专题11 平面向量-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题11 考向1平面向量的概念与计算 1.(2026·全国I卷，5分)已知平面向量a,b不共 线，2a+b=xa-3b,则 ( A.x=2,y=-3 B.x=-2,y=3 C.x=2,y=3 D.x=-2,y=-3 2.(2026·全国Ⅱ卷，5分)已知向量a,b满足|a十 b|=1,a-b=√3，则a·b= A.司 R号 C.-1 3 D- 3.(2026·北京卷，4分)已知向量a,b满足a一b =2,a=(2,0),则|b|的最大值为 () A.0 B.2 C.4 D.6 4.(2024·新课标I卷，5分)已知向量a=(0,1), b=(2,x),若b⊥(b一4a),则x= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.（2024·新课标Ⅱ卷，5分)已知向量a,b满足 |a=1,a十2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= ( A R号 C .2 D.1 6.(2024·全国甲卷·理，5分)设向量a=(x十1， x),b=(x,2),则 A.x=一3是a⊥b的必要条件 B.x=一3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=一1十√3是a∥b的充分条件 7.(2023·新课标I卷，5分)已知向量a=(1,1), b=(1,-1),若(a十λb)⊥(a十b),则() A.入十=1 B.入十=-1 C.λ=1 D.λ=-1 8.(2023·全国甲卷·理，5分)已知向量a,b,c满 足a=b|=1,c|=√2，且a+b+c=0,则 cosa-c,b-c〉= c 4 D. 3 平面向量 9.(2023·全国甲卷·文，5分)已知向量a=(3, 1),b=(2,2),则cos(a十b,a-b〉= () 1 A.7 B.7 17 C.6 .5 D 10.(2023·全国乙卷·文，5分)正方形ABCD的 边长是2，E是AB的中点，则EC·ED= ) A.√5 B.3 C.2√5 D.5 11.(2022·全国乙（理）T3)已知向量a,b满足a= 1,|b1=√3，a-2bl=3,则a·b= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 12.(2022·新高考I卷，T3)在△ABC中，点D 在边AB上，BD=2DA,记CA=m,CD=n,则 CB= A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 13.(2022·新高考Ⅱ卷，T4)已知向量a=(3,4), b=(1,0),c=a十b,若(a,c〉=b,c〉，则t= ( A.-6 B.-5 C.5 D.6 14.(2026·天津卷，5分)已知a=a·b=1,b >1,记c=aa+b.当a+b-c=0时，入+4= ;当|a十b一c=1时，入十4的取值范 围为 15.(2026·上海卷，5分)已知k∈R,向量a,b,c 是两两不平行的向量，a+3b∥b+c,2a+kc∥ b十c,则k的值为 16.(2025·全国卷Ⅱ，5分)已知平面向量a=(x, 1),b=（x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a= 17.(2025·天津卷，5分)△ABC中，D为AB中 点，C正=Ci,A店=a,AC=b,则A正- (用a,b表示)；若|AE|=5,AE⊥CB,则 AE.CD= 18.(2024·天津卷，5分)在边长为1的正方形 ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE= 2DB,B=ABA+BC,则A+H F为线段BE上的动点，G为AF中点，则： AF·DG的最小值为 19.(2024·上海卷，4分)已知a=(2,5),b=(6,k), a∥b,则k的值为 20.(2023·天津卷，5分)在三角形ABC中，∠A= S,BC=1,D为线段AB的中点，E为线段CD: 的中点，若设AB=a,AC=b,则AE可用a,b表 示为 若B萨=}BC,则A正.A产的最 大值为 21.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)已知向量a,b满足 a-b=√3，|a+b|=2a-b|,则|b|= 22.(2022·全国甲（理）T13)设向量a,b的夹角的 余弦值为3，且a=1,b=3,则(2a+b)· b= 考向2平面向量的应用 1.(2025·全国卷I,5分)帆船比赛中，运动员可 借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结 果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的 向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应： 的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船 速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了 32 部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已 知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应 的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长 度代表速度大小，单位：m/s),则该时刻的真 风为 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.45.4 4 和风 5.57.9 5 劲风 8.010.7 图1 视风讽速 船速 1 2 3 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 2.(2023·全国乙卷·理，5分)已知⊙0的半径 为1，直线PA与⊙O相切于点A,直线PB与 ⊙O交于B,C两点，D为BC的中点，若 |PO=√2，则PA·PD的最大值为 () A.1+② B.1+22 2 2 C.1+√2 D.2+√2 3.(2025·上海卷，5分)已知函数f(x)= [1,x>0 0,x=0,a,b,c是平面内三个不同的单位向 -1,x<0 量.若f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则 |a十b十c的取值范围是专题11平面问量 考向1平面向量的概念与计算 1.A[平面向量基本定理 (直接法)因为a,b不共线，且2a十b=a一3b,所以x=2,y= 一3，故选A. 2.D[向量的数量积十向量的糢解法一（平方法）由a十b一1， 两边平方，得a十2a·b十b=1①.由a一b=√3，两边平方，得 a2-2a·b十b2=3②.①-②，得4a·b=-2,所以a·b= 2,故选D, 解法二（整体表示法）因为a=2[(a十b)十(a-b)],b=2[(a +b)-(a-b],所以a·b=2[a+b)+(a-b]·合[(a+b) a-b]=子(a+b12-a-b2)=子×(1-3)=-分] 3.C[向量的坐标运算十模的最值 解法一设b=(x,y),则a一b=(2一x,一y).由a-b=2,得 (2-x)2+(-y)2=4,即(x一2)2+y=4,所以点(x,y)的轨迹是 圆心为(2,0)，半径r=2的圆.又b=√x2+y √(x一0)严+(y-0)严，点(0,0)在点(x,y)的轨迹圆上，所以bmx =2r=4.故选C. 解法二令原点为(0,0)，OA=a,Oi=b,则a-b=1OA-Oi =BA=2,所以点B在以A(2,0)为圆心，2为半径的圆上.所以 bmax=OBmx=4.故选C, 解法三（三角不等式）因为a=(2,0),所以a=2,所以2=a一b ≥b一a,即b≤2十a=2十2=4，当且仅当a与b同向时等 号成立，所以b最大值为4，故选C.] 4.D[向量垂直十向量的数量积十向量的坐标运算（理性思维、数学 探索) 解法一（向量法十坐标法）因为b⊥(b一4a),所以b·(b一4a)= 0,即b=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b=4十x2,a·b= x,得4十x2=4x,所以(x一2)=0，解得x=2,故远D. 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)一 4(0,1)=(2,x)一(0,4)=(2，x-4).因为b⊥(b一4a),所以b· (b一4a)=0,所以2×2十x(x一4)=0，所以(x一2)2=0，解得x= 2,故选D.] 5.B[向量的模十向量垂直条件的应用 由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a·b.将 a十2b=2的两边同时平方，得a2+4a·b+4b-4,即1+2b+ 4=1十6b:=4,解得b=号，所以b=,故选B.] 2 6.C[平面向量的坐标运算十充分、必要条件的判断（理性思雏，数 学应用，数学探索)a⊥b台.x2十x十2x=0台x=0或x=一3，所以 x=一3是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误， C正确.a∥b台2x十2=x2台x2-2x-2=0台x=1士5，故B,D 错误.」 7.D[因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a十b=(1十入，1-A),a+ b=(1十4,1一)，因为(a十b)⊥(a十b),所以(a十b)·(a+ b)=0,所以(1十)(1十)十(1-)(1一)=0，整理得=-1. 故选D.] 8.D[,a十b十c-0,.c=一a-b,等式两边同时平方得2=a2+ b+2a·b=1+1+2a·b,,∴.a·b=0. a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a-+2b, .(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b=4,且 a-c=2a+b=√/(2a+b)2=√4+1=√5，b-c=a+2b= √(a+2b)r=V+4=5,·cosa-c,b-c）=(a-c）:（e= a-c·b-c 手，故选D.] 9.B[由题意知，a十b=(5,3),a-b=(1,-1),所以cos(a十b,a 山-2m要 √34X√2 10.B[解法-由题意知，流-成+B元=号店+A市，成=+ 市=-2迹+心.所以庇.成-（合成+）·(-专 +动)=市：-店，由题意知动=店=2，所以 E元.E=4-1=3,故选B. 解法二以点A为坐标原点，AB,AD的方向分别为x,y轴的正 方向建立平面直角坐标系，则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则EC= (1,2),ED=(-1,2),EC·ED=-1十4=3，故选B.] 11.C[:a-2b2=a2-4a·b+4|b|2,又a=1,b=5, a-2b=3,.9=1-4a·b十4×3=13-4a·b,.a·b=1.故 选C.] 12.B[因为BD=2DA,所有CB=CA+AB-CA+3AD-CA+ 3(CD-CA)=-2CA+3CD=2m十3n,故选B.] 13.C[因为a=(3,4),b=(1,0),所以c=a十b=(3十t,4).由题 意，得csae=0ke,即片-解释1=元故 选C.] 14.2[1,3][平面向量的线性运算、数量积十平面向量基本定理 记m=a十b-c=(1一入)a十(1-：)b.当m=0时，m·a=0,即 (1-A)a+(1-)b·a=(1-λ)+(1-)=0，所以入十4=2.当 m=1时，记m与a的夹角为g,则m·a=cosg=(1一)十(1 ).易知a,b不共线，由平面向量基本定理可知m可以为任意方 向上的单位向量，所以coso∈[-1,1]，即一1≤(1-λ)十(1一z) 1,所以入十∈1,3].综上，当a十b一c=1时，λ十∈[1,3]. 15.一6[平面向量平行由平面向量共线定理可得 女-88存$ )a= 2 2 m6 2 k=-6.] 16.√2[平面向量的坐标运算十向量的垂直、模a-b=(1,1一 2x),根据a⊥(a一b),得a·(a-b)=x十1-2x=1-x=0,所以 x=1,所以a=√2.] 17.名a十号b一15[平面向量的线性运算十平面向量的数量积 A花-A心+Ci=A心+号d-AC+子(Ad-AO=号A心+ 解法-=525=（日a十号），即00=g+166 +8a·b①，易得BC=b-a,A2⊥BC,A正.BC=0,即 (合a+号b）·(b-a)=0,得4-a-3a·b=0②，由①@得 2700=80形-5a,.16-a2=540,.A正·CD= (合+号)（）=立(-8+2ao)=[ 1 8+号(4-)]-元a-16)3×(-50)=-15 解法二如图，延长AE交BC于点O,则AO」 BC,以OC,OA所在直线分别为x,y轴建立平面直 角坐标系，设E(0,h),B(n,0),C(m,0),则A(0, +5,D(受，告）-（受-m,安） i=(-m,h),市=3C克，号-m=-3m, 牛5=3h,即n=-4m,h=1,∴C=(-3m,3),又Ai=(0,1) (0,6)=(0,-5),AE.CD=-15. 解法三C-A店-AC-a-b,C市-AD-AC-分A店-A花- 名a-b,从而Ai=吉a+号0=合a十40)=吉[6a-b) 5(a-2b]=C-号C市，则Cd=是(Ci-AE,故A正.Ci 三A花.C-A在)=-号A:=-15.] 18.专一是[平面向量的线性运算十 数量积（理性思雏、数学探索）坐标法 以点A为坐标原点建立如图所示的 平面直角坐标系， 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), (号1)所庞=（31)- （-1,0,BC=(0,1,因为=入Bi+B就，所以(3） A(-1,0)+4(0,1),所以入=34=1，所以入十4=3.由B(1, 0,E(号，1)可得直线BE的方程为y=-3(x-1,设F@,3 3a)(号<a≤1)则G(受，32）所以亦=(a,3-3a 成-（号）所以亦.成-a…号+(8-a.4 -前十号-(e-号）广-品所以喜=号时，亦， 得最小值，为一] 19.15[两向量平行因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15.] 20,子a十合0号[因为E为CD的中点，所以正=号市+ 号A花，周为D为AB的中点，所以市=号花，所以花=上 2花.又A店=a,A心-b,所以A正=a叶之b 因为萨=号武，所以亦-店=子（心-A),即A亦=号店 号衣号a+g0所以应亦-（宁a叶0）·（号a+号） 言d十高ab十言，在三角形ABC中，∠A=吾，武=1， 设三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a= 1,a=c,b=b所以a·b=hos吾-受，由余弦定理得a2- +2-2bcos答，即1=+2-c,所以+2=bc+1,所以 言(c+1)+员c=是c+合 在三角形AC中，由正定现济品后后心冬，所以 in 3 6-2snBc-25mca=÷mnC-专如n答+- 号(mB+1受)-号引(-)+】 号m(2B音）十日，国为0<B<号，所以-吾<2B吾 吾，当2B-音-受，即B=音时，c取得最大值，且最大值为1， 所以正.市的最大值为是十合是] 21.5[由a-b=3,得a2-2a·b+b=3,即2a·b=a2+b- 3①.由a+b=2a-b,得a+2a·b+b°=4a2-4a·b+b, 整理得，3a一6a·b-0,结合①，得3a-3(a十-3)=0，整理 得，b=3,所以b|=√3.] 22.11[设a与b的夹角为0，因为a与b的夹角的余弦值为3，即 cos 0=-3 又a=1,b=3,所以ab=la·1bos0=1X3X号=l, 所以(2a+b)·b=2a·b+b=2a·b+|b12=2×1+3=11. 故答案为：11，] 考向2平面向量的应用 1.A[新情境题十向量加法十向量糢真风风 y↑ 速对应的向量一视风风速对应的向量一船行 3视风风速子 风风速对应的向量=视风风速对应的向量十 2B 船速对应的向量一AB,如图，AB=2√2∈ (1.6,3.3),故选A.] 风心 2.A[连接OA,由题可知OA=1,OA⊥PA, 船速 0123 因为OP=√2，所以由勾股定理可得PA= 1,则∠POA=于.设直线OP绕点P按逆时针旋转0后与直线PD 重合，则-开<0K于，∠APD=年十0，且PD=Zoos0.所以 pi.Pi=APcos(符+0）-eoso(于+） cas9(号os0-号in0）-oe0-snos0=÷+7ms20 之m20-+竖(20+)+号，故选A] 3.(1,W5)[平面向量的运算若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0, f(a·b)=1 则a,b,c两两垂直，在平面内显然不成立；不妨设f(b·c)=0, (f(c·a)=-1 a=(cos a,sin a) 即不妨设b=(0,1) 则了sina>0 {cosa<0,可得ae（受+2m, c=(1,0) π+2k元，k∈Z,则a+b+c|=√(1十cosa)2+(1十sina)F- √22sin(+）十3，由a∈（受+2k,+2kx）k∈Z,得a+ 年∈(+2x,+2x)k∈z,故sim(e+于）∈ (-号，号)故√2sn(a+于)+3e1w同.即a++c的 取值范周为(1，√5).] 专题12等差数列与等比数列 考向1等差数列、等比数列的基本运算 1.B[等差数列性质十等差数列前n项和 (排除法)由题意可知，a1=1,a2=ag=3,a:=a=5,a6=7,a,= 9,ag=11,ag=13,a1o=15,a11=17,a12=19.将a1,a2,…,a12分为 6组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为6且公 差为d(d>0)的等差数列，设首项为b1,因为共有108座塔，所以 66+654=108,即26+5d=36. 错误项分析A(X)若d=2,则b=13,从a1,a2,…,a12找不到两 项之和为13； 错误项分析C(×)若d=6,则b=3,从a1,a2,…,a12找不到两项 之和为3； 错误项分析D(×)若d-8,则b-一2，不可能： B(/)若d=4,则b1=8,组合方式可以为a1十a6,a2十a?,a3十ag, a:十a1oa十a12ag十a11,符合题意.故选B.] 2.ACD[等比数列的通项公式、前n项和公式 A(/)由a3-a1qg,a2=a1q,可得2a1g=a1十a1g,由于a1>0,所 以24-q-1=0,得g-立(g=1舍去)，A正确： 错误项分析®×及巴-号一()门为 偶数时，0<1一 （)<1,又4>0，所以号 3 [1()门台，B深 C(/)因为Sn+2=S,十au+1十an+2,S+1-Sn十a,+1,所以2S+2- Sn+1-S。=au+1十2a+2=a+1(1+2g),由A可知，q=一2，故 am+1(1十2g)=0,故2S+2=Sn+1十Sn,C正确； 议√0记工=2s,由于S-号-()]对工-2 k=1 （-）>0,故T>2,D正确，故连ACD] 3.C[设等比数列{an}的公比为q(g≠0)，由题意易知g≠1，则 a(1-42=-5 1-9 9=4 ,化简整理得 a02）=21×0二 了a1=1所以S= 1- (1-g3 1一9 a(1-4)-1×1-4)=-85.故选C] 1-9 31 5