭圆E:二 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为 1ab>0)的离心率是√5 25. A(-2,0)在C上. (1)求椭圆E的方程 (1)求C的方程； (2)过点P(一2,1)作斜率为k的直线与椭圆 (2)过点（一2,3）的直线交C于P,Q两点，直 E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与 线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明： x轴交于点M,N.当MN=2时，求k的值. 线段MN的中点为定点. (2023·天津卷，15分)已知桶圆1 b2 1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦19.(2022·浙江卷 点为F,A1F=3,A2F=1. T21)如图，已知 (1)求椭圆的方程和离心率e; (2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重 椭圆名十y2-1 合)，直线A2P交y轴于点Q,若三角形A1PQ 设A,B是椭圆上 的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线 异于P(0,1)的两 A2P的方程. 点，且点Q(0,2)在线段AB上，直线PA,PB 分别交直线y=-十3于C,D两点。 (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值： (2)求|CD|的最小值. 17.(2022·全国乙（理）T20)已知椭圆E的中心 为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 A0.一2).(2-1)两点 (1)求E的方程； (2)设过点P(1,一2)的直线交E于M,N两 点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交 于点T,点H满足MT=T五.证明：直线HN 过定点。 60