专题8 三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换&专题9 三角函数的图象和性质-【创新大课堂】高考数学五年（2022-2026年）真题分类汇编168优化重组卷

专题8三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 老向 三角恒等变换 6.(2023·新课标I卷，5分)已知sin(a-3)= 3 1.(2026·全国Ⅱ卷，5分)已知a为第二象限角， 3sin 2acos a-8sin acos2a,sin a cos asin B= 6,则c0s(2a十29)= cos a 7 毁 ( A.9 11111111. A.3 B. c D.12 C.- D-日 2.(2025·全国卷Ⅱ，5分)已知0<a<元，c0s a- 7.(2022·新高考Ⅱ卷，T6)角a,3角a,3满足sin(a十 ® B)+cos(a+B)-2Zcos(a+)sinB. ( 5 ,则sin a- ) ( A.tan(a++B)=1 B.tan(a+3)=-1 抑 A C.3② D. 72 C.tan(a-B)=1 D.tan(a-B)=-1 10 10 10 3.(2024·新课标I卷，5分)己知cos(a十3)=m, 8.(2026·上海卷，4分)已知sna=行，则c0s2a 赖 tan atan B=2,则cos(a一3)= ( ) A.-3m B. 12 c D.3m 9.(2024·新课标Ⅱ卷，5分)已知a为第一象限 量 角，3为第三象限角，tana十tanB=4,tan atan B 4.(2024·全国甲卷·理T8,文T9,5分)已知 =√2+1，则sin(a十)= cos a 弥 cos a- sin a 5,则tan(a+)= 10.(2023·全国乙卷·文，5分)若0∈(0，) A.2√3+1 B.2√3-1 抑 赵 ag tan9=2,则sin0-cos0 D.1-√3 11.(2022·北京卷T13)若函数f(x)=Asin x 5.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)已知a为锐角，c0sa cos的一个零点为5，则A= 1+5 4 则sn号 装 f()- A.35 B.-1+5 8 8 12.(2022·浙江卷，T13)若3sina-sin3=√10， C.3-⑤ D.1+5 a+B-- 则sina= ,c0s23= 4 4 21 专题9三角函数的图象和性质 考向1三角函数的图象 :6.(2023·新课标I卷，5分)已知函数f(x)= 1.(2026·天津卷，5分)函 cos wx一1(w>0)在区间[0,2π]有且仅有3个 数f(x)的部分图象如图 零点，则ω的取值范围是 所示，则f(x)的解析式 考向2三角函数的性质及应用 可能为 ( ) 1.(2025·天津卷，5分)f(x)=sin(wx+9)(w> A.f(x)=x十sin元x 0,一π<9<π)在[一 B.f(x)=x-sinπx 登]上单调递增，且x C.f(x)=-x+sin元x 是为f(x)图象的一条对称轴.（等，0）是f(x) D.f(x)=x·sin 2.(2024·新课标I卷，5分)当x∈[0,2π]时，曲 图象的一个对称中心，当x∈[0，]时，f(z)的 线y=sinx与y=2sim(3x-石)的交点个数为 最小值为 ( 2 B.一2 C.-1 D.0 A.3 B.4 C.6 D.8 2.(2024·新课标Ⅱ卷，6分)对于函数(x)=sin2x 3.(2023·全国甲卷·理，5分)函数y=f(x)的 图象由函数y=0s(2x十否)的图象向左平移否 和g(x)=sin2.x- ),下列说法中正确的有 个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y= A.f(x)与g(x)有相同的零点 子一的交点个数为 ( B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 A.1 B.2 C.3 D.4 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 4.(2023·全国乙卷·理，5分)已知函数f(x)= sin(ox十g)在区间（需，）单调递增，直线r= 3.(2024·天津卷，5分)已知函数f(x)=sin3x十 若和x=云为函数)=f(x)的图象的两条相邻 )的最小正周期为元，则f(x)在[一登·]的 最小值为 ) 对称轴，则f一) A.、 B.- 3 2 C.0 A.、③ C.2 4.(2024·上海卷，4分)下列函数中，最小正周期 2 是2π的是 ( 5.(2022·浙江卷T6)为了得到函数y=2sin3x A.y=sin x+cos x 的图象，只要把函数y=2sin(3x+)图象上所 B.y=sin xcos x 有的点 C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2c A,向左平移警个单位长度 5.(2023·天津卷，5分)已知函数f(x)图象的一 B.向右平移等个单位长度 条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4，则 f(x)的解析式可能为 C.向左平移需个单位长度 A.r)-sin() B.f(x)-cos(2z) D.向右平移需个单位长度 Cfx)=sin(牙 D.fx)=cos(牙 22 6.(2022·新高考I卷，T6)记函数f(x)=11.(2025·上海卷，4分)函数y=c0sx在 sin(ax十平)+b(w>0)的最小正周期为T,若 【一·]上的值域为 π<T<,且y=f(x)的函数图象关于点12.(2024·全国甲卷·文，5分)函数f(x)=sinx- 2 √3cosx在[0，π]上的最大值是 (2)中心对称，则) ):13.(2024·北京卷，5分)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角3均以Ox为始边，它们的终边关 A.1 k昌 于原点对称.若a∈[后，引则cosB的最大值 c D.3 为 7.(2022·北京卷，T5)已知函数f(x)=cos2x一 ：14.(2023·新课标Ⅱ卷，5分)已知函数f(x)= sin2x,则 ( sim(aux十p),如图，A,B是直线y=号与曲线 A.f(x)在(-，一石)上单调递减 y=f()的两个交点，若AB=晋，则()= Bf(x)在(-至，)上单调递增 Cfx)在(0，）上单调递减 D.fx)在（年，）上单调递增 8.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷，T9)函数f(x)= sn(2x十p)0<p<x)的图象以(0中心对 :15.(2026·北京卷，13分)已知函数f(x)= 2sin wrcos2cos rsin 称，则 ( A.y-f(x)在(0，)单调递减 f)最小正周期为元，且f0)>0,()-1。 (I)求w,p的值； Bx)在(-是·受)有2个授值点 (Ⅱ)求f(x)的单调递减区间. C直线x=石是一条对称轴 山.直线y一x是一条切线 9.(2026·全国I卷，5分)已知f(x)=2sin(a.x十 0)(a∈Z,0≤0<2π)是偶函数，f(x)在区间0， )单调递增.则0= 10.(2026·上海卷，5分)己知三角函数f(t)= Asin(wt+p)+B(A>0,B∈R,w>0,0≤p< 2π)，若某物体的运动速度。关于时间t的函 数为)=f(t),当=0或=4时，其导数为 0,且初始速度为0，速度第一次达到4时，用时 0.1秒，则f(t)= 23 16.(2026·天津卷，14分)已知f()=sim2.r+3.(2024·北京卷，4分)设函数f(x)=sin wx (w>0).已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且 引： |x1一x2的最小值为交，则w= () (1)求最小正周期： A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若x∈【一吾，]求f(x)的最大值和最 4.(2022·全国甲（理）T11)已知f(x)=sinw.x+ 小值： (3)若e∈(0)sina=5,求fa). 等)在区间(0，x)上恰有三个极值点、两个零点， 则ω的取值范围是 A[层》 B c(侣】 (传别 5.(2022·全国乙（理）T15)记函数f(x)=cos(wx+ p)(w>0,0<p<π)的最小正周期为T.若f(T) 2,= 否为f(x)的零点，则。的最小值为 17.(2025·全国卷Ⅱ，13分)已知函数f(x)= cos(2x+9)0≤g<x).f0)=7 6.(2025·全国卷I,17分)(1)求函数f(x)= (1)求9 5cosx-cos5x在区间[0,4]的最大值： (2)设函数g(x)=f(x)+fx-),求g() (2)给定0∈(0，π)和a∈R,证明：存在y∈[a 的值域和单调区间！ 0,a+0]使得cosy≤cos0; (3)设b∈R,若存在p∈R使得5cosx-cos(5x 十o)≤b对x∈R恒成立，求b的最小值. 考向3由三角函数的性质求参数 1.(2026·北京卷，4分)f(x)=sin(x十p)(0<p <2π)，将f(x)的图象向x轴正方向平移30个 单位长度，得到的函数图象与f(x)的图象关于 x轴对称，则o的取值个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2025·全国卷I,5分)已知点(a,0)(a>0)是 函数y=21an(r-)的图象的一个对称中心， 则a的最小值为 ( A若 c D. 24增，x>0,即e0>1,x4>1,所以x=e5o 又因为e0-2.x。十ln=0,所以x1十x4=lnx十e0=2x, 即存在直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)从左到右的三 个交点的横坐标成等差数列. 21.解（由题意，得f)=ein(1+)十千则了0=eh(1+ e 0)+于0-1.又f0)=e1n1+0)=0,所以曲线y=f在点(0， f(0)处的切线方程为y=x. (2由1)知f(x)=eln1+x)+千z,则g(x)=cln1+x)+ 所以g(x)=h(1十x)+年+十 e e [(1+x)21n(1+x)+1+2x]e (1+x)2 令h(.x)=(1+x)21n(1十x)+1+2x, 则h'(x)-2(1+x)ln(1十x)十x十3， 所以对任意x≥0，h'(x)0, 所以h(x)在[0，十o∞)上是增函数， 所以h(x)≥h(0)=1>0, 所以对任意x≥0，g(x)>0, 所以g(x)在[0，十o∞)上单调递增. (3)证明对任意的s,t∈(0，+∞)，有f(s十t)>f(s)+f(t),即 对任意的s,t∈(0，十o∞)，f(s十t)-f(s)一f(t)>0恒成立， 令m(s)=fs十t)-f(s)-f(t)=e+ln(1十s十t)-eln(1+s) e'ln(1-1), 则m()=e[n1++0+i司]-c[h1+)+] 由(2)知g(x)在[0，十o∞)上单调递增， 故当s>0,t>0时，n'(s)=g(s十t)-g(s)>0, 所以m(s)在(0，十∞)上单调递增， 所以m(s)>n(0)=f(0十t)-f(0)-f(t)=0, 所以对任意的s,t∈(0，十o∞)，有f(s十t)>f(s)十f(t) 专题8三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换 考向三角恒等变换 1.C[三角恒等变换 解法一（三角变换法）由题可得6 sin acos2a=8sina(cos2a一 sina),结合a为第二象限角知sina>0,cosa<0,得4sina= osa国为ma十osa=1,所以ina=5,cmsa=-25,所以 5 1+sin a 1+9 1+9 2-cos a 2+252x(1+） 2,故选C 5 解法二（弦化切）因为a为第二象限角，所以sina>0,cosa<0, tana<0,sin2a≠0，结合3sin2 acos a=8 sin acos2a,知cos2a≠0， 于是得3an2a=8ana,利用二倍角公式知3X2Lang=8ana,得 1-tan'a ana=-分，则sina=5, 1+6 5 。sm一一二二，所以na】 2-cos a 2+2 5 =号，故选C] 2.D[二倍角公式十两角差的正弦公式十同角三角函数的基本关系 msa=20号-1=2X号-1=-号，因为0a<,所以ma 2 10·J 3.A[切化弦十两角和与差的余弦公式（理性思雏、数学探索） 由cos(a十)=n得cos acosB-sin asin B-m①.由tan atan B-2 得in asin2②，由①②得{cosa0oB二”，所以cos(a-m= cos acos B sin asin B=-2m' cos acos3+sin asin3=-3n,故选A.] 4,B[三角恒等变换（数学应用、数学探索）根据题意有 o0-号，即1-ma=号，所以ma=1-9,所以 cos a 3 3 an(a+牙） =tan a+1 28 -tan a =25-1,故选B.] 5.D[由题意，cosa 15-1-2sim号，得r号-85- 8 6-2√5 5-1 16 4 ,又a为锐角，所以sin受>0，所以in受 二1十5，故选D.] 4 (sin acos B-cos asin-3 6.B[依题意，得 ,所以sin acos B=2, 11 2 所以sn(a+m=sin os asin B=-立十=子，所以cos(2a+ 23=1-2sim(a+3)=1 2x(号)=故选] 2 7.D[解法-设=0，则sina十cose=0,取a=子x,排除A,C 再取a=0,则sin月叶c0sB=2sinB,取B=于，排除B;选D. 解法二由sin(a+)+cos(a+B)=V巨sin(a+叶牙） Esm[(a+)+] =Esin(a+于)os+Eoos(a+于)sinB 故2sin(a+于)）osB=Ecos(a+于)sinB 故sin(a+牙）eosB-cos(a+于）sinB=0, 即im(a+于-刷）-0， 数n(a-g叶子）号ina-m+。 cos(a-B)-0. 故sin(a-)=-cos(a-B),故tan(a-)=-l.故选D.] [二倍角的余接公式0s2a=1-2ma=1-2X日-器】 8.2 9.-22 3 [两角和的正切公式十同角三角函数的基本关系由题知 tan atan tan(a十B)=1-ana·tan31-√2-1 =-2√2，即sin(a十3)= -2√2cos(a十3)，又sin(a+)+cos2(a十B)=1,可得sin(a十3)= ±2.由2m<a<2kx+受，keZ.2mm+<B<2m+要n∈ 3 Z,得2(k十n)π十πa十2(k十n)π十2π，k十n∈Z.又tan(a十3) <0,所以a十B是第四象限角，故sin(a十)=-2y巨.] 31 10.- 5 [由 tan o=sino 1 os0Z,且0∈(0，乏)，解得 sin20+cos20=1 sin0- 5 cos0-2v⑤ 故m0os0=-] 5 1.1-万（告）=Asin吾-尽c0s晋=A-号-0，解得 A=1 fx)=sin-5cosx=2sin(r-号） 故f()=2sin(登号)=2n(-牙)-E.] 12.3告[a+g受smg产0sa,即3 in=西 10 10 则0sin(a-0》=0,…a-0=交+2kx,k∈Z,即a=0 号+2 六ma=n(0+交+2x）=oms0-3 10 则c0s29=2osg-1=2sma-1=号 故答案为3合] 专题9三角函数的图象和性质 考向1三角函数的图象 1,C[根据图象判断解析式由题图可知f(x)为奇函数，对D, f(-x)=(-x)sin(-元x)=xsin元x=f(x),排除D.由题图可知，0 <(2)<1,对A1(2)之+1>1，排除A:对Bf(合) 立-1<0，排除B故选C.] 2.C[正弦函数的图象与性质（理性思维、数学探索） 数形结合法周为函：y=2如(3：一吾）的最小正用期T-要。 所以画数y=2sim(3-音）在[0,2]上的图象恰好是三个周期的 图象，所以作出画数y=2sn(3x-否）与y=inx在[0,2]上的 图象如图所示， Y 由图可知，这两个图象共有6个交点，故远C.] 3.C[把函数y=c0(2红+若)的图象向左平移否个单位长度后得 到函数f(x)= o[2(x+看)十6]=os(2x+)=-im2z 的图象，作出函数f代)的部分图象和直线y=分一之如图所示 观察图象知，共有3个交点故选C.] y=-sin2x 1D[由题多得之×侣-登一音，解得。-2，易知一音是 的最小值点，所以晋×2十g=受+2张x(k∈Z,得g=吾十2x k∈D,于是f(x)=sin(2x+2g+2kx）=sin(2x+5） f(-)=如（受×2+吾）=m吾-9故选] 5.D[因为y2n3x-23(一)十】所以起画载y 2sim3:+于）图象上的所有点向右平移需个单位长度即可得到 函效y=2sin3.x的图象.故选D.] 6.[2,3)[函数f(x)=cos wx一1在区间[0,2π]有且仅有3个零点， 即cos wr=1在区间[0,2π]有且仅有3个根，因为w>0,x∈[0， 2元]，所以w.x∈[0,2wπ]，则由余弦函数的图象可知，4π2wπ<6π， 解得2w<3,即w的取值范固是[2,3).] 考向2三角函数的性质及应用 1A三角西数的因象与丝质周方在[一登局司]上单调老 增且一音为f()圈象的一条对称轴，所以之×经>音 -10 (-登)f(正)-im(2+g）-1,得0<w≤2，且是u+g= 受十2（点∈D①，因为（否，0）是f(x)图象的一个对称中 心，所以f(于)-sin(子u十g）=0,得吾a十g=:k:∈) ②，由①②得w=-2十4(k2一2k1)(k1,k,∈Z),结合0<w≤2，得 w=2,(另解：由题意得直线x=变与点（于，0）是f()圈象相邻 的对称轴和对称中心，则×2=答-是，解得山=2)则9 吾+2x(∈Z,又-<g<,所以g=号，故f()= n(2+当r[0,]时，2z+苓∈[登，皆]所以 的最小值为（受）=如经=号，故选A] 2.BC[三角函数的图象与性质十零点（理性思维） 直接法对于A,令(r)=0,则x=,k∈乙，又g()≠0，放A 2 错误： 对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确： 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为元，故C正确； 对于D)图象的对称轴方程为2x=受十m,k∈，即x=于十 经，k∈工，g)图象的对称轴方程为2红一于=受十k,k∈乙即 2 工=+红，k∈乙，故f()与g(x)的图象的对称轴不相同，故D 错误.故选BC.] 3.A[三角函数的图象与性质（理性思雏）由f(x)的最小正周期为 ,可得=器所以u=号，所以)=m(2十利=一n2x当 x[-意晋]时，2xe[-吾，晋]m2x[-,]所 以fx)m=一，故选A] 2 4.A[三角函数的周期性对于A,y=sinx十cosx=√2sin(x十 宁)，其最小正周期为2x,A正确：对于B,y=smx0sx=7sn2红 其最小正周期为π，B错误；对于C,y=six十cosx=1,为常值函 数，不存在最小正周期，C错误；对于D,y=sinx一cos2x=一cos2x, 其最小正周期为π，D错误，故选A.] 5.BC对于A)=如（受最小正周期为任=4，因为f代2》 2 sin元=0，所以函数f(x)=sin 受的图象不关于直线x=2对称， 故排除A;对于B,f(x)= （空最小正周期为红=4，因为 f2)=s=-1,所以函数)=m受的图象关于直线 2对称，故选项B符合题意：对于CD,函数y=m(牙和y Q0(于的最小正周期均为红-8，均不特合题意，故排除C,D 4 综上，选B.] 6.A[w-平∈(2,3)y=的函数图象关于点（受2）中心对称。 则有=2，且f(受)=2，所以sn(+子)十2=2，则受。 子-2kmk长Z:解得w-86。,由w∈(2,3)得k=2,-号，故 6 (受)=m(号×受+平)+2=-1+2=1.] 7.C[f(x)=cosx-sinx=cos2x,选项A中：2x∈（-，-于） 此时f(x)单调递增，选项B中：2x∈（-，否)此时f(x)先递 5 增后递减，选项C中：2x∈(0）此时f()单调递减，选项D 中：2x∈（受，吾）此时）先递减后遥增：所以选C] &AD[由题意得f(得)-n(皆+e)=0, 所以皆十军=，即g=-受+6∈乙。 2π 又0<g<元，所以k=2时，93， 故)=sn(2x+受)） 选项A:(,登)时2z+受∈(，受）由=nu图象知 y=f(x)是单调递减的； 选项B(音步)时2红+要∈（受，受）由y=血“图 象知y=0只有1个极值点，由2+号-受可解得板值点： 选项C:x=后时2x+2=3,y=f()=0,直线x=晋不是对 称轴； 遮预D,由y-2m(2r+等)-1得c(2+号）- 解得2x+经-号+2kx或2x+号=号+2k,k长Z 从而得工=r或x=苓十m,k∈乙， 所以画数y=()在点(0，号)处的切线斜率为=y- 2ms-1 切线方程为：y一 2 =-(-0)即=9-] 9.经1[三角函数的性质 若a=0,则f(x)为常函数，不符合题意，故a≠0.由f(一x)=f(x) 知2sin(-ax十)-2sin(ax+),故cos Osin ar-0,因为sin ar不 恒为0，故os0=0,由0区0<2x得0=受或0=要.因为f(x)在 (0,受)上单羽造增，所以最小正月期T=否≥，即a≤2，则 a=1或a=2. 当0=受时，x)=2sn(ax+受）=2 csa=2 cos al,为偶函 数，()在(0，）上单调递减，不符合题意. 当-受时，m)=2n(ax+受)】 =一2 cos ax,为偶函数，f(x)1 在(0，受)上单调递增，符合题意. 故0-受f(）)=-2osa=1.] 10.一2cos(10)+2[三角函数的图象与性质由题知v的最小值 是0，最大值是4，则A+B=4,一A十B=0,得A=2,B-2.设f(t)· 的最小正周期为T,因为最小值到相邻的最大值经历半个周期，所 以号=吾=0,1，得。=10m由初始接度为0，得f0)=0,即 2si9十2=0，结合0≤9<2m可得9=经，故f()= 2sin(10+暨）+2=-2cos(10u)+2.] 1.[0.[余孩品数的值线由[一受，]得o0sr0 1].] l2.2[辅助角公式十三角函数的最值由题意知f(x)=sinx- os=2sn(-吾）小当e[0,对时，x-吾∈[-吾，1 ∴m(-吾)[-号.]，于是f)∈[-，2]，放f(x)在 [0,π]上的最大值为2.] 1.- 一[角的概念十诱导公式十余弦函数的性质（理性思维、数学 探索)因为a与B的终边关于原点对称，所以B=2kπ十元十a(k∈！ 10 ,所以cosB=cos(2kr+元+a)）=-osa.因为a∈[石，号] 所以cosa∈ 的最大值为一 2.1 2 [对比正孩画数y=inx的国象易知，点（行，0）为“五点 （画图)法”中的第五点，所以子。十p=2x①。 由题知AB=xB一xA 6 ,两式相减，得ω(xB )=，即。=，解得w=4 代入0，得g=一答，所以)=血(x-)】 3 =-sin 2r一 5.三角恒等变换十三角函数的单调性、最小正周期 解（I)第1步：利用三角恒等变换，将原式化为标准正弦型 【利用两角和的正弦公式化简函数】 f(x）=2 sin wrcos十2 cos wrsin=2sin(wx+p). (2分) 第2步：结合周期公式与给定范围，求解参数ω 已知f()最小正周期T=元，由周期公式T=2红 结合w>0得2红=元，解得u=2. (4分) 第3步：结合已知条件求解参数© 所以f(x)=2sin(2x十g),依题意有f(0)=2sinp>0,结合g< 受，得g(0,受)） f(于）-2sin(2×于+g）-2sin(径+9）-2osg-1>os9 故w=2,9=子 (7分) (Ⅱ)（三角函数的单调性法）第1步：写出正弦函数的单调递减 区间 由(I)得f)=2sin(2x+) 正弦函数y=sinw的单调递减区间为 [+2km,经+2k (k∈Z),(易错点：忽略k∈Z) (10分) 第2步：解关于x的不等式 令a=2x+晋，则号+2x<2x+吾<暨+2xk∈0， 化简得，音十a≤<径+（∈， (12分) 第3步：写出最终单调递减区间 所以)的单调运减区间为[臣+k,径+]k∈红13分》 6,三角函数的最小正周期、最值十三角恒等变换 解1)对于八x)=in(2x+吾）函数)的最小正周期T- (2分) (2)第1步：求2x十音的范围 因为x[-否]所以2x+吾∈[-吾，] (3分) 第2步：利用正弦函数的图象和单调性求(x)的最值 根据正弦函数的图象和单调性可知， 当2x十6 =号，即x=是时，)取最大值，fx)=sin号 2, (5分) 当2x十6 ，即=一吾时，取最小值，fx sin(-若）-2 (7分) 综上，的藏大值为，最小值为一合 (8分) 2 (3)第1步：利用同角三角函数基本关系求cosa 因为长(0，受）所以osa=个一m。-写 (9分)1 第2步：利用二倍角公式求cos2a,sin2a 所以6os2a=1-2sina=1-号=寸，n2a=2na0sa=2X 5×622 3 3 3 (12分)： 第3步：利用两角和的正弦公式求f(a) 所以/a)=sn(2a+若）=n2acos晋 cos 2asin 6- 元2× 3 +×2 6 (14分)1 17,三角函数的解析式十值域+单调区间 解(1)国为f0)=c0s9=号，且0≤g<元，所以g=否 (2)第1步：化简g(x) g)=x)+f(-晋）=os(2x+号)十cos2x -os2cos-sin2sin+es2x=号cos2x-in2 3 =5(cs2x-合sn2z）=5as(2z+若） 第2步：求g(x)的值域 因为余弦函数y=c0s0的值城是[-1,1小，令0=2x十吾，那么函 数y=√3cos0的值域就是[-√5，W,所以g(x)的值域为[一√5， √3. 第3步：求g(x)的单调区间 易知余弦函数y=c0s0在[一π十2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，令！ 2kxx≤2x十晋≤2（∈0，得-登≤≤x-音(k∈D, 所以g的单调适增区间为[红一资kx晋]k∈. 易知余弦函数y=cos0在[2k元，2kπ十π](k∈Z)上单调递减，令 2张≤2十音≤2张x(∈，得x一是≤红+登（∈D, 所以R()的单调递减区间为[kx一是，kx十]∈D。 考向3由三角函数的性质求参数 1.C[图象的平移十三角函数的图象与性质 (直接法十公式法)将f(x)的图象向x轴正方向平移39个单位 长度，得到g(x)-f(x-3g)=sin(x-2p)的图象.因为g(x)的图： 象与fx)的图泉关于工轴对称，所以3即为号(T为x)的最小 正月期)的寺载倍.又号=吾=，所以3即=bk=2m十1n∈， =经(k=2m十1，n∈，又0<<2，所以9=号，元，号，故 即9一3 5 选C,] 2B[正切函载图象的对称性令一吾-经k∈乙得-经+ 冬，k∈五，故y=21am（-夸）的图象的对称中心为 (凭+于，0）k∈Z,由题意如a=俨+于，k∈N,其最小值为 号故选B] 3.B[正弦函数的图象与性质（理性思维）因为f(x)=sin wr∈！ [-1,1,且x)=-1,x)=1,x一m=,所以fx) 的最小正周期T=2X受=，所以w年=2.故选B 考向预见对三角函数的图象与性质的考查是历年来高考的热： 点，主要从以下两个方面进行考查：(1)三角函数的图象，涉及图象 的平移变换何题以及由图象确定解析式间题，主要以选择题、填空！ 题的形式考查，如2023年全国甲卷文、理科都考查了图象的平移1 变换；(2)利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值！ 域、单调区间等，如本题考查根据正弦型函数的特征求参数，」 4.C[依题意可得仙>0，因为x∈(0，π)，所以wx十 于∈（子x+) 要使函数在区间(0，π)恰有三个极值，点、两个零，点，又y=six,x∈· （子，3x)的图象知下所示， 10 -2 则受<am十<3x,解得<≤号，即a∈（侣，故 2 6 选C.] 5,3[因为f(x)=cos(r十g),(w>0,0<g<π) 所以最小正月期T-恶，同为TD=c@(如·径+e）o2x p》==9 又0<<，所以9=吾，即)=c0(a+若） 又工=吾为八x)的零点，所以音十百=受十，k∈五，解得 3+9k,k∈Z, 因为w>0,所以当k=0时仙mm=3. 故答案为：3.] ,函数与导数的关系十三角函数的图象与性质 解(1)解法一第1步：求∫(x) 因为f(x)=5c0sx-cos5x, 所以f(x)=-5sinx十5sin5.x. 第2步：令∫(x)=0,求出导函数的零点，讨论函数f(x)的单调性 令f()=0,得sinx=sim5x,又x∈[0，]所以x=5r成x- 元-5x, 所以x=0或x=吾 所以x,∫(x),f(x)的关系如表所示： 0 (0) 石 (管] f(x) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步：求八x)在区间[0，子]的最大值 因为f(）=5s音-os 5π=35， 所以画数f八x)=5c0sx-c0s5r在区间[0，于]的最大值为3. 解法二第1步：求(x) 因为f(.x)-5cosx-c0s5x, 所以f(x)=-5sinx+5sin5x 第2步：对∫(x)提取公因式，进行分析 f(x)=5(sin xcos 4x+sin 4xcos x-sinx)=5sin x(cos 4x 4cos2x·cos2x-1)=5sinx·4cos2x(1-4sin2x), 易得当r[p]时，5sinr·4ox≥0，令f)>0,得xf (0,否)令f(x)<0,得x(告，] 第3步：写出x,f(x),f(x)的关系 所以x,f(x),f(x)的关系如表所示： x 0 (] f'(x) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增极大值 单调递减 第4步：求x)在区间[0，于]的最大值 5π=35， 因为f(）=5cos-cos 所以函数)=5c0sx-os5x在区间[0，晋]的最大值为35， 解法三第1步：求导并化简 由题得f(.x)=-5sinx十5sin5.x-5X2cos 2 2 10sin 2xcos 3x, 第2步：写出x,(x),f(x)的关系 由x∈[0，]，得sin2x≥0，放x,f(x,代x)的关系如表所示： 0 (0,） (】 f(x) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步：求，)在区间0，年]的最大值 国为f(）=c0s吾-cos晋=35， 所以函数f(x)=5c0sx一c0s5x在区间[0，于]的最大值为3瓦. (2)解法一第1步：根据周期性写出a的范围 因为余弦函数的周期为2π，所以不妨设a∈(0,2]， 第2步：分a≤20和a>20两种情况讨论 当a≤20时，a一0≤0，则0∈[a一0，a+0),此时存在v=0,使得 c0sy=cos0:(6分) 当a>20时，0<a-02π-0， 作出余弦函数的大致图象（如图所示）， 0-02-0 所以cos(a一0)cos0, 只需要取y=a一0，即可得到cos ycos日. 第3步：得出结论 综上可得，给定0∈(0，元)和a∈R,存在y∈[a-0,a+]使得cosy ≤cos0. 解法二（反证法）第1步：假设结论不正确 假设cosy>cos0对任意y∈[a一0，a十0们恒成立， 第2步：根据余弦函数的图象与性质得出y的取值范围 由cosy>cos0得2kπ-0<y<2kπ十0，k∈Z,这与a∈R,任意y∈ [a-0,a十]矛盾， 所以假设不正确，故一定存在v∈「a一0，a十们使得cos vcos0. 解法三（综合法）第1步：利用两角和与差的余弦公式探寻关系 因为cos(a十0)+cos(a-0)-2 cos acos02cos0, 所以cos(a十0)与cos(a一0)中必有一个小于等于cos0. 第2步：反证法证明以上结论 否则cos(a十)>cos0,cos(a-0)>cos0,这与cos(a十0)十cos(a 0)=2 cos acos2cos0矛盾. 第3步：得出结论 所以一定存在y=a-0或y=a十0，使得cosy≤cos0, 所以对于给定0∈(0，π)和a∈R,存在y∈[a一0，a十们使得cosy≤ cos 0. (3)第1步：特殊值=0探路 令h(x)=5cosx-cos(5.x十g),当9=0时，因为h(x)=h(一x), h(x)=h(x十2π)，所以h(x)为偶函数，且2π为h(x)的周期，所以 诗论h()在[0,2m)上的情况，由(1)可知h()在(0，音)上单调 递增，在（告，晋）上单调递减，在（语x)上单调远增，站合对称 性，及h(π)=一4，可知x∈[0,2π)时h(x)≤3√3，所以此时b的最 小值为3√5. 第2步：根据口的任意性，将问题进行转化 要证3√5为b的最小值，对于任意的，只需要证明h(x)的最大值 不小于35， 只需要证明存在x。,使得h(x。)≥3√5. 第3步：利用(2)的结论进行求解 当x≤若时，令。=5x十9，则，∈ 由(2)可知，取0=5π， a,可得存在%【晋+,晋+使 2 3 所以h()=5c0s-c0s(5十p)=5c0sx-c0s%≥5X气 ()=3 综上可得，bmim-3√3. 专题10解三角形 考向1正、余弦定理的简单应用 1.A[余孩定理的应用通解coA=+B)+6-4 2(1+√5)×√6 得-号周为0A<1将以A=5 光速解10秒（根据边的大小关系排除）因为BC<AC,BC< AB,所以A为最小角，所以A<60°，排除B,C,D,故远A.] 2.C[正、余弦定理在解三角形中的应用（理性思雏、数学探索）由 正弦定理得号-sin Asin C=sinB,因为B=答，所以sin Asin C= 号simB=子由余孩定理得6=d+c-2ac·c0sB=a2十 ar=号ac,所以d+e=只ac,所以sinA+sinC-=9 ininC. 4 所以(sinA+snCP=sirA+inC+2 sinsinC=2头sinsinC= ，又snA>0,nC0,所以snA+nC-] 7 3.CL因为acos B一bcos A=c,所以由正弦定理得sin Acos B- sin Bcos A=sinC=sin(B+A),则2 sin Bcos A=0.在△ABC中， sinB≠0，则c0sA=0,A=交.所以B=元-A-C=x-受-吾- 晋故选C] 4.3酒[正孩定理由mA=-子得s血A压，由正孩宠理 16 4 可得BC=AC 好n所以snBC0A-3厘] BC 16 5.√/3-1「设CD=2BD=2m>0,则在 △ABD中，AB=BD+AD2-2BD ·ADcos∠ADB-m2+4+2n,在 △ACD中，AC=CD'+AD-2CD· B AD os∠ADC-m+4-4m,所以AC = 4+4-4m-4(m2+4+2m)-12(1十m)=4- 12 n2十4十2n m2十4+2m (m十1)+ 3 m十1 12 4- ==4一2√3，当且仅当n十1= 3 7 2√m+1)7 n+1 3-1时，等号成立，所以当能取最小值时，m=B-1.故答案为： w3-1.] 考向2正、余弦定理的实际应用 1.12.58°「三角函数的应用解法一设平行光与水平 面的夹角为α，由点A处杆子在水平面上的影子长度为 1 /6.45B 0.4米，得ana=。=号，点B处杆子的影子完全在斜F一0】 面上，长度为0.45米，如图，BF-0.45,BO-0.45sin0,(OF- 0,45os0:ma=an∠EP0-1959-,结合sing 0.45cos0 cos20=1,解得0≈12.58 解法二如图，由题可设∠D=∠E=a, ∠EFB=3.在Rt△DAC中，AC=0.4, 1D=1,则tana三三，sina- 2 cos a c √/29 =在△BF中，BE=05,E=1,剧8对m= 酒m需对a0-m(管-血a》 40 sin acos叶osin-2V70+20,解得012,58.] 261 8