专题10 解三角形-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题10 考向1正、余弦定理的简单应用 1.(2025·全国卷Ⅱ，5分)在△ABC中，BC=2, AC=1十3，AB=√6，则A= ( A.45 B.60 C.120° D.135 2.(2024·全国甲卷·理，5分)在△ABC中，内角 T A,B,C所对的边分别为a6c,若B=晋2= 4ac,则sinA十sinC= A.239 B.39 13 13 p即 G 2 D.33 13 3.(2023·全国乙卷·文，5分)在△ABC中，内角 A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A 款 =c,且C-晋则B= A.8 B晋 C.10 D. 蠻 4.(2026·天津卷，5分)在△ABC中，BC=4,AC -3,60sA=-,则simB= 5.(2022·全国甲（理）T16)已知△ABC中，点D 在边BC上，∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD 杯 赵 当分S取得最小值时，D 考向2正、余弦定理的实际应用 1.(2025·上海卷，5分) (非上海考生不作要求) 款 小申同学观察发现，生 活中有些时候影子可以 完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为1米 尔 的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点 分别为A,B,它们在阳光的照射下呈现出影 子，阳光可视为平行光.其中一根杆子的影子在 问 水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完 全在斜面上，长度为0.45米.则斜面的底角0 (结果用角度制表示，精确到0.01°) 解三角形 2.(2024·上海卷，5分)海上有灯 塔O,A,B,货船T,如图，已知AB 在O的正东方向，B在O的正北 方向，O到A,B的距离相等， ∠BTO=16.5°，∠ATO=37°，则 ∠BOT= .（结果精确到0.1°) 3.(2022·浙江卷，T11)我国南宋著名数学家秦 九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统 数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就 是s=2a2-(+门其中a6 是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角 形的三边a=√2，b=√3，c=2,则该三角形的面 积S= 考向3正、余弦定理的综合应用 1.(2026·北京卷，4分)摇杆机械装置，如图，A, B为定点，C,D是动点，AD=1,CD=3,BC= 号AB=4,则cos∠ABC的取值范周为(） A.(0,1) 器 c器 D.] 2.(多选)(2025·全国卷I,6分)已知△ABC的 面积为子，os2A十c02B十2simC=2, cs Acos Bsin C-1,则 A.sin C=sin2 A+sin2 B B.AB=√2 C.sin A+sin B6 2 D.AC2+BC2=3 3.(2024·全国甲卷·文，5分)在△ABC中，内角7.(2025·天津卷，14分)在△ABC中，角A,B,C A,B,C所对的边分别为a,6c,若B=号，b2= 的对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A, c-2b=1,a=√7. 4ac,则sinA+sinC= (1)求A的值； A.239 13 B.39 D.33 (2)求c的值； 13 c 13 (3)求sin(A+2B)的值 4.(2023·全国甲卷·理，5分)在△ABC中，∠BAC= 60°，AB=2,BC=√6，∠BAC的角平分线交BC于D, 则AD= 5.(2026·全国I卷，15分)已知在△ABC中，AB =3,BC=23,osB=5 3 (1)求cosA; (2)设D,E两点满足：D在BA的延长线上， DE∥BC,AE⊥AC.若DE=√6，求CE. 、 8.(2024·新课标I卷，13分)记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC= √2cosB,a2+b2-c2=√2ab. (1)求B: (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. 6.(2026·全国Ⅱ卷，15分)在△ABC中，已知 os B()+sin A sin C1. (1)证明：△ABC为钝角三角形： (2)若△ABC的面积为年，求△ABC的周长 26 9.(2024·新课标Ⅱ卷，13分)记△ABC的内角11.(2024·天津卷，14分)在△ABC中，角A,B, A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA十√3cosA C所对的边分别是a,6:6.已知cosB=6= =2. 5=号 2 (1)求A; (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC的 (1)求a的值； 周长 (2)求sinA的值； (3)求cos(B-2A)的值. 10.(2024·北京卷，13分)在△ABC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,∠A为纯角，a=7, sin cos B. (1)求∠A: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中： 选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 △ABC的面积. 12.(2023·新课标I卷，10分)已知在△ABC中， A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. 条件①：b=7; (1)求sinA; 条件②：cosB=13 4 (2)设AB=5,求AB边上的高. 条件③：csin A=53 2 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分. 27 13.(2023·新课标Ⅱ卷，10分)记△ABC的内角15.(2023·全国乙卷·理，12分)在△ABC中，已 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面 知∠BAC=120°，AB=2,AC=1. 积为√3，D为BC的中点，且AD=1. (1)求sin∠ABC; )若∠ADC=号，求anB: (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求 △ADC的面积. (2)若b2十c2=8,求b,c. 14.(2023·全国甲卷·文，12分)记△ABC的内角16.(2023·天津卷，14分)在△ABC中，角A,B, A,B,C的对边分别为ab,c,已知+c2一a =2. C所对的边分别是a,b,c.已知a=√39，b=2, cos A (1)求bc; A=120°. (2)若acosB=b0sA-b=1,求△ABC (1)求sinB的值； acos B+bcos A (2)求c的值； 面积. (3)求sin(B-C)的值. 28 17.(2022·全国乙（文）T17)记△ABC的内角A,19.(2022·新高考I卷T18)记△ABC的内角A,B,C B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A B)=sin Bsin(C-A). 的对边分别为a6,巴知 sin 2B 1+cos 2B 1111111111111111111111111111111 (1)若A=2B,求C; (1)若C= ,求B; (2)证明：2a2=b2+c2. (2求2+b的最小值. 20.(2022·新高考Ⅱ卷，T18)记△ABC的三个内 18.(2022·全国乙（理）T17)记△ABC的内角A,B, 角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别 C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A一B)= 以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次 sin Bsin(C-A). 蜜 (1)证明：2a2=62十c2; 为55已知S5+s=9mB= (2)若a=5,cosA= ,求△ABC的周长。 25 (1)求△ABC的面积： (2)若sin Asin C=2 求b. 摇 29 21.(2022·北京卷T16)在△ABC中，sin2C=:22.(2022·浙江卷T18)在△ABC中，角A,B,C所 √3sinC. 对的边分别为ab.已知a=5c,C=号 (1)求∠C; (1)求sinA的值； (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求△ABC (2)若b=11,求△ABC的面积. 的周长。 30第2步：写出x,(x),f(x)的关系 由x∈[0，]，得sin2x≥0，放x,f(x,代x)的关系如表所示： 0 (0,） (】 f(x) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步：求，)在区间0，年]的最大值 国为f(）=c0s吾-cos晋=35， 所以函数f(x)=5c0sx一c0s5x在区间[0，于]的最大值为3瓦. (2)解法一第1步：根据周期性写出a的范围 因为余弦函数的周期为2π，所以不妨设a∈(0,2]， 第2步：分a≤20和a>20两种情况讨论 当a≤20时，a一0≤0，则0∈[a一0，a+0),此时存在v=0,使得 c0sy=cos0:(6分) 当a>20时，0<a-02π-0， 作出余弦函数的大致图象（如图所示）， 0-02-0 所以cos(a一0)cos0, 只需要取y=a一0，即可得到cos ycos日. 第3步：得出结论 综上可得，给定0∈(0，元)和a∈R,存在y∈[a-0,a+]使得cosy ≤cos0. 解法二（反证法）第1步：假设结论不正确 假设cosy>cos0对任意y∈[a一0，a十0们恒成立， 第2步：根据余弦函数的图象与性质得出y的取值范围 由cosy>cos0得2kπ-0<y<2kπ十0，k∈Z,这与a∈R,任意y∈ [a-0,a十]矛盾， 所以假设不正确，故一定存在v∈「a一0，a十们使得cos vcos0. 解法三（综合法）第1步：利用两角和与差的余弦公式探寻关系 因为cos(a十0)+cos(a-0)-2 cos acos02cos0, 所以cos(a十0)与cos(a一0)中必有一个小于等于cos0. 第2步：反证法证明以上结论 否则cos(a十)>cos0,cos(a-0)>cos0,这与cos(a十0)十cos(a 0)=2 cos acos2cos0矛盾. 第3步：得出结论 所以一定存在y=a-0或y=a十0，使得cosy≤cos0, 所以对于给定0∈(0，π)和a∈R,存在y∈[a一0，a十们使得cosy≤ cos 0. (3)第1步：特殊值=0探路 令h(x)=5cosx-cos(5.x十g),当9=0时，因为h(x)=h(一x), h(x)=h(x十2π)，所以h(x)为偶函数，且2π为h(x)的周期，所以 诗论h()在[0,2m)上的情况，由(1)可知h()在(0，音)上单调 递增，在（告，晋）上单调递减，在（语x)上单调远增，站合对称 性，及h(π)=一4，可知x∈[0,2π)时h(x)≤3√3，所以此时b的最 小值为3√5. 第2步：根据口的任意性，将问题进行转化 要证3√5为b的最小值，对于任意的，只需要证明h(x)的最大值 不小于35， 只需要证明存在x。,使得h(x。)≥3√5. 第3步：利用(2)的结论进行求解 当x≤若时，令。=5x十9，则，∈ 由(2)可知，取0=5π， a,可得存在%【晋+,晋+使 2 3 所以h()=5c0s-c0s(5十p)=5c0sx-c0s%≥5X气 ()=3 综上可得，bmim-3√3. 专题10解三角形 考向1正、余弦定理的简单应用 1.A[余孩定理的应用通解coA=+B)+6-4 2(1+√5)×√6 得-号周为0A<1将以A=5 光速解10秒（根据边的大小关系排除）因为BC<AC,BC< AB,所以A为最小角，所以A<60°，排除B,C,D,故远A.] 2.C[正、余弦定理在解三角形中的应用（理性思雏、数学探索）由 正弦定理得号-sin Asin C=sinB,因为B=答，所以sin Asin C= 号simB=子由余孩定理得6=d+c-2ac·c0sB=a2十 ar=号ac,所以d+e=只ac,所以sinA+sinC-=9 ininC. 4 所以(sinA+snCP=sirA+inC+2 sinsinC=2头sinsinC= ，又snA>0,nC0,所以snA+nC-] 7 3.CL因为acos B一bcos A=c,所以由正弦定理得sin Acos B- sin Bcos A=sinC=sin(B+A),则2 sin Bcos A=0.在△ABC中， sinB≠0，则c0sA=0,A=交.所以B=元-A-C=x-受-吾- 晋故选C] 4.3酒[正孩定理由mA=-子得s血A压，由正孩宠理 16 4 可得BC=AC 好n所以snBC0A-3厘] BC 16 5.√/3-1「设CD=2BD=2m>0,则在 △ABD中，AB=BD+AD2-2BD ·ADcos∠ADB-m2+4+2n,在 △ACD中，AC=CD'+AD-2CD· B AD os∠ADC-m+4-4m,所以AC = 4+4-4m-4(m2+4+2m)-12(1十m)=4- 12 n2十4十2n m2十4+2m (m十1)+ 3 m十1 12 4- ==4一2√3，当且仅当n十1= 3 7 2√m+1)7 n+1 3-1时，等号成立，所以当能取最小值时，m=B-1.故答案为： w3-1.] 考向2正、余弦定理的实际应用 1.12.58°「三角函数的应用解法一设平行光与水平 面的夹角为α，由点A处杆子在水平面上的影子长度为 1 /6.45B 0.4米，得ana=。=号，点B处杆子的影子完全在斜F一0】 面上，长度为0.45米，如图，BF-0.45,BO-0.45sin0,(OF- 0,45os0:ma=an∠EP0-1959-,结合sing 0.45cos0 cos20=1,解得0≈12.58 解法二如图，由题可设∠D=∠E=a, ∠EFB=3.在Rt△DAC中，AC=0.4, 1D=1,则tana三三，sina- 2 cos a c √/29 =在△BF中，BE=05,E=1,剧8对m= 酒m需对a0-m(管-血a》 40 sin acos叶osin-2V70+20,解得012,58.] 261 8 2.7.8°「正弦定理十三角恒等变换十弦化切（理性思维、数学应用） 设∠BOT-0,则∠AOT=90°-0，在△BOT中，由正弦定理得 n9=mg-在△A0T中，由正孩定理得 OB OT m37O70-:QA=0B.&两式相除得部行 OT sin(37+90-,in37sin(16.5°+0)=sin16.5sin(37°+90- sin(16.5+0 0),sin0(cos16.5°-sin16.5)sin37°=cos0(cos37°-sin37°) 1 sin16.5°，，.tan0= an37-1 ≈0.1376，又0为锐角，.0≈ tan16.5-1 7.8°.] 3.V23 [国为s=[a-()] 所以S= √x2-()]- 故答案为：厘] 考向3正、余弦定理的综合应用 1.D「余弦定理 (数形结合法)因为A,B为定点，C,D为动点，且AD=1,BC= 号，所以点D在以A为圆心，丰径为1的圆上，点C在以B为国 心，半径为号的圆上。 连接AC,因为AD=1,CD=3,所以CA≥CD一DA=2,当C,A,D 三点共线，且点A在C,D之间时，等号成立，即CA的最小值为2， 此时∠ABC最小，如图1所示，在△ABC中，由余弦定理得 cos∠ABC 4+（受）-28 2×4×2 80 图1 同理，CACD十DA=4,当C,A,D三点共线，且D在C,A之间 时，等号成立，所以CA的最大值为4，此时∠ABC最大，如图2所 +()】 -4 示，在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC= 2×4X号 5 16 图2 综上ms∠ABCe[品，品]故选D] 2.ABC厂三角恒等变换十解三角形 A(√/)【如何判断A选项呢？发现所给式子中有2A,2B,考虑利用 余弦的二倍角公式化简变形即可判断】cos2A十cos2B十2siC 1-2sin2A+1-2sin2B-+2sin C=2,sin2A+sin2 B=sin C. B()【根据正弦定理得出a十b≥c2,利用分类讨论的方法判断 出a十公=c,得出C=受，再结合题目中的第三个条件 coAcosBsin C--子，进而求解】令a=BC,b=AC,C=AB,则 sin A sin B-sin C=2R(R为△ABC的外接圆半径)，由sinA+ sin2B=sinC,得a2+=c·2R≥c2.若a2+b2>c2,则△ABC为 锐角三角形，则A+B>交，即A>受-B,则sinA>sim空-B =cosB,所以sinC=sinA+sin2B>cos2B+sinB=1,矛盾.故 a2+B=c2,即C=A+B=交，所以cos(A+B)=cos Acos B- sin Asin B=0,又os Acos Bsin C-cosAcos B=子，所以sin Asin B -子为Sa=sinC=b=子，所以h=，所以 sin Asin B=(2R)2= ab 名=2，所以2R=反，所以c=2R·sinC 4 -√2. C(√)【一殷情况下，多远题各个远项之间有关联，所以利用选项A 及选项B中sin Asin B-=子可以作出判断】(sinA十nB户- sin'A+sin B+2sin Asin B-sin C+2sin Asin B1x 是，所以mA十血B=写 错误项分析D(×)【在直角三角形中，利用勾股定理可快速作出 判断】AC+BC=AB=c2=2.故选ABC.] 3C[正，余弦定理在解三角形中的应用（理性思维、数学探索）由 正弦定理得}iAsinC=inB,因为B=背，所以sin Asin C- 合inB=子由余孩定理得=d+-2ac·osB=a+ c=号ac,所以d+f=9c,所以sinA十srC-是nC. 9 所以(sinA+-sin C)'=sinA+snC+2 sin Asin C=2头sin Asin C= 4 ，又nA>0,nC>0,所以smA十nC=9] 7 ，4,2[解法一由余弦定理得©os60°=2×2AC,整理得AC心一 2AC-2=0,得AC=1十√5.又SAABC=S△ABD十SAACD,所以2X 2 ACsin60°=×2 ADsin30+号AC×ADsin30,所以AD= 25AC25×1+®=2. AC+2 3+√3 解法=由角平分线定理得器-光又BD十D=后，所以0= 2W6 C2,CD三A由角平分线长公式得AD=AB×AC BDXCD-2AC- (AC2,又由解法一知AC=1+3,所以AD 12AC 2+25- 12X1+③=2+25-(25-2)=4，所以AD=2.] (3+√3)2 5.利用正、余弦定理解三角形 解(1)第1步：利用余弦定理，求AC 由余弦定理，可知AC=AB十BC2-2AB·BC·cosB=9十12 12=9,所以AC=3. (3分) 第2步：利用余弦定理，求cosA 所以c0sA=AB+AC-BC二9+9-121 2AB·AC =2×3X3 3 (6分) (2)第1步：利用诱导公式，求sin∠DAE 如图，因为D在BA的延长线上，AE⊥AC,所以 ∠BAC+∠DAE=90,周为cos∠BAC=号，所以 1 sin∠DAE= (8分) D 第2步：利用同角三角函数的基本关系，求sinB 因为cosB=5,B∈(0，)，所以inB= 3 3 (10分) 第3步：利用平行关系及诱导公式，求sin∠ADE 因为DE∥BC,所以∠B+∠ADE=180,所以sin∠ADE=5. 31 (12分) 9 第4步：利用正弦定理，求AE 在△ADE中·n2界DEn2咒正即-，解得AE=6 AE DE 3 3 (14分) 第5步：利用AE⊥AC,求CE 在Rt△ACE中，CE=√AC+AE=√32+6=3√5. (15分) 6,三角恒等变换十正、余弦定理十三角形面积公式 解(1)第1步：利用三角形内角和为π转换角 因为A十B十C=π，所以cos(A十C)=cos(π一B)=一cosB,(2分) 第2步：化简cos2(A+C)+sin Asin C=1 则由cos2(A十C)十sin Asin C=1,可得(-cosB)2+sin Asin C= 1,将casB=子代入可得mAC=品 4 (4分) 第3步：利用两角和的余弦公式变形 3 cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C= 所以Aco C=iC-子-是-是=-是<0，则eosA 和c0sC必然一正一负. (6分) 第4步：得出结论 因为三角形的内角范固为(0，π)，所以角A和角C必有一个是钝 角，则△ABC为钝角三角形. (7分) (2)解法一第1步：利用同角的正、余弦平方和为1，求sinA十 sinC的值 7 5 由(1)中sin Asin C=6 cos Acos C.=-i6,可得cosAcosC=. ()=器 即系=(1-rA1-rO=1-(simA+mO十(sin Asin C)力 2 1-(sin'A+sin'C)+ 71 （16, 可得sinA十sinC-32, 35 (9分) 所y以(sinA+sinC)2=sinA+sinC+2 sin Asin C 器+2×0 7 器财nA十nC3平 (10分) 8 第2步：求sinB的值 因为cosB=子，所以inB=一0sB= 4 (11分) 第3步：利用正弦定理及三角形面积公式，求外接圆直径2R 设△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 由正弦定理可得 sin A sin B-sin C-2R, 由△ABC的面积为可得、号acnB2R>sin Asin Csin B 2 得2R-4② (13分) 第4步：利用正弦定理求△ABC的周长 所以△ABC的周长为a十b+c=2R(sinA+sinB+sinC)=4三X √7 (3+)=3+E (15分) 解法二第1步：利用正弦定理求出三边的关系 由(1)中(-cosB)+sin Asin C=l,可得sin Asin C=1-cosB =sinB, 记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由正弦定理可得ac=b, (9分) 第2步：求sinB的值 因为c0sB=子，所以sinB=√-eo5B= (10分) 第3步：利用三角形面积公式求出b的值 由△ABC的西积为平，可得平-方cmB-宁×，解得6 4 √2. (12分) 第4步：利用余弦定理求出a十c的值，并得出周长 由余弦定理，可得b=a2十c2一2 accos B, 即2=a2+c2-2acx=(a+c)-号 ae-(ate)a c)2-7 得a十c=3, (14分) 所以△ABC的周长为a+c+b=3十√2. (15分) 7.正弦定理与余弦定理十同角三角函数的基本关系十二倍角公式十 和角公式 解(1)第1步：求tanA的值 因为asin B=√3 bcos A, 所以由正弦定理可得sin Asin B-√3 sin Bcos A, 因为B∈(0，π)，所以sinB>0,所以sinA=√3cosA, 所以tanA=√3. 第2步：确定角A的值 又因为A∈(0，)，所以A=号 (2)第1步：由余弦定理求b 因为c-2b=1,a=V7,cosA=之，所以由a2=6+c2-2 beeos A, 可得7=+(26+1)-26(26+1)×2，化简得B十b-2=0, 又b>0,故b=1. 第2步：求c的值 由c=2b十1，得c=3. (3)第1步：由正弦定理求sinB b 由正弦定理sin Asin B,得√7 sinB,解得sinB=√2T 1 sin 14 第2步：由同角三角函数的基本关系求cosB 因为b=1<3=c,所以B为锐角，cosB=√/-inB-5 14 第3步：由二倍角公式求sin2B和cos2B sin 2B-2sin Bcos B53 14 1 cos 2B=2 cos B-1-14 第4步：利用和角公式计算sin(A+2B) 所以mA+2B)=sin（受+2B）=sn营cos2B+co青sm2B =5×11+1×554 2X14+2X14 7 8.正弦定理十余弦定理十三角形的面积公式（理性思维、数学探索） 解(1)第1步：利用余弦定理求C 由余弦定理得cosC=+b一C-2】 2ab 又0<C<,C-年 第2步：将C代入已知等式求B ∴2cosB=inC号cosB=7 又0<B<x,B=5 (2)第1步：求A 由1得A=一B-C-受 第2步：利用正弦定理得出a,c的关系 由正孩定理nAnC,得 ,a=1+3 2+√6√2 4 2 第3步：利用三角形面积公式求c ∴△ABC的面积S=号acsin B=152X9=3+5,得c= 2 22 9.辅助角公式十同角三角函数的基本关系十正弦定理（理性思维、数 学探索) 解(1)解法一（辅助角法） 第1步：利用辅助角公式化简已知等式 由nA+5osA=2,得号nA+sA=1, 所以sinA+）=1. 第2步：判断角的范周，求出角A的大小 因为0<AK,所以亭<A+音<5， 所以A十号=受，故A=石 解法二（同角三角函数的基本关系法） 第1步：利用同角三角函数的基本关系求sinA的值 由sinA十√5cosA=2,得√3cosA-2-sinA, 两边同时平方，得3cos2A=4一4sinA十sinA, 则3(1-sinA)=4一4sinA十sinA, 整理，得1-4sinA十4sin2A=0, 所以(1-2sinA)=0,则mA= 第2步：求角A的大小 因为0<A<,所以A=晋或A=器 当A=否时，sinA十Bc0sA=2成立，符合条件； 当A=5严时，inA十50sA=2不成立，不符合条件. 6 故A=若 解法三（同角三角函数的基本关系法） 第1步：利用同角三角函数的基本关系求c0sA的值 由sinA十√3cosA-2,得sinA=2-√3cosA, 两边同时平方，得sin2A=4-4V5cosA十3cos2A,则1-cos2A= 4-4√3cosA+3cos2A, 整理，得3-4√3c0sA十4c0s2A=0, 所以5-20sA=0,剥60sA=9 第2步：求角A的大小 因为0<A<元，所以A=否 (2)第1步：利用正弦定理求B的值 由W2 bsin C=csin2B,得√2 bsin C=2 csinBcos B, 由正弦定理，得2c=2 ebcos B,所以cosB= 因为0<B<,所以B=于 第2步：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理求sinC: 的值 C=x-(A+B)-径所以nC=m登=n(答+)= 4 第3步：求△ABC的周长 解法一（基本量法） 由正定是品品BC得6-盘是-子-2E, sin A sin 7元 c=asin C_n12=√6+今 sin A sin 6 所以△ABC的周长为a+b十c=2+√6+3√2. 解法二（整体思想法） b 由正弦定理ABC L 得入nA平千nC a+b+c 2 =4, sin 6 , 1++6+② 所以a+b+c=4(nA+sinB+inCO)=4X2+兰 4 2+√6+32， 所以△ABC的周长为2+√6+3√2. 考向预见高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，以解答！ 题的形式综合考查正、余弦定理，多与三角形的周长、面积有关，有！ 时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查.试题难度控制在中！ 等或以下，主要考查运算求解能力、推理论证能力，数学应用意识、· 数形结合思想等.预测2025年高考大概率考查三角恒等变换及！ 正、余弦定理，求解时注意三角形内角和定理与诱导公式的应用，！ 11 在求角的大小时，注意条件中是否明确给出三角形为锐角三角形 或钝角三角形. 0.三角恒等变换十解三角形（理性思维、数学探索） 解(1)第1步：利用二倍角的正弦公式化简 由题知，2sinB.6casB-9cosB 又A为钝角，所以B为锐角， 故0sB≠0，所以2nB-0 第2步：利用正弦定理建立a,b,A,B的关系，从而计算出A的正 弦值 又 又后A品所以snA-9 7 第3步：由角的范固及正弦值求出角A 又A为能角，所以A=三。 (2)若选0，结合(1D得2nB=9×1,所以nB-,B=否， 2 A十B=π，则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不选择条 件①. 若远②，第1步：由同角三角函数的基本关系及正弦定理求出b 由题知sinB=√-cosB=35, 14 又品a即 b 三b,所以b=3. π3V3 sin 3 14 第2步：利用诱导公式及两角和的正弦公式求sinC 又C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 9××0- 第3步：利用三角形面积公式得结果 所以Sc=bnC=号×7X8x语-15 1 4 若选③，第1步：由已知求出c 由题知c…9-5y,所以c=5. 22 第2步：由余弦定理建立方程求出b 由ad=+2-2 bccos A得，49=+25+5b,即(b+8)(b-3)=0, 解得b=3(负值舍去). 第3步：利用三角形面积公式得结果 所以Sa版=2rinA=合×3X5×号-15 2 1.正、余弦定理十同角三角函数的基本关系十三角恒等变换 解由-号得a=号 由余弦定理得d+e心-i=2ac0osB,即号c2+d2-25=2·号c 2 ·c·16' 9 得3-25=是，得c=6, 故a=号c=4 (2)因为c0sB=是所以如B=-cosB-, 16 b 4 由正弦定理符mB,即inA厅'行加AY A 16 (3)因为ab,所以A<B,则c0sA>0, 由mA=只，得c0sA=号， 则os2A=2c0sA-1=日，sin2A=2 esin AcosA=3 1 8 s(B-2A)=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A-6g 37_52 8 64 12.解解法一(1)在△ABC中，A十B=π-C, 因为A+B=3C,所以3C=一C所以C=于 因为2sin(A-C)=sinB, 所以2脚(A-）-sm(旺-A: 展开并整理得（如A-msA)-号(cmsA十in. 得sinA=3cosA, 又sinA+cosA=1,且sinA>0, 所以sinA=30 10 (2)由正弦定理BC AB sin A sin C' 得BC-sECX sin A=5×335, √2 10 2 由余弦定理AB=AC+BC-2AC·BCcos C, 得5=AC+(3同)-2AC·35c0s于， 整理得AC一3√10AC+20=0, 解得AC=√0或AC=2√0， 由1)得，amA=3>5,所以答<A<受， 又A+B=3,所以B>开， 即CB,所以AB<AC,所以AC=2√I0, 设AB边上的高为么，则2×ABXh=号×ACX CinC. 即5动=2×35x, 2 解得h=6, 所以AB边上的高为6. 解法二(1)在△ABC中，A十B=π一C 因为A+B=3C,所以3C=元-C,所以C=年 因为2sin(A一C)=sinB, 所以2sin(A-C)=sin[x-（A+C]=sin(A+C), 2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, ; 所以sin Acos C=3 cos Asin C, 易得cos Acos C≠0， 所以tanA=3anC=3tan交=3， 又sinA>0, 3 所以sinA= 3/10 √32+1平 10 (2)由(1)知sinA=3 10 ,tanA=3>0,所以A为锐角， 所以cosA=0 ! 10 所以mB=m(-A)=号(sA+nA=号×（ 3元 3/01 2√5 10 51 由正弦定理AC AB sin Bsin C' 得AC4B,如B5x2 5 sin C -=2√10， 故AB边上的高为ACX sin A=2√而X3-6. 10 13.解(1)因为D为BC的中点， 所以SaC=2SAr=2X号×ADXDCX sin∠ADC-2X合× 1xpcx 解得DC=2, 所以BD=DC=2,a=4. 国为∠ADC=音，所以∠ADB=要 在△ABD中，由余弦定理，得c2-AD+BDP一2AD·BDos∠ADB: =1十4+2=7， 所以c=√7. ! 112 解法一在△ADC中，由余弦定理，得b2=AD+DC一2AD· DC·cos∠ADC=1+4-2=3, 所以b=√3. 在△ABC中，由余孩定理，得osB=十g-&_7+16-35VE 2ac 2×4×√7 14 所以sinB=V1-cosB=四 141 解法三在△ABD中，由正弦定理，得n/ADB sin B' AD 所以sinB=ADsin∠ADB_2I 14 所以cosB=V-$inB=5y7 14 所以tanB=sinB-尽 cos B 5 (2)解法一因为D为BC的中点，所以BD=DC 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADB=-cos∠ADC 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理， 得AD+BD-C =AD+DC- 2AD·BD 2AD·DC 得1+BD-c2=-(1+BD2-b2), 所以2BD=+c2-2=6,所以BD=√3，所以a=2√3. 解法二因为D为BC的中点，所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中，由余弦定理， 得c0sB=+BD-AD-a+C' 2c·BD 2ac 整理，得2BD2=b2+C2一2=6， 得BD=3,所以a=2√3. 在△ABC中，由余弦定理， 祥c如e∠BAC-士-822-是 2bc 2bc 1 所以SAAN=lcsin∠BAC =zc√1-cos BAC 1 -√-（是） 1 =-A =√5， 解得r=4. 则由了bc-4 6+c2=8解得=c=2 解(I)由余弦定理知cosA=+-@ 2bc 代入+c2- -=2,得2br=2, cos A 故br=1. (2)由正孩定理及9c08B=c0A么=1， acos B-bcos A c 得需品A品是-· 化简得inA-smB-l, sin(A+B)sin C A+B=x-C,.'sin(A+B)=sin C, .'sin(A-B)-sin B=sin C=sin(A++B), .'sin Acos B-cos Asin B-sin B=sin Acos B+cos Asin B, .'.-2cos Asin B=sin B. :B∈(0，r),sinB≠0，cosA=-2 A∈(0，…nA=V-cosA=5 2 由①D知x=1,故△MBC的面积S=之nA=子X1×号-尽 A 解(1)如图，由余弦定理得BC=AB+CD AC-2AB·AC·cos∠BAC=2+1+2X 2×1X1 =7,得BC=7 AC BC 解法一由正弦定理 in∠ABC sin∠BAC 1X③ 2 得sin∠ABC= .21 14 解法二由余孩定理得0s∠ABC=AB+BC一AC=4十7-1=； 2AB·BC 2×2X7 (2)解闲为a=5,c0sA= 37 5√7 由(1)得+c2=50, 14 由余弦定理可得a2=十c2-2 becos A, 所以sin∠ABC-V-cos∠ABC= 则50 5 37bc=25, 14 (2)解法-由m∠ABC-图，得an∠ABC= 所以c=3 , 51 故(b+c)2=6+c2+2bc=50+31=81, 又an∠AC-器-学，所以DA=2, 所以b十c=9, 5 所以△ABC的周长为a+b+c=14. 故△ADC的面积为之DA·AC·m(12r-9)=之×2X1X: !19.解(1)由已知条件得：sin2B+sin Asin2B=cosA十cos Acos2B, 2 5 sin 2B=cos A+cos Acos 2B-sin Asin 2B=cos A+cos(A+2B) 1√5 =cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B] 2=10 =-cos(B+C)十cosπ+(B-C)] =-2cos Bcos C, 解法二△ABC的面积为宁AC·AB·sn∠BAC=令×1X2X 所以2 sin Bcos B-=-2 cos Bcos C,则(sinB+cosC)cosB=0, 由已知条件：1十c0s2B≠0，则B≠交，可得c0sB≠0， 2 2 所以smB=-cosC=,B=晋 S△AC- 2AC·AD·sin∠CAD sin30° 1 S△BAD ZAB·AD·sin∠BAD 2Xsin90=4, (2)由(1)知sinB=-cosC>0,则B=C-之，sinB= 故△10C的西积为号5版一吉×号语 sin(c-）=-cosC, 16解0自正孩定现品品6释品 b 2 sin A-sin(B+C)-sin (C)--cos 2C, 由正弦定理4+b_inA十simB_cog2C+cosC sin2C sin2C 解得sinB=Y3 131 =(1-2sin'C)+(1-sin'C) (2)解法一（余弦定理）由余弦定理得a2=b十c2一2xc0sA, sin2C 2+4sin'C-5sin2C 2 即39=4十c2-4cc0s120°， 整理得c2+2c-35=0, sin'C sin'C+4sin'C-5 解得c=5或c=一7（舍去）. ≥2c·4sinC-5=4V2-5, 所以c=5. 解法二因为A=120°，所以B,C均为锐角， 当且仅当mC=号时等号成主，所以心少的最小值为4巨-5 所以cosB=v√一sinB=2Y四 13 20,解(1：边长为e的正三角形的西积为气。 由特影定理得6=sB+sA=丽×2Y+2X(一号） 13 S,-s+s=5(a-+2)=5, 4 2 6-1=5. 即accos B=1, (3)由正孩定理C-B可得si血C-5 b 由smB=号得osB-2g9, 3a=1 3√2 26 cos B4' 又B,C均为能角，所以cosC=V一mC=3厘， 26 cos B= 1 故S△Ax=2 acsin B= √=imB=2,所以in(B-C=inB0osC-cos Bsin C= 3② 13 (2)由正弦定理得：广 ac 9 x3-2x5=-75 :sin B sin A‘in Csin Asin C √2 13 26 13 26 261 3 17.解(1)由A=2B,sin Csin(A-B)=-sin Bsin(C-A)可得，sin Csin B=! 故6=sinB= sin Bsin(C-A),而0<B<交，所以snB∈(0,1)，即有snC= sinC-A>0,而0<C<x,0<C-A<,显然C≠C-A,所以，21.解(1)sin2C=5sinC,2 sin Cos C--5sinC,osC=9 ,∠C= 2 C+C-A=元，而A=2B,A+B+C=元，所以C- 晋 (2)证明由sin Csint(A-B)=sin Bsin(C-A)可得 sin C(sin Acos B-cos Asin B)=sin B(sin Ccos A-cos Csin A), (2)SAac=65,absin C=6V5,a=4B,由余弦定理c= 再由正弦定理可得， a2+-2 abcos C得 accos B-bccos A=bccos A-abeos C,然后根据余弦定理可知， c=2√3，所以△ABC的周长为6√3+6. 子，0<C<,则mC=手国为4a=, 2一c2),化简得： 2a2=b十c2,故原等式成立. 由正孩定理知nA=5血C,则A-气nC一怎。 l8.(1)证明因为sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), (②)因为4如=5c,由余孩定理，得osC=。+c 2ab sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A- sin Bsin Acos C, +121-。1- 3 所以a-2欧兰h. 22a 2a2=号 2ac 即+g-&-6+c2-a)=-。+=C 即。+6a-5=0,解得a=5,而nC=号，b=11, 2 2 所以2a2=十c2: 所以△ABC的面积S-令alsin C=号X5X11X号=22. 113