综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，分AB卷分层训练，综合测试卷聚焦核心考点，通过基础巩固与能力提升构建知识网络，培养抽象能力、空间观念与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|1题|条件判断|概念辨析→逻辑推理| |复数|2题|虚部、共轭复数|定义→运算→几何意义| |立体几何|8题|线面关系、距离计算|空间观念→位置关系→度量计算| |解析几何|13题|圆锥曲线定义、离心率、直线与曲线位置关系|概念→性质→综合应用| |向量|9题|坐标运算、数量积|线性运算→坐标表示→几何应用|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数，则复数虚部为（    ） A． B． C． D． 3．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、 两点，且，则弦的长为（　　） A． B．4 C． D． 4．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．椭圆的短轴长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．已知，，则向量的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．三条直线交于一点，可以确定平面的个数为（    ） A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．6个 8．双曲线的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．下列说法正确的是（    ） A．不同平面的大小是不同的 B．经过不同的三点有且只有一个平面 C．如果，，那么 D．如果，，且，，那么 10．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 11．下列说法正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 12．下列四式中不能化简为的是（   ） A． B． C． D． 13．若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 14．已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 16．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线．给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 17．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 18．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 20．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________．    22．已知方程，若此方程表示椭圆，则实数的取值范围是________；若此方程表示双曲线，则实数的取值范围是________. 23．在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为_________. 24．正方形ABCD的边长为1，E是AB上的任意一点，则____________. 25．经过、两点的椭圆的标准方程是________． 26．双曲线的离心率为______． 27．“”是“复数是纯虚数”的______条件.（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分又不必要”） 28．已知向量，.若，则 ______. 29．已知为等腰直角三角形，，点为的重心，若以、为双曲线的两顶点，且双曲线过点，则双曲线的离心率为______. 30．如图，四面体中，，平面平面，，，则______. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知向量，，，且，. (1)求和的值； (2)计算． 32．椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为. (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的斜率为2的直线交椭圆于A、B两点.求面积. 33．如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．      34．已知点为中边上一点，． (1)设，求的值． (2)设，求的值． 35．已知椭圆的右焦点，短轴长为2.求椭圆的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，再根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】由得或 因此“”“或”， “或” “”， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 2．已知复数，则复数虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数乘除法、共轭复数以及虚部的概念即可得解. 【详解】由题意， 所以的虚部为. 故选：B. 3．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、 两点，且，则弦的长为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】将弦的长转化为，到焦点的距离之和，再根据抛物线的定义可求解. 【详解】由抛物线可知，其准线方程为， 因为，经过抛物线的焦点，且， 所以. 故选：C 4．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误； B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误； C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误； D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确. 5．椭圆的短轴长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】将椭圆方程化为标准方程，求出值，结合椭圆的几何性质即可得解. 【详解】椭圆，化为标准方程为， 则，短轴长， 故选：. 6．已知，，则向量的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量求法计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以向量的单位向量为. 故选：C. 7．三条直线交于一点，可以确定平面的个数为（    ） A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．6个 【答案】C 【分析】利用平面的基本性质可判断. 【详解】如图，直线与确定平面，若直线在平面内，则三条直线交于一点可确定一个平面； 如图，直线与确定平面，若直线不在平面内，则三条直线交于一点可确定三个平面； 综上三条直线交于一点，可以确定1个或3个平面. 故选：C. 8．双曲线的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先求得，进而求得焦点坐标. 【详解】因为，，所以，得， 所以焦点坐标为和. 故选：C 9．下列说法正确的是（    ） A．不同平面的大小是不同的 B．经过不同的三点有且只有一个平面 C．如果，，那么 D．如果，，且，，那么 【答案】D 【分析】由平面的定义，平面的性质及符号表示即可得解. 【详解】选项，因为平面是无限延展的，无大小边界，故错误. 选项，经过共线的三点，有无数个平面，故错误. 选项，如果，，那么或，故错误. 选项，如果，，且，，那么，故正确. 故选：. 10．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】先用焦点坐标将抛物线方程计算出来，再根据抛物线的定义得到点到焦点的距离等于其到准线的距离，结合线段间的不等关系，即可得到. 【详解】由是抛物线的焦点，得，即， 故，其准线方程为， 当时，有，即，故点在抛物线上方， 由抛物线定义可知，点到焦点的距离等于其到准线的距离， 则. 故选：A. 11．下列说法正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断，即可求解. 【详解】单位向量是指模等于的向量，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反，当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以A选项错误； 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，所以B选项错误； 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行，因为零向量与任意向量都平行，所以C选项错误； 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，所以D选项正确. 故选：D. 12．下列四式中不能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法运算易得答案． 【详解】A选项，，故不选； B选项，，故不选； C选项，，故选； D选项，，故不选． 故选：C． 13．若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，将直线方程与椭圆方程联立，由可求得实数的值. 【详解】因为方程表示的曲线为椭圆，则， 将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得， 则，解得. 故选：C. 14．已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据向量减法的坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】， 所以， 故选：D. 15．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线的倾斜角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意找到双曲线的顶点与焦点，求出双曲线的方程及渐近线方程，找到倾斜角的正切值，进而找到倾斜角的正弦值. 【详解】椭圆焦点坐标为，顶点坐标为， 故双曲线中，由， 所以双曲线的方程为，渐近线的方程为， 设倾斜角为，得，由同角三角函数的基本关系，可得. 故选:D. 16．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线．给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据给定条件，举例说明判断①②；利用线面垂直的性质推理判断③④作答. 【详解】如图，长方体中， 对于①，令平面为平面，直线分别为直线m，n，显然有，， 而直线m，n相交，①不正确； 对于②，令平面，平面分别为平面，，直线为直线m， 显然有，，而平面与相交，②不正确； 对于③，因，，则，又，因此，③正确； 对于④，因，，则，又，因此，④正确， 所以正确命题的序号是③④. 故选：D 17．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】首先根据题意得到的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支，从而得到曲线.再根据双曲线的性质求长度最小值即可. 【点睛】椭圆，，所以. 设以为直径的圆圆心为，如图所示： 因为圆与圆外切，所以， 因为，， 所以， 所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支. 即，曲线. 所以为曲线上的一动点，则长度最小值为. 故选：C 18．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线线、面面的位置关系举反例，可知A、B、D错误，根据线面垂直、线面平行的性质及面面垂直的判定定理可证明C正确. 【详解】对A选项，若，则与可能平行，故错误； 对B选项，若，则与可能异面，故错误； 对C选项，因为，所以，又因为，由线面平行的性质可知，在内存在直线与平行，从而有，，所以.故正确； 对D选项，若，则与可能平行，故错误； 故选：C 19．已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将点代入解析式中求出，再根据抛物线方程写出准线方程即可. 【详解】因为为抛物线上一点， 所以，解得， 所抛物线的方程为， 所以准线方程为. 故选：C. 20．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数几何意义得，再利用共轭复数定义即可得解. 根据题意，则. 故选：D. 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________．    【答案】 【分析】根据平面向量的加减法、数乘运算，以及数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，，, , 故答案为: . 22．已知方程，若此方程表示椭圆，则实数的取值范围是________；若此方程表示双曲线，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】分别根据椭圆、双曲线的标准方程的特征建立不等式即可求解. 【详解】当方程表示椭圆时，则有且，所以的取值范围是； 当方程表示双曲线时，则有或，所以的取值范围是. 故答案为：； 23．在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为_________. 【答案】 【分析】根据面面平行，将面面距离转化为点面距离，利用等体积法即可求解. 【详解】由于故四边形为平行四边形， 故平面,平面,所以平面， 同理可得平面，又平面， 因此平面， 故点到平面的距离即为平面与平面之间的距离， 设到平面的距离为，为边长为的等边三角形， 故,所以， 故， 故答案为：    24．正方形ABCD的边长为1，E是AB上的任意一点，则____________. 【答案】 【分析】利用向量的线性运算和数量积的定义、运算律可求的值. 【详解】 , 故答案为：. 25．经过、两点的椭圆的标准方程是________． 【答案】 【分析】设所求椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出所求椭圆的标准方程. 【详解】设所求椭圆的方程为， 将点、的坐标代入椭圆方程可得，解得， 因此，所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 26．双曲线的离心率为______． 【答案】4 【分析】根据双曲线的方程求出再结合圆锥曲线的离心率公式，可得该双曲线的离心率. 【详解】由双曲线方程为可得， 所以离心率. 故答案为:4. 27．“”是“复数是纯虚数”的______条件.（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据纯虚数定义，可以得到且，进而下结论. 【详解】因为复数是纯虚数且，所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 28．已知向量，.若，则 ______. 【答案】1 【分析】由两向量垂直的坐标运算求出即可. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：1. 29．已知为等腰直角三角形，，点为的重心，若以、为双曲线的两顶点，且双曲线过点，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【分析】建立坐标系，设出双曲线的方程，利用双曲线E过点B，求得b的值，求得离心率. 【详解】不妨设，为的中点，则， 由为等腰直角三角形，，得， 以线段中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 双曲线的实轴长，则，设双曲线的方程为， 由点在双曲线上得，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：2 30．如图，四面体中，，平面平面，，，则______. 【答案】13 【分析】取的中点，连接，利用面面垂直证明线线垂直，然后利用勾股定理求即可. 【详解】 取的中点，连接，因为，，， 所以，所以. 因为，是的中点， 所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在中，， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知向量，，，且，. (1)求和的值； (2)计算． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示列方程求解即可. （2）根据向量线性运算的坐标表示求值即可. 【详解】（1）已知向量， ，， 由可得， 解得． 由可得， 又因为，解得. （2）∵，， ∴ 32．椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为. (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的斜率为2的直线交椭圆于A、B两点.求面积. 【答案】(1)椭圆方程为，离心率为 (2) 【分析】（1）根据椭圆定义得到，，进而求出，得到椭圆方程和离心率； （2）直线方程为，联立椭圆方程，得到，求出，并求出点到直线的距离，计算出三角形面积. 【详解】（1）由题意得，，解得， 故， 故椭圆的标准方程为， 离心率为； （2）直线方程为，联立得， ，解得， 故， 不妨设， 故， 点到直线的距离为， 故. 33．如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．      【答案】，，， 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则与坐标表示分别表示每个向量． 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则得， ，，，． 34．已知点为中边上一点，． (1)设，求的值． (2)设，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求得，由此求得. （2）根据向量数量积运算求得的值. 【详解】（1）因为．所以． 所以． 所以．所以． （2） ． 35．已知椭圆的右焦点，短轴长为2.求椭圆的方程. 【答案】 【详解】由题意得，椭圆的半短轴长，半焦距， 因， 故椭圆的标准方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $