专题12 等差数列与等比数列-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题12 等差数列与等比数列 考向1等差数列、等比数列的基本运算 :8.(2022·全国乙（理）T8)已知等比数列{am}的 1.(2026·全国I卷，5分)一百零八塔位于宁夏 前3项和为168，a2一a5=42,则a6=( 回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和： A.14 B.12 C.6 D.3 深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座9.(2022·新高考Ⅱ卷T3)图1是中国古代建筑 塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔 中的举架结构，AA',BB',CC,DD'是桁，相邻 的座数记为a;（i=1,2,…,12),其中a1=1, 桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是 T a2=a3=3,a4=a5=5,且a6,a7,…,a12是一个 某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1, 首项为7，公差为2的等差数列.将a1,a2,…, CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是 a12分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之 和可构成一个项数为6且公差为d(d>0)的等 相等的步，相邻桁的举步之比分别为OD 堂 差数列，则d= CCI AA A.2 B.4 C.6 D.8 0.5DC BBL=k2+BA1 k1CB1 =k3·已知k1, 论 2.（多选)(2026·全国Ⅱ卷，6分)设等比数列 k2,k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的 抑 {am}的公比q≠1，a1>0,2a3=a1十a2,记其前n 斜率为0.725，则k3 项和为Sn,则 1 A.g= 2 B.S> 2a1 3 称 C.2Sm+2=Sm+1+S,元 D.S2 3 3.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)记S,为等比数列 {am}的前n项和，若S4=一5，S6=21S2,则 带 S8- ) 图 A.120 B.85 C.-85 D.-120 4.(2023·全国甲卷·理，5分)设等比数列{an》 的各项均为正数，前n项和为Sm,若a1=1, ) 烫 S5=5S3-4,则S4 C.15 D.40 D 烂 A号 B管 图2 5.(2023·全国甲卷·文，5分)记Sm为等差数列 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 {an}的前n项和.若a2十a6=10,a4a8=45,则 10.(2026·全国Ⅱ卷，5分)记Sm为等差数列 S5= ( ) 逊 {an}的前n项和.若a1=一1，a4=5,则S6= A.25 B.22 C.20 D.15 。 6.(2023·全国乙卷·理，5分)已知等差数列 11.(2026·上海卷，4分)已知数列{am}为等比数 a,的公差为行，集合S=c0sa:n∈N子，若 列，且a1=2,a2=6,则a4 郑 S={a,b},则ab= ( 12.(2026·上海卷，5分)已知等差数列{am}的公 差为d,前n项和为Sma1=0,{Sn}在区间(0， A.-1 B.-1 C.0 n 1)上至少有两项，则公差d的取值范围是 出 7.(2023·天津卷，5分)已知{am}为等比数列， Sn为数列{an}的前n项和，an+1=2Sn十2，则13.(2024·北京卷，5分)汉代刘歆设计的“铜嘉 a4的值为 ( 量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器， A.3 B.18 C.54 D.152 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为 33 圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的5.(2026·北京卷，5分)已知等差数列{am}的前n 等比数列，底面直径依次为65mm,325mm, 项和为Sn,且S6=6a6十30，则公差d= 325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器 ;若Sn≤S恒成立，则符合条件的a1的一 的高为 mm,升量器的高为 个取值为 mm.(不计量器的厚度) 6.(2022·北京卷T15)已知数列{am}的各项均为 14.(2024·上海卷，5分)等比数列{am}的首项 正数，其前n项的和Sm满足an·Sn=9(n=1, a1>0,公比q>1,记Im={x-y|x,y∈[a1, 2…).给出下列四个结论： a2]U[an,a+1]},若对任意正整数n,In是闭 ①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列； 区间，则q的取值范围是 15.(2023·全国乙卷·理，5分)已知{am}为等比数 ③1a,为递减数列：④1a,中存在小于00的项。 列，a2a4a5=a3a6,aga10=-8,则a7= 其中所有正确结论的序号为 16.(2023·全国甲卷·文，5分)记Sm为等比数7.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)记Sn为等差数列 列{am}的前n项和.若8Ss=7S3,则{am}的公 {am}的前n项和.若a3十a4=7,3a2十a5=5,则 比为 S10= 考向2等差数列、等比数列的性质 考向3 等差数列、等比数列的证明、数列新定义 1.(2024·全国甲卷·理，5分)记Sn为等差数列1.(2026 北京卷，15分)设A= {an}的前n项和，己知S5=S10,a5=1,则a1= a11 ain : 是一个m行n列的数阵，且数 A.号 B居 c.-号 7 D.- amn 11 阵中的每一项a)都等于1或一1. 2.(2024·全国甲卷·文，5分)已知等差数列 若对任意1≤i,p≤m,1≤j,q≤n,其中i≠p, {am}的前n项和为Sn,若Sg=1,则a3十a7= j≠q,且|li--i-q=2,都有a十ag十 a,十ag=0,则称数阵A具有性质P. R号 n号 (I)判断下列两个数阵是否具有性质P: A.-2 C.1 11-11) 3.(2022·全国乙（理）T4)嫦娥二号卫星在完成 A1= -11-111 探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一 11 1 颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号 A2= 1-1 绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列： -11-1 a1+1,6:=1+ {bn:b1=1+1,b2=1+1 (Ⅱ)在所有具有性质P的5行4列的数阵中，1 的个数最多是多少？ Q2 1 (Ⅲ)若m=n=6,a11=1,且数阵A具有性质 1+1 -,…,依此类推，其中a∈N*(k=1, P,证明：对任意i,j∈{1,2,3,4,5,6}，都有 aii -ailalj. a3 2,…).则 A.b1<b5 B.b3<b8 C.66<62 D.64<67 4.(2022·浙江卷T10)已知数列{am}满足a1=1, an+1=an- 3a号(n∈N*),则 ) A.2≤100a100∠2 B.<100a100<3 C.3<100a10<2 1 D.2<100a1o0<4 34 2.(2022·全国甲（文T18)(理T17)记Sn为数3.(2024·全国甲卷·文，12分）已知等比数列 列{a,}的前n项和.已知2S十n=2a.十1. {an}的前n项和为Sn,且2Sn=3a+1-3. (1)求{am}的通项公式； (1)证明：{am}是等差数列； (2)求数列{Sn}的前n项和. (2)若a4,a7,ag成等比数列，求Sm的最小值. :4.(2023·新课标I卷，12分)设等差数列{am}的 公差为d,且d>1.令，=+”，记5，Tn分 a 别为数列{an},{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3,S3十T3=21,求{am}的通 考向4等差数列、等比数列的综合问题 项公式； 1.(2026·全国I卷，5分)设实数q满足：存在数 (2)若{bn}为等差数列，且Sg9-T99=99,求d. 列{an},使得对于任意n∈N*,均有a1十a2十…十 a3m=n2十，且{an}中有某连续9项ah,a+1…, ak+8是公比为g的等比数列.则g的最大值为 2.(2024·北京卷，5分)设{am}与{bn}是两个不同 的无穷数列，且都不是常数列.记集合M= {ka=bk,k∈N*),给出下列四个结论： ①若{an}与{bn均为等差数列，则M中最多有 1个元素； ②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中最多有 2个元素； ③若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{an)为递增数列，{bn}为递减数列，则M! 中最多有1个元素， 其中正确结论的序号是 35 5.(2022·新高考Ⅱ卷T17)已知{am}为等差数7.(2022·浙江卷T20)已知等差数列{a,}的首项 列，{b,n}是公比为2的等比数列，且a2一b2= a1=一1，公差d>1.记{am}的前n项和为 a3-b3=b4-a4. Sm(n∈N*). (1)证明：a1=b1; (1)若S4-2a2a3+6=0,求Sm; (2)求集合{k|be=am十a1,1≤m≤500}中元素 (2)若对于每个n∈N,存在实数cn,使an+ 个数 cm,am+1+4cn,am+2+15cm成等比数列，求d的 取值范围. 6.(2022·北京卷T21)已知Q:a1,a2…,ak为有 穷整数数列，给定正整数m,若对任意的n∈{1， 2,…,m},在Q中存在ai,a+1,a+2,…,ai+ (j≥0)，使得a;十a计1十a+2十…十a+j=n,则 称Q为m一连续可表数列. (1)判断Q:2,1,4是否为5一连续可表数列？ 是否为6一连续可表数列？说明理由； (2)若Q:a1,a2,…,ak为8-连续可表数列，求 证：k的最小值为4； (3)若Q:a1a2,…,ak为20一连续可表数列， a1十a2+…+ak<20,求证：k≥7. 36（-1,0,BC=(0,1,因为=入Bi+B就，所以(3） A(-1,0)+4(0,1),所以入=34=1，所以入十4=3.由B(1, 0,E(号，1)可得直线BE的方程为y=-3(x-1,设F@,3 3a)(号<a≤1)则G(受，32）所以亦=(a,3-3a 成-（号）所以亦.成-a…号+(8-a.4 -前十号-(e-号）广-品所以喜=号时，亦， 得最小值，为一] 19.15[两向量平行因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15.] 20,子a十合0号[因为E为CD的中点，所以正=号市+ 号A花，周为D为AB的中点，所以市=号花，所以花=上 2花.又A店=a,A心-b,所以A正=a叶之b 因为萨=号武，所以亦-店=子（心-A),即A亦=号店 号衣号a+g0所以应亦-（宁a叶0）·（号a+号） 言d十高ab十言，在三角形ABC中，∠A=吾，武=1， 设三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a= 1,a=c,b=b所以a·b=hos吾-受，由余弦定理得a2- +2-2bcos答，即1=+2-c,所以+2=bc+1,所以 言(c+1)+员c=是c+合 在三角形AC中，由正定现济品后后心冬，所以 in 3 6-2snBc-25mca=÷mnC-专如n答+- 号(mB+1受)-号引(-)+】 号m(2B音）十日，国为0<B<号，所以-吾<2B吾 吾，当2B-音-受，即B=音时，c取得最大值，且最大值为1， 所以正.市的最大值为是十合是] 21.5[由a-b=3,得a2-2a·b+b=3,即2a·b=a2+b- 3①.由a+b=2a-b,得a+2a·b+b°=4a2-4a·b+b, 整理得，3a一6a·b-0,结合①，得3a-3(a十-3)=0，整理 得，b=3,所以b|=√3.] 22.11[设a与b的夹角为0，因为a与b的夹角的余弦值为3，即 cos 0=-3 又a=1,b=3,所以ab=la·1bos0=1X3X号=l, 所以(2a+b)·b=2a·b+b=2a·b+|b12=2×1+3=11. 故答案为：11，] 考向2平面向量的应用 1.A[新情境题十向量加法十向量糢真风风 y↑ 速对应的向量一视风风速对应的向量一船行 3视风风速子 风风速对应的向量=视风风速对应的向量十 2B 船速对应的向量一AB,如图，AB=2√2∈ (1.6,3.3),故选A.] 风心 2.A[连接OA,由题可知OA=1,OA⊥PA, 船速 0123 因为OP=√2，所以由勾股定理可得PA= 1,则∠POA=于.设直线OP绕点P按逆时针旋转0后与直线PD 重合，则-开<0K于，∠APD=年十0，且PD=Zoos0.所以 pi.Pi=APcos(符+0）-eoso(于+） cas9(号os0-号in0）-oe0-snos0=÷+7ms20 之m20-+竖(20+)+号，故选A] 3.(1,W5)[平面向量的运算若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0, f(a·b)=1 则a,b,c两两垂直，在平面内显然不成立；不妨设f(b·c)=0, (f(c·a)=-1 a=(cos a,sin a) 即不妨设b=(0,1) 则了sina>0 {cosa<0,可得ae（受+2m, c=(1,0) π+2k元，k∈Z,则a+b+c|=√(1十cosa)2+(1十sina)F- √22sin(+）十3，由a∈（受+2k,+2kx）k∈Z,得a+ 年∈(+2x,+2x)k∈z,故sim(e+于）∈ (-号，号)故√2sn(a+于)+3e1w同.即a++c的 取值范周为(1，√5).] 专题12等差数列与等比数列 考向1等差数列、等比数列的基本运算 1.B[等差数列性质十等差数列前n项和 (排除法)由题意可知，a1=1,a2=ag=3,a:=a=5,a6=7,a,= 9,ag=11,ag=13,a1o=15,a11=17,a12=19.将a1,a2,…,a12分为 6组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为6且公 差为d(d>0)的等差数列，设首项为b1,因为共有108座塔，所以 66+654=108,即26+5d=36. 错误项分析A(X)若d=2,则b=13,从a1,a2,…,a12找不到两 项之和为13； 错误项分析C(×)若d=6,则b=3,从a1,a2,…,a12找不到两项 之和为3； 错误项分析D(×)若d-8,则b-一2，不可能： B(/)若d=4,则b1=8,组合方式可以为a1十a6,a2十a?,a3十ag, a:十a1oa十a12ag十a11,符合题意.故选B.] 2.ACD[等比数列的通项公式、前n项和公式 A(/)由a3-a1qg,a2=a1q,可得2a1g=a1十a1g,由于a1>0,所 以24-q-1=0,得g-立(g=1舍去)，A正确： 错误项分析®×及巴-号一()门为 偶数时，0<1一 （)<1,又4>0，所以号 3 [1()门台，B深 C(/)因为Sn+2=S,十au+1十an+2,S+1-Sn十a,+1,所以2S+2- Sn+1-S。=au+1十2a+2=a+1(1+2g),由A可知，q=一2，故 am+1(1十2g)=0,故2S+2=Sn+1十Sn,C正确； 议√0记工=2s,由于S-号-()]对工-2 k=1 （-）>0,故T>2,D正确，故连ACD] 3.C[设等比数列{an}的公比为q(g≠0)，由题意易知g≠1，则 a(1-42=-5 1-9 9=4 ,化简整理得 a02）=21×0二 了a1=1所以S= 1- (1-g3 1一9 a(1-4)-1×1-4)=-85.故选C] 1-9 31 5 4.C[若该数列的公比g=1,代入S-5S3一4中，有5=5×3一4， 不成之，所以1尚号=5x号。化药得g一对十 0,所以=1（舍）或G=4,由于此数列各项均为正数，所以g=2, 所以8-号-1近选C] 5.C[由a2十a6=10,可得2a=10,所以a:=5,又aag=45,所以 a=9.设等差数列(a,}的公羞为山，则d=二-95-1，又 8-4 4 a4=5,所以a1=2,所以S=5a1+54×d=20,故选C.] 2 6.B[由题意得a=a十5(n-1),cosa+:= os(a+经a+2）cos(a,+子a+5)-cos(a+号n十 2一）=oa,十吾一）-cosa所以载列osa,是以3 为周期的周期载列，又cosa=60s(e十否）一子c0s4 na,case,=m(a十5）-子cosa+9na,间为来 2 合S中只有两个元素，所以有三种情况：cosa1=cosa2≠cosa3, c0sa1=cosa3≠cosa2,cosa:=cos as≠cosa1.下面逐一讨论： ①当cosa1=cosa2≠cosas时，有cosa1=-2c0s41-分sina1 1 ama=一B,所以b=cosa广cos 4,+号in cosa1+」 .1 2 sin ai cos a= 子osa+9in4ow4 sin'a+cos a -+9m 13 tan a1 3+1 1 @当cosa=c0s4≠c0sa,时有cosa1=-7c0sa1+5nD 得tane=√5，所以ab=osa一2cos4一2n4二 2 sin a cos a sin'acos a 15 13 tan'a+1 3+1 2· ②当碳大a时，有一方用一怎nA- 2 「2osa1+ 1 L9m@,得na=0,所以h=sa,os ar sin a 1 -cosa2 (1-sin'a ) 第上a6=子，故选B] 7.C[因为aa+1=2S,十2，所以当n≥2时，a=2S-1十2，两式相减 得a+1一a=2a,得au+1=3a,所以数列a是公比g=。=3 的等比数列.当n=1时，a=2S1十2=2a1十2，又a2=3a1,所以 3a1=2a1十2，解得a1=2,所以a:=a1q3=2X33=54,故选C.] 8.D[设等比数列{am}的公比为g,g≠0， 若g=1,则a2一a-0,与题意矛盾， 所以q≠1， 则a十a2+a3=a1二42=168，解得 1a1=96 1-9 1, (a2-a=a19-a19=42 19=2 所以a=a1g=3. 故远D.] 9.D[本题以数学文化中的中国古代建筑中的举架结构问题为背 景，考查有关等差数列的求值问题，体现了数学运算的核心素养 OD=DC=CB =BA=1,DD=0.5,CC=kBB=k2, AA1=k3.由题意，得k3=k1十0.2，k=k,十0.1，且 DD+CC+BBAA=0.725,即36，十0.2=0.725，解得k OD1+DC+CB,十BA1 4 0.9.故选D.] 10.24「等差数列的通项公式、前n项和公式 设{an}的公差为d,由a:=a1十3d,得5=-1十3d,所以d=2,则 a,=a,+5d=9,故S,=6X(a,+a）=24.] 2 11.54[等比数列等比数列a.}的公比g=公=号=3，所以a= a29=54.] 12.(0,3）[等差数列的通项公式由题意知，d>0,{S,}至少有 两项在(0,1)内，所以S2∈(0,1)，S,∈(0,1)，即a2∈(0,1)且a2 +a,eo,.810释0<水分】 13.2357.5[圆柱的体积公式十等比数列（理性思雏、数学探索、 数学应用)设升、斗量器的高分别为h1mm,h2mm,升、斗，斛量 器的容积分别为V1mm3,V2mm3,Vmm3,因为升、斗、斛量器的 容积成公比为10的等比数列，所以V=10W2,即元× 325 =10×π× 2 ×,解得=28.又=1ov,中×（受）】 ×23=10X×(受)×，所以=57.5，所以升，+量器的高分 别为57.5mm,23mm.] 14.[2,十∞)[等比数列十集合的并运算十不等式恒成立（理性思 维)显然等比数列{an}递增，不妨设x≥y,若x,y∈[a1,a2],则 x-y∈[0，a2-a1],若x,y∈[aa+i],则x-y∈[0，a+1-am], 若x∈[anam+1],y∈[a1,a2],则x-y∈[an-a2aa+1-a1], do a2-a1 dn-d2 dn+l-dn 对任意正整数，In都是闭区间，au一a2≤an+1一a,如图，又 a1>0, ∴d-2d-1十q≥0，即q2(g-2)+1≥0，对任意正整数n,上式 都成立，则必有q2.] 15,-2[设数列{an}的公比为q,则由a2aa:=aga5,得a1q·a1g· a1g=a1d·a1q.又a1≠0，且g≠0，所以可得a1q-1①.又aa1o= a1d·a1q=aig”=-8②，所以由①②可得di=-8,q=-2,所 以a,=a19=a19·q=-2.] 16.一2[由8S=7S,可知数列{a}的公比q≠1，所以8× a11-2）=7×二42，即81-4)=7(1-g),即8(1+)= 1-q 1-9 7,所以g=一立·门 考向2等差数列、等比数列的性质 1.B「等差数列的前n项和公式与性质（理解思维、数学应用、数学 探索)由S,=So,得〔aa_10a,+an,所以5a,=5(a,十 2 2 a,所以，=0，公差d=g号=-号，所以a1=a-4d=1- 4X(宁）=子，故选B] 2,D[等差数列的通项公式、前n项和公式十等差中项解法一 设等差数列a,的公差为d,由S=9a十9d=9(a十4d》=1 1 得a1+4d=g,则a十a,=a+2d+a十6d=2a1+8d=2(a十 4d)=号，故选D 解法二国为a,}为等差数列，所以S,=9(a十a=9a,=1,得 2 a,=号，则a十a,=2a,=号，故选D] 3.D[方法一因为a4∈N"(k=1,2,…),所以0<1≤1，所以 1 a1a1十 一，所以b1>b,所以A错误.同理a3< a2十 1 a十 16 1 a3十 -,设 =6,所以ae十 a十 a十 a as as- a3 >a十m+6,9a十1 1<a+ 1,所以6>bg,所 ag十 以B错误.同理a<a十 1 十1.设 ag十 1 a十a ,所以a士。≥a士。所以b<6,所以C错误，同理a3 1 一=t3,所以ag十 1 1 a4十 a a十tg 1 1 a十g a4十a 则a十1 <a,+ 1 1一，所以a十 1 ->a1+ a3十a ag十a,+tg ag十 1 a3 1 一，所以b<b,所以D正确.故选D. 1 as十t3 方法二此题可赋特殊值验证一般规律，不必以一般形式做太多 证明，以节省时间 由a∈N,可令a=-1,则=26=号4=号6=号分子、 分号分别构成夹泼纳寺数列，可得么=号6=器6=引4 职对比四个选项，可知选D] 4B[“a=1,易得a:=号∈0.1).依次美粮可得a,∈0，D 3 1 1 an+1 a (3-an)an 3-a 1-1=1 1 ax+i an 3-d3. 11 17 1 as 3…, an-1 号≥2 累加可得-1>-D,士>号+2.m≥2 过女<(+）女<(+）小后 号(+）女<号(+） 累加可得女-1K号m-叶号（合+日+叶）≥， -1K8+吉（合+合++动）<38+号（合×4- 言×94）<39. 即<40∴aw>0即10uw>号： 综上：号<100a1m<3.故选B] 5.一210（答案不唯一）[等差数列的性质、前n项和公式、通项 公式 解法-由S6=6a6十30，得6a1+15d=6a6+30,即15d=6(a6 a1)+30=30d+30,得d=-2. 由dl=一2知{am}为单调递减数列，由Sn≤S知当n-5时，S,取 得最大值，即a≥0，as0(a,a6不同时为0).当as=0时，由a= a1+5d=a1-10=0知a1=10. 解法二由S=6a6十30，得6a1 +6X5d=6(a+5d)+30,即15d 2 =一30，所以d=一2. ya1>0 /a1>0 因为S≤S恒成立，所以a≥0，即a1十4d=a1-8≥0，解得8 (a6≤0(a1+5d=a1-10≤0 a110,所以a1的一个取值为10.] 6.①③④[n=1,可得a=9,又各项均为正，可得a1=3,令n=2可 得a,(3+a,)=9,可解得a,-35-D<3,故①正确，当m≥2时， 2 由S=9得5-1a 。9于是可得am二&二，即”一 a-1 4a-1 9,若a,}为等比数列，则n≥2时a+1=a,即从第二项起为常 9 数，可检验n=3则不成立，故②错误；a·S,=9(n=1,2…).可得 a,·S=415于是-写<，所以a1<a于是③ a。S+1 正确：对于④，若所有项均大于等于100，取n>90000,则，≥100' Sn>0,于是anS>9与已知矛盾，所以④正确.] 7.95[等差数列的通项公式与前n项和 解法一（基本量法）设{an}的公差为d,由a3十a:=a1十2d十a1十 3d=2a1+5d=7,3a+a=3(a1+d)十a1+4d=4a1+7d-5,解 得a1=-4,d=3,则S1o=10a1十45d=95. 解法二（利用下标和性质）设{an}的公差为d,由a3十a:=a2十 a4=7,3a十a5=5,得ag=-1,4,=8,故d=-g=3,a6=11, 5-2 则S。=87aX10=5(a,十a)=5X19=95.] 2 考向3等差数列、等比数列的证明、数列新定义 1.数阵 解由a十au十a十au=0,可知i,p为行号，j,g为列号， 则i-p-j一g=2表示行号差i-p与列号差j一q的差值 的绝对值为2， a十4w十a十am=0表示在一个行号差与列号差的差值的绝对 值为2的矩形中，4个角上的数字和为0，我们称这样的矩形为P 矩形. 即P矩形为kX(k十2)或(k十2)×k的矩形，且4个角上的数字和 为0，其中k=2,3,4,… (2分) (I)第1步：分析数阵A 对于数阵A1,可能的P矩形为2X4的矩形，数阵A1中只有1个2 ×4的矩形，4个角上的数字和为2，所以A1不具有性质P.(3分) 第2步：分析数阵A2 对于数阵A2,可能的P矩形也为2X4的矩形，数阵A:中有2个2 X4的矩形，这2个矩形的4个角上的数字和都为0，所以A2具有 性质P. (4分) (Ⅱ)第1步：通过分析4×2的矩形，求出可能的1的最多个数 图1 在5行4列的数阵中，有2×4,4×2,5×3共3种P矩形， 在所有4×2的矩形中，先考虑如图1分别标有a,b,c,d所形成的4 个4×2的矩形， 标号相同的4项的数字和为0，则其中必有2个1和2个一1，且对 角数字相等， 则共有2×4=8个1， (6分) 再加上没有标号的4个位置都先填1，则最多可能有12个1. (7分) 7 第2步：构造数阵进行验证 构造如下数阵 1 -1 -1 1) -1 1 1 1 B 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 经检验，满足题意，故1的个数最多是12个」 (8分) (Ⅲ)第1步：分析P矩形中4个数字的乘积关系 在6行6列且具有性质P的数阵A中，有2×4,4×2,3×5,5×3,4 ×6,6×4共6种P矩形， 因为P矩形4个角上的数字和为0，所以其中必有2个1和2个 1,即aja4pjam=1, 又对任意的a∈{-l,l},都有aa=l,所以由ajananam·au =a可得a4an=a时， 即P矩形4个角上的4个数字，其中任意3个数字的乘积都等于第 4个数字. (10分) 第2步：证明行号或列号为1的项满足题意 令集合S={aa=a1al≤i,j≤6，i∈ZjZ}, 因为a11=1,所以令i=1或j=1,有a1,=a11a1;或a1=a1a1成 立，所以a11a12a13a1:a1ia16以及a1,a31au1,a1,a61都在集合 S中，如图2中标为深色的项」 (11分) 图2 第3步：分析P矩形4个角上的数字与集合S的关系 对于P矩形4个角上的数字，当有3个数字aa,aw都在集合S 中时， 第4个数字a=aigA piam=a1a1A1a1jap1a1n=a1a,即第4个数 字也在集合S中， （13分) 第4步：利用P矩形证明数阵中的所有项都满足题意 考虑2X4的P矩形，由a1,a14,a21在集合S中，得a2在集合S 中，同理ag1,a:4,a4,a6在集合S中；考虑4×2的P矩形，则a2, a48,a44,a,a6在集合S中.如图3中新标为深色的项。 考虑3X5和5X3的P矩形，则a35,aasi,a8,a2,a6在集合S 中，进而a在集合S中，如图4中新标为深色的项. 再次考虑2X4和4X2的P矩形，则a22,a23a2在集合S中，进而 a26a2在集合S中，如图5中新标为深色的项. 再次考虑3X5和5X3的P矩形，则a6,a3,a6在集合S中，如图 6中新标为深色的项， 图3 图4 图5 图6 最后考虑2×4的P矩形，则a3在集合S中，至此，所有项都在集 合S中 所以，对任意i,j∈{1,2,3,4,5,6}，都有a=a1a1 (15分) 2.（1)证明因为2S+n=2a,+1,即2S十t=2m.+1①， 当n≥2时，2S,-1十(n-1)=2(n-1)am-1十(n-1)②， ①-②得，2S,十2-2Sn-1-(n-1)2=2na,十n-2(n-1)a-1 (n-1), 即2an+2n-1=2na,-2(n-1)au-1+1, 即2(n-1)a,-2(n-1)an-1=2(n-1),所以a,-a-1=1,n≥2且 n∈N”, 所以{am}是以1为公差的等差数列. (2)解由(1)可得a1-a1十3，a,-a1十6，ag=a1十8， 又a4,a,a成等比数列，所以a写=a:·ag, 即(a1十6)2=(a1十3)·(a1十8)，解得a1=-12, 所以a.=n-13,所以S=-12n+"2=之店-罗， 2 所以，当n=12或n=13时(Sn)mim=一78. 考向4等差数列、等比数列的综合问题 1.√受[等比数列 3 由a1十a2十…十an=n2十n①，得a1十a2十…+am-3=(n-1)2 +(n-1)=n2-n(n≥2)②，①-②，得a3m-e十a3m-1十am=2(n ≥2).又a1十a2十a3=2满足上式，所以a3m-:十a3m-1十a3m=2n(n ∈N). 若k=3n-2(n∈N),则ag(1+q+q)=2m,agg3(1十q十q)= 2(m十1)，a9(1+q十)=2(m+2),所以=m-,得 （m十1)2=n(m十2)，无解； 若k=3m-1(m∈N”),则a3m+1,a3m+2,a3m+3a3m+4,agm+i,23m+6 成等比数列，a3m+1(1十q十q)=2(m十1)，am+1q(1十g十q)= 2m+2》.所以分-0子胃-1中。 3 m十≤立： 若k=3n(n∈N),则a3m+1,a3m+2,a3m+3a3m+4,a3m+i,a3m+台成 等比数列，am+1(1十q十q)=2(m十1)，am+1q(1十q十q)=2(m +2),所以g=m士号=1+1 3 n+1 m+1*2. 给上<是，所以不即9的最大值为厚] 2.①③④「等差数列十等比数列+集合（理性思维十数学探索） 对于①：由题知a,b是关于n的一次式，对应的函数为一次函数， 即点(n,an),(n,bn)分别在两条斜率均不为0的直线上，而这两条 直线最多有1个交点，所以M中最多有1个元素，所以①正确. 对于②：不妨取an=2”,bn=（一2)”，则有a2k=22=4,b2k= (-2)=4(k∈N"),所以a2k=b2s(k∈N”),此时M中有无数个 元素，所以②不正确. 对于③：由①知，点(n,a)在一条斜率不为0 的直线l。上.设b,=bg-1(g≠1)，当公比 q>0时，直线1。与数列{b}对应的函数的 图象至多有2个公共点，M中最多有2个 元素；当q<一1时，点(n,b)在如图所示 的曲线C1,Cg上，由图易知直线与曲线 C,C至多有3个公共点，如当a,=3n 4,bn=-1X(-2)”-1时，a1=b1=-1, a2=b2=2,a:=b,=8,两个数列有3项相 同，所以M中最多有3个元素； 当g=一1时，易知M中最多有2个元素：当一1q<0时，易知M 中最多有3个元素.综上可知，当{am}为等差数列，{bn}为等比数列 时，M中最多有3个元素，所以③正确 对于④：若数列{a,}为递增数列，数列{b}为递减数列，则它们对应 的函数分别为单调递增函数和单调递减函数，两个函数图象的公 共点最多有1个，所以M中最多有1个元素，所以④正确. 综上可知，正确结论的序号为①③④.] 3.等比数列的通项公式十Sm和aw的关系 解(1)第1步：将关系式中的n换为n十1 因为2S,=3au+1-3,所以2S+1=3aw+2一3， 第2步：两式相减，利用Sn+1一S-a,转化，求等比数列{a}的 公比 两式相减可得2a+1=3a+2一3am+1, 即a+e=号a+1…所以等比数列{a}的公比为号。 第3步：利用S1=a1求出首项a1,进而得{am}的通项公式 周为2S,=3a,-3=50-3,所以a1=1,故a,=(停） (2调为2S=413所以S=号(a1-1)=号[（号）广-刂 设数列{S}的前n项和为T。,则T= 3× [-(停)] 1一3 3 35 4.解(1)因为3a2=3a1十ag,所以3(a2-a1)=a1+2d, 所以3d=a1十2d,所以a1=d, 所以au=nd. 因为6=”十”，所以=心十n=中1， d, 8 所以s=3aa-3d3=6d, 2 2 因为S,+T3=21, 所以6d+号-21，解得d=3或d=之 因为>1，所以d=3. 所以{an}的通项公式为a=3n. (2)因为6，=心+”，且{6}为等差数列， 所以26=4+4，即2X6=2+12」 a2 a as 所以6一1=6 a+daa+2a所以ai-3ad+2f=0, 解得a1=d或a1=2d. ①省a=d时a.=,所以么=心--士 nd S=99(a,+al_99(d+99d=99X50d, 2 2 Tn=99(6+6,) (号+99 2 2 d 因为Sg一T=99, 所以99×50d-99X51=99, d 即50d/-d-51=0, 解得d-品或d=-1(合去 @吉a=2以时a,=(十1d,将以6=”=子， S=99(a+as2_992d+100=99x51d. 2 T-996+6) 1+99 99(a+】 99×50 2 2 d 因为S9一T9=99, 所以99×51d-99X50=99, d 即51d-d-50=0, 解得d品（含去）浅4=1（合去） 蟒上d品 5.解(1)证明设等差数列{an}的公差为d, 由a2-b=a3-b3,知a1十d-2b1=a1+2d-4b1,故d=2b1, 由a2-b=b-a:,知a1十d-2b1=8b1-(a1+3d), 故a1十d-2b=4d-(a1+3d):故a1十d-2b=d-a1,整理得 a1=b1,得证. (2)由(1)知d=2b=2a1, 由b=am十a1知b1·2-1=a1十(m-1)·d+a 即b·2*-1=b1十(m-1)·2b十b1,即2-1=2n, 因为1≤m≤500，故2≤2-1≤1000，解得2≤k≤10 故集合{k4=am十a1,1≤n≤500}中元素的个数为9个。 6.解(1)若m=5,则对于任意n∈{1,2,3,4,5}， a2=1,a1=2,a1十a2=2+1=3,a3=4,a2十a3=1十4=5， 所以Q是5一连续可表数列； 由不存在任意连续若千项之和相加为6，所以Q不是6一连续可表 数列： (2)反证法：假设k的值为3，则a1,a2,a3最多能表示a1,a2,a, a1十a2a十a3a1十a2十a共6个数字，与Q为8-连续可表数列 矛盾，故k≥4： 现构造Q1,2,3,4可以表达出1,2,3,4,5,6,7,8这8个数字，即 存在k一4满足题意，故k的最小值为4： (3)以下先证明k≥6： 从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字， 取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表 示3数字， 取连续四个数字最多能表示2数字，取连续五个数字最多能表示1 数字， 1 所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5十4十3十2十1=15个 正整数，不能表示20个正整数，即k≥6， 若k=6,最多可以表示6十5十4十3+2+1=21个正整数， 由于Q为20一可表数列，且a1十a2十ag十…十a4<20, 所以有一项必为负数， 既然5个正整数都不能连续可表1一20个正整数， 所以至少要有6个正整数连续可表1一20个正整数， 所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故k≥7， 7.解(1)因为S4-2a2a3十6=0，a1=-1, 所以-4+6l-2(-1+d)(-1+2d)+6=0, 所以-3d=0,又d>1, 所以d=3, 所以an=3n-4, 所以S-a+a)n-3n-5n 2 2 (2)因为an十cmau+1十4cn,am+2十15cn成等比数列， 所以(an+1十4cn)2=(an十cn)(an+2十15cn), (md-1+4cn)2=(-1+nd-d+c,)(-1+d+d+15c), c号+(14d-8nd+8)cn十d=0, 由已知方程c号+(14d-8nd十8)c,十=0的判别式大于等于0， 即△=(14d-8nd+8)2-4d≥0， 所以(16d-8d+8)(12d一8d十8)≥0对于任意的n∈N"恒 成立， 所以[(n-2)d-1][(21-3)d-2]≥0对于任意的n∈N'恒成立， 当n=1时，[(m-2)d-1][(2n-3)d-2]=(d+1)(d+2)≥0， 当n=2时，由(2d-2d-1)(4d-3d-2)≥0，可得d2, 当n≥3时，[(m-2)d-1][(2n-3)d-2]>(n-3)(2m-5)≥0， 又d>1,所以1<d2 专题13数列的通项与求和 考向1数列的通项 1.C[递推数列十an与Sn之间的关系由题意知，当n=1时，S S1=1,得ag=1.当n≥2时，Sm-S,=n①，S2m-2-Sn-1=n-1 ②，①-②得，a2m十a2w-1一an=1③，（题眼）对③式，令n=2, 得a:十a3-a2=1,又a2=1,a3=6,所以a=-4.对③式，令n=4, 得ag十a,一a:=1,所以ag十a,=-3,故选C.] 2.B[等差数列的通项公式十等差数列的前项和公式根据S3- 3a2=6得a2=2,根据S=5a:=-5得a3=-1,所以{a}的公差 d=a3-a2=-3,所以as=ag十3d=-10,所以S6=S十a6= -5-10=-15.] 3.AD[等比数列的通项公式十前n项和公式 /)根据S=a1十a2十a=京十g十a2 -1+1=7,得 6g-q-1=0,即(2g-1)(3g十1)=0，因为9>0，所以q=2 错误项分析B×)a,=a,=1×(合)）=子 错误项分折C×一号-4所以8-a》4-显】 1一9 1-2 =31 D√a.=a91-4x(）-器=28-2 1-g -()] 8[1-(侵)]-8-器=8-2，所以a,中 1- Sm=8.] 4.2[等比数列前n项和公式十等比数列前n项和的性质 解法一（基本量法）设等比数列为(a},其公比为q,前n项和为 Sn,因为等比数列{an}的各项均为正数，所以9>0，又S=4,S= 68,所以g≠1.由S=4得1-2=4①，由S=68得 9g-s8器释号-学m士72-1+ 1-q 1-g =17,所以g=16,又90，所以q=2.