专题17 直线与圆-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题17 考向1直线、圆的方程 1.(2022·北京卷T3)若直线2x+y-1=0是圆 (x-a)2十y2=1的一条对称轴，则a=() A司 C.1 D.-1 2.(2022·全国甲（文）T14)设点M在直线2x+ y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则 ⊙M的方程为 3.(2022·全国乙（理）T14)过四点(0,0)，(4,0)， (一1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 考向2直线与圆、圆与圆 1.(多选)(2026·全国Ⅱ卷，6分)已知⊙O:x2十 y2=1,⊙A:x2十y2一6.x-8y十k=0,则（) A.点A的坐标为（一3，一4） B.当k=9时，⊙A与x轴相切 C.当k=-11时，⊙O与⊙A相切 D.当⊙O与⊙A相交时，两个交点所在直线的 方程为6.x十8y一k-2=0 2.(2025·全国卷I,5分)已知圆x2+(y十2)2= r2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为1的点 有且仅有两个，则的取值范围是 A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+o∞) D.(0,+∞) 直线与圆 3.(2024·全国甲卷·理，5分)已知b是a,c的等 差中项，直线a.x十by十c=0与圆x2十y2+4y 一1=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.2√5 4.(2024·全国甲卷·文，5分)已知直线ax十y十 2-a=0与圆C:x2十y2+4y-1=0交于A,B 两点，则|AB|的最小值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 5.(2024·北京卷，4分)圆x2+y2-2x+6y=0 的圆心到直线x一y+2=0的距离为( ) A.√2 B.2 C.3 D.3√2 6.(2023·新课标I卷，5分)过点(0，-2)与圆 x2+y2一4x一1=0相切的两条直线的夹角为 a,则sina= A.1 B.5 4 C.0 4 D.6 4 7.(2023·全国乙卷·文，5分)已知实数x,y满 足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大 值是 A.1+3② B.4 C.1+3√2 D.72 8.(2026·北京卷，5分)已知直线a.x+y=0与圆13.(2022·新高考Ⅱ卷T15)设点A(-2,3), (x-2)2+(y一2)2=4相切，则a= B(0,a),若直线AB关于直线y=a对称的直 9.(2025·天津卷，5分)l1:x一y+6=0与x轴交 线与圆(x+3)2十(y十2)2=1有公共点，则a 于点A,与y轴交于点B,与圆(x十1)2+(y-3)2 的取值范围是 14.(2022·浙江卷T17)设点P在单位圆的内接正 =r2(>0)交于C,D两点，|AB|=3|CD|,则 八边形A1A2…A的边A1A2上，则PA十 r= 10.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)已知直线x-my十 PA+…+PAg的取值范围是 考向3与圆有关的最值、范围问题 1=0与⊙C:(x-1)2十y2=4交于A,B两点， (多选)(2026·全国I卷，6分)已知圆C1:(x十 写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=1,圆C3: x2+(y-√3)2=1，直线1：y=kx+b与C1,C2, 1.(2022·全国甲（理）T14)若双曲线y- C3均有两个交点.记1被C1,C2,C3截得的弦 3 长分别为51，$2,53，则 1(m>0)的渐近线与圆x2十y2-4y十3=0相 A.k可以取任意实数 切，则m= B.满足1=s2=s3的直线1共有3条 12.(2022·新高考I卷T14)写出与圆x2+y2=1 C.满足S1十s2+s3=3的直线1多于3条 和(x-3)2十(y-4)2=16都相切的一条直线 的方程 D.当6=0时1十2十sg的最大值为2 3 56则z=一6， 所以n2=(√3,0，一6)： n1·ng 12 所以cos(n1,n)= 124√3 n·n:√13×√3913313 三面角C-AE-B的年西角为0，则如0-V广c0-是， 所以二面角C-AE-B的正孩值为品 专题17直线与圆 考向1直线、圆的方程 1.A[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0),所以由 2a+0-1=0解得a=2.] 2.(x-1)十(y十1)2-5[设出，点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均 在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程， 点M在直线2x十y一1=0上， ∴.设点M为(a,1一2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上 ,点M到两点的距离相等且为半径R, ∴./(a-3)2+(1-2a)2=/a2+(-2a)2=R, a2-6a十9十4a-4a+1=5a2,解得a=1, .M1,-1),R=5, ⊙M的方程为(x-1)2十(y十1)2=5. 故答案为：(x-1)2十(y十1)2=5] 3.(x-2)°+（y-3=13或4-2)+(y-1)=5或(-号)中 (子)-或()+-1- 81 「依题意设圆的 方程为x2十y2十Dx十Ey十F=0, ,F=0 若过(0,0)，(4,0)，(-1,1)，则16+4D+F-0 (1+1-D+E+F=0 ,F=0 解得D=一4， (E=-6 所以圆的方程为x2+y2一4.x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)=13: F=0 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则16+4D十F=0 (16+4+4D+2E+F=0 ,F=0 解得D=-4, （E=-2 所以圆的方程为x2十y2-4x-2y=0,即(x一2)2十(y一-1)2=5： ,F=0 若过(0,0)，(4,2)，(-1,1)，则1+1-D+E+F=0, (16+4+4D+2E+F=0 (F=0 8 解得D=一， 14 E=一3 所以围的方程为十少-号一兰=0， _65 即(-)+(-子)=： 1+1-D+E+F=0 若过(-1,1)，(4,0)，(4,2)，则)16+4D+F=0 (16+4+4D+2E+F=0 解得D=5 LE=-2 15=0, 所以圆的方程为F+y-9。一2y一 即(-）广+(g-1= 25 故答案为：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2十(y-1)2=5或 (-）+()=（）+-1= 考向2直线与圆、圆与圆 1,BC[圆的方程十圆心与半径十两圆的位置关系十圆的切线十两 圆的公共弦 错误项分析A(×)⊙A的方程可化为(x-3)”十(y一4)2=25 k,所以A(3,4),A错误： B(/)当k=9时，⊙A的半径r=4,圆心到x轴的距离为4，所以 ⊙A与x轴相切，B正确； C(/)当k=一11时，⊙A的半径r=6,连接OA,则OA|=5,因为 r一1=5，所以⊙0与⊙A内切，C正确； 错误项分析D(X)若两圆相交，则两个交点所在直线的方程为 6.x十8y-k-1=0,D错误.故远BC. 2.B[直线与圆的位置关系十点线距 易得圆心(0，一2)到直线y=W3x十2的距离d=2.当r=d-1=1 时，圆x2+（y十2)2=r2(r>0)上到直线y=√5x+2的距离为1的 点有且仅有一个，当r=d十1=3时，圆x2十(y十2)2=r2(r>0)上 到直线y=√5.x十2的距离为1的，点有且仅有三个，故当1<r<3 时，圆x2十(y十2)2=r2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为1的 ,点有且仅有两个，故远B.] 3.C[直线与圆的位置关系十等差中项（理性思雏、数学应用、数学 探索)根据题意有2b=a十c,即a一2b十c=0,所以直线ax十by c-0过点M(1,一2).设圆x十y十4y一1=0的圆心为C,连接 CM,则AB⊥CM时，AB最小，将圆的方程化为x2+(y+2)2= 5,则C(0,一2)，所以MC=1,所以|AB|的最小值为 2√5-MC=4,故选C.] 4.C[圆的方程十直线与圆的位置关系十弦长公式设直线为I: a.x十y十2-a=0,即l:a(x-1)十y十2=0，易知l过定点P(1, 一2)，圆C的标准方程为x2十(y十2)2=5，所以圆心为C(0,一2)， 半径为5，且P在圆C内.因为当PC⊥AB时，圆心C到直线1的 距离最大，此时AB取得最小值，易得PC=xp一xc|=1,所以 AB=2√(W5)2-12=4,故选C.] 5.D[圆的标准方程十点到直线的距离公式（理性思维）化圆的方 程为标准方程，得(x一1)2十(y十3)2=10，所以该圆的圆心(1， -3)到直线x一y十2=0的距离为 1-(-3)+26 =3√2.故 √12+(-1)2√2 选D.] 6.B[如图，x2+y24x-1=0得(x一2)2十 y2=5,所以圆心坐标为(2,0)，半径r=√5，所 以圆心到点(0，一2)的距离为 √(2-0)2十(0十2)2=2√2，由于圆心与，点 (0,一2)的连线平分角a,所以sin2一2反 2n号am受=2x×-乐故选 4 4 4 7.C[将方程x2十y2一4x一2y-4=0化为(x-2)2十(y-1)2=9, 其表示圆心为(2,1)，半径为3的圆.设2=x一y,数形结合知，只有 当直线x一y一之=0与圆相切时，之才能取到最大值，此时 2-1一之=3，解得=1士3√2，故=x-y的最大值为1+3， 故远C.] 8.0[直线与圆相切十点到直线的距离公式 解法一（几何法）由题知圆心为(2,2)，半径为2，又直线与圆相 切，则圆心(2,2)到直线ax十y=0的距离等于半径，即2a+2 √/a2+1 2,解得a=0. 解法二（判别式法）由a.x十y=0,得y=一ax,代入圆(x一2)2十 (y-2)2=4,化简，整理，得(a2十1)x2十(4a-4)x十4=0.因为直 线与圆相切，所以△=(4a-4)2-16(a2十1)=0，解得a=0.] 9.2[直线与圆的位置关系对于直线11：x-y十6=0，令x=0,得 y=6,令y=0,得x=一6，所以A(一6,0)，B(0,6),所以AB= 62.因为AB=3CD,所以CD=2√瓦.圆(x+1)2+(y-3) =广的圆心为(-1,3)，圆心到直线1的距离d=一1一3十6 √2 ,所以r+(四)=2=2] 10.2[设直线x-my十1=0为直线1，由条件知⊙C的圆心C(1, 0),半径R=2,C到直线1的距离d= 2 =,|AB= √1+ =4m·由S=，得 √1+m 2 8 m=士2成m=士号，故答案可以为2.] 1.号[双商线y- =1(m>0)的渐近线为y=土二，即x士my =0, 不妨取x十my=0,圆x2+y2-4y+3=0,即x2+(y-2)2=1,所： 以圆心为(0,2)，半径r=1, 依题意圆心(0,2)到渐近线x十my=0的距离d=2m=1, √/1+n2 好得我=一怎（合》 故答策为：写] 12=-1,或y一7一费或y=一十子（答对其中之一即可) [由图可知，两圆外切，且均与直线4：x=一1相切.另过两圆圆心 的直线1的方程为y=音，可得1与文点为P(-1,一音） 由切线定理得，两圈另一公切线么过点P,设：y十专=(x十 4 1),由点到直线距离公式可得 k一3 =1,解得k= k2+1 即： y一2一，另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线1 25 与1垂直，解得4y=一3 5 3-203,45678 1品[片】[日为如=号所以AB关于直我y=的对袋直 线为(3-d)x-2十2a=0,所以13a一3》+4牛2a≤1，整理可得 /4+(3-a)9 12-2a6<0,解日<a≤号.] 3 14.[12+2√2,16][以圆心为原点，A,A3所 在直线为x轴，AA1所在直线为y轴建立 平面直角坐标系，如图所示： 则A0,1.A(号，号）A1,0 A(号-号)A0,-1,A(-. 号)A(-1.0A(-号，号)设 PW,于是Pi+pi++Pi=82+y)+8, 因为022.5≤0P≤1，所以1+945≤2+Y≤1，故P+ 2 P+…+PA的取值范图是[12+2√2,16].故答案为：[12+ 2√2,16].] 考向3与圆有关的最值、范围问题 BCD[圆与圆相切十直线与圆相交十点到直线的距离公式 设圆C,C2,Cg的圆心C,C2,C3到直线y=kx十b的距离分别是！ d1,d2,d山，易知圆C1,C,C3两两相切. 3 错误项分析A《X)考虑人一侣平移这条直线，发现台界点图 所示，此时直线l和圆C2,C相切，与圆C。,C3均仅有1个交点，向 上平移，直线1与圆C?无交点，向下平移，直线1与圆C?无交点， 不符合题意，故k无法取遍所有实数. ↑y 图1 B(√)该条件等价于d1=d2=d,两点到一条直线距离相等，要么 是直线平行于两点连线，要么是直线过两点的中点，连接CC, CC,由d1=d得，直线平行于CC或者过CC中点，再由d2 =d得，直线平行于C,C或者过C2C中点，综合来看，有且仅有 如图2所示的三种可能， 41 图2 )当=0时，由点到直线距会天，得山=d=产气以 5,则==万 √R+1 后-得>a+ 2 十-4士2◆V==,则十十5-生2 √k2+1 w√+1 4+2t V+3 =2,√令十1=，到十十 =2 /1+16 2+3 别=7，即1=是，即k=要 49-2 2 力+ 时取最大值2√ 3 C√)根据D选项的分析，b=0,k=严时知图3直线m所示， 2 十2十5>3，当6=0，k=√2时，为临界情况，此时直线1（即直线） 与圆C相切，此时十s十=4，比3小，那么在直线n绕原点 3 O逆时针旅转到直线m这一过程中，必然存在满足5十2十s3=3 的1条直线，同理，与该直线关于y轴对称的直线也满足51十52十 =3.类似地，另外2个圆的相同位置也各有2条直线满足1十2 十sg=3.故满足s1十s十s=3的直线至少有6条.故选BCD.] 3 C2 图3 8