综合测试卷（四）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣中职数学拓展模块一上册，以AB卷分层巩固+综合测试卷实战模拟构建知识网络，覆盖向量、圆锥曲线、立体几何等核心考点，注重基础到综合的逻辑递进 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-6、19等|侧重概念辨析与性质判断（如向量共线、逻辑条件）|从单一概念理解到性质应用，培养抽象能力与推理意识| |计算应用|单选4-5、10、填空23等|强调公式直接应用与运算准确性（如椭圆焦点、双曲线方程）|结合几何直观，强化运算能力与空间观念| |综合应用|解答34-35|注重多知识点整合（如椭圆与抛物线综合）|通过问题解决构建知识网络，发展应用意识与创新意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则（   ） A．4 B． C． D．8 3．已知p是q的必要条件，s是r的充分条件，p是s的充要条件，则q是r的（    ）条件 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是椭圆C：的一个焦点，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 5．实轴长为10，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．一个椭球形西瓜任切3刀，切出的西瓜块数最多为（    ） A．6块 B．7块 C．8块 D．9块 8．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 9．下列各组的两个向量中，互相共线的向量是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．椭圆的焦点坐标是：（    ）． A． B． C． D． 11．已知点P与共线，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 12．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 13．已知是虚数单位，，则（ ） A． B． C． D． 14．已知，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知曲线，该曲线的长轴长度为（   ） A． B． C． D． 16．在中，若，将该三角形沿折成直二面角后，则的余弦值是（    ） A．0 B．1 C． D． 17．在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（    ） A． B． C．2 D． 18．已知表示平面表示两条不同直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．下列各量中是向量的是（　　） A．质量 B．长度 C．硬度 D．力 20．已知实数构成一个等差数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是________． 22．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________. 23．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是__________. 24．在正方体中，若为的中点，则直线与侧面所成角的正弦值为______． 25．下图是由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的____条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）      26．写出“ ”的一个充分不必要条件：_____(写出符合条件的一个答案即可） 27．在中，，则____________． 28．已知向量，，设，的夹角为，则______． 29．若，且，则的最大值为___________. 30．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是_______. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知向量满足，，且在上的投影向量为. (1)求及的值； (2)若，求的值. 32．如图，点O是正六边形的中心，写出：    (1)与相等的向量； (2)的相反向量； (3)与共线的向量． 33．如图所示，已知正方体的棱长为1，．求：    (1)与平面所成的角的正切值； (2)二面角的大小． 34．已知椭圆，为左焦点，为上顶点，为右顶点，且，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)求抛物线的标准方程； (3)直线过点，与和的交点分别是和，且，求直线的方程. 35．如图所示，椭圆C的焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆C的右焦点相同，且与椭圆C交于A，B两点，四边形的周长为32． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为椭圆C上的一点，且与x轴垂直，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法运算可解. 【详解】； 故选：B. 2．若，，，则（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据内积的定义可求解. 【详解】由题可得 . 故选：D 3．已知p是q的必要条件，s是r的充分条件，p是s的充要条件，则q是r的（    ）条件 A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的传递性即可得解. 【详解】因为p是q的必要条件，s是r的充分条件，p是s的充要条件， 所以， 则，即，但无法确定是否有， 所以q是r的充分条件. 故选：A. 4．已知是椭圆C：的一个焦点，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由焦点位于y轴可得长轴长度和焦距，通过椭圆中长轴长度、短轴长度和焦距的数量关系进一步即可求出a. 【详解】因为位于y轴，那么半长轴为，焦距为4，那么，进一步. 故选：A. 5．实轴长为10，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的实轴长和虚轴长得出，进而得出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的实轴长为10，虚轴长为8，且焦点在x轴上， 所以，即， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 6．已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的概念，逐项分析即可. 【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A选项错误； 对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B选项错误； 对于C，向量，为单位向量，则，C选项正确； 对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D选项错误. 故选：C. 7．一个椭球形西瓜任切3刀，切出的西瓜块数最多为（    ） A．6块 B．7块 C．8块 D．9块 【答案】C 【分析】根据平面的性质，结合题意，即可求解. 【详解】 如图所示，横切2刀，竖切一刀，共可分8块. 故选：C. 8．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算，结合复数的定义得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为， 又的实部与虚部相等，则，所以． 故选：A． 9．下列各组的两个向量中，互相共线的向量是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标表示可求. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C. 10．椭圆的焦点坐标是：（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程，判断焦点在轴上，再根据得到焦点坐标. 【详解】∵椭圆， ∴椭圆焦点在轴上，，， 得到. 故焦点的坐标为. 故选：C. 11．已知点P与共线，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可. 【详解】设，则， 由三点共线，则，所以， 则. 选项A，，不满足，故A错误； 选项B，，满足，故B正确； 选项C，，不满足，故C错误； 选项D，，不满足，故D错误. 故选：B. 12．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程与椭圆方程，再利用韦达定理及弦长公式求解即可. 【详解】联立直线方程与椭圆方程：， 整理得：. 根据韦达定理有：. 因此弦长：. 故选：B. 13．已知是虚数单位，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法求出，再根据模的公式求解即可. 【详解】因为，所以. . 故选：C. 14．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量内积的坐标运算计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选:C. 15．已知曲线，该曲线的长轴长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将曲线方程化为椭圆的标准方程，再由标准方程确定的值即可求解． 【详解】因为曲线方程为， 两边同时除以，得到， 所以该曲线为椭圆，则， 椭圆的的长轴长度为， 故选：B． 16．在中，若，将该三角形沿折成直二面角后，则的余弦值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二面角的定义，即可求解. 【详解】    因为在中，， 将该三角形沿折成直二面角后，, 所以为二面角的平面角， 即， 所以. 故选：A. 17．在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意可知是线段的中垂线，从而可得结果. 【详解】由得是的中点， 又由得，所以. 故选：B. 18．已知表示平面表示两条不同直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据立体几何中的线面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若，则或，故A错误； 若，直线a与b位置关系不能确定的，可能平行、相交或异面，故B错误； 两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直这个平面的，故C正确； 垂直于同一个平面的两条直线平行，故D错误. 故选：C. 19．下列各量中是向量的是（　　） A．质量 B．长度 C．硬度 D．力 【答案】D 【分析】根据向量的概念即可求解. 【详解】对于A：质量是只有大小，没有方向的物理量，是标量，故A错误； 对于B：长度是只有大小，没有方向的物理量，是标量，故B错误； 对于C：硬度是只有大小，没有方向的物理量，是标量，故C错误； 对于D：力是既有大小，又有方向的物理量，是矢量，故D正确． 故选：D． 20．已知实数构成一个等差数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求得，求得圆锥曲线方程后得到，即可求解. 【详解】因为实数构成一个等差数列， 所以，即， 故圆锥曲线为，是椭圆方程， ，即， 所以离心率， 故选：C. 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是________． 【答案】异面垂直 【详解】 根据条件知，平面，进而证明出平面，从而得到，结合PC与BD为异面直线，即可． 如图： 因为菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，故平面， 又平面，所以， 又菱形ABCD中，平面， 所以平面 又平面所以 又PC与BD为异面直线， 故答案为：异面垂直． 22．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________. 【答案】/ 【分析】运用平面向量数量积公式计算即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 因为， 所以， 解得. 故答案为：. 23．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是__________. 【答案】/0.5 【分析】先求渐近线，再求右焦点易得答案. 【详解】因为,所以,一条渐近线与直线垂直,所以渐近线斜率, 因为,所以渐近线,所以,解得, 因为,所以,因为渐近线的方程为,右焦点为, 所以. 故答案为:. 24．在正方体中，若为的中点，则直线与侧面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，及线面角的定义，利用解直角三角形，即可求解. 【详解】    因为在正方体中，平面， 所以是直线与侧面所成角， 设正方体的棱长为1，则， 所以, 所以， 即直线与侧面所成角的正弦值为. 故答案为：. 25．下图是由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的____条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）      【答案】充分不必要 【分析】根据必要不充分条件的判定条件求解即可. 【详解】当开关和有且只有一个闭合时，灯泡亮. 当灯泡亮时，开关和也有可能都闭合， 故电路中“开关和有且只有一个闭合”是“灯泡亮”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 26．写出“ ”的一个充分不必要条件：_____(写出符合条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分、必要条件的定义分析求解即可. 【详解】解不等式，得或， 当时，不等式成立， 而不等式成立时，不一定有成立， 所以“”的一个充分不必要条件是“”. 故答案为：. 27．在中，，则____________． 【答案】 【分析】根据平面向量的内积公式即可得解. 【详解】△ABC中，，，， 与的夹角为角的补角为， 则. 故答案为：. 28．已知向量，，设，的夹角为，则______． 【答案】 【分析】运用向量的内积公式，向量的模长公式结合向量内积的坐标运算即可得解. 【详解】因为， ，， 所以. 故答案为：. 29．若，且，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】将分解计算，利用向量数量积的运算即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 30．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是_______. 【答案】/ 【分析】利用直线的方程与求得的中点坐标，再利用点差法得到，从而利用齐次式法求离心率即可得解. 【详解】因为直线，则， 设，的中点为， 则，， 因为，则点在线段的垂直平分线上， 则，即，即， 又在直线上，则， 联立，得， 因为双曲线的渐近线为， 所以，， 两式相减得，即， 即，则， 将代入上式，得， 所以离心率， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知向量满足，，且在上的投影向量为. (1)求及的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由投影向量的定义求出的值以及向量的夹角； （2）由垂直关系的内积表示求的值即可. 【详解】（1）因为，， 且在上的投影向量为， 所以，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为， 所以，即， 得，解得． 32．如图，点O是正六边形的中心，写出：    (1)与相等的向量； (2)的相反向量； (3)与共线的向量． 【答案】(1) (2) (3),, 【分析】（1）利用相等向量的定义即可求解. （2）利用相反向量的定义即可求解. （3）利用共线向量的定义即可求解. 【详解】（1）因为点O是正六边形的中心， 所以有：,且与方向相同 所以与相等的向量为: . （2）因为点O是正六边形的中心， 所以有: ,且与方向相反, 所以的相反向量为: . （3）因为点O是正六边形的中心, 所以与方向相同，与方向相反, 所以与共线的向量为: ,,. 33．如图所示，已知正方体的棱长为1，．求：    (1)与平面所成的角的正切值； (2)二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，可证得平面，得为所求角，再由直角三角形求正切值即可； （2）由勾股定理得，由线面垂直的判定可得平面，进而可得平面平面，即可得出所求二面角大小. 【详解】（1）如图所示，作于点，连接.    因为平面⟂平面，平面平面， 所以平面，则为与平面所成的角． 因为，，所以． 又， 所以． 即与平面所成的角的正切值为. （2）因为，且， 所以. 因为，， 所以平面．又因为平面， 所以平面平面． 故平面与平面所成角为 ，即二面角为. 34．已知椭圆，为左焦点，为上顶点，为右顶点，且，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)求抛物线的标准方程； (3)直线过点，与和的交点分别是和，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据顶点及向量关系求椭圆标准方程. （2）根据椭圆的焦点坐标求抛物线的方程. （3）分析直线斜率在与不在两种情况. 【详解】（1）由题意，得， ∴椭圆的标准方程为. （2）设抛物线的标准方程为， ∵， ∴， ∴. 双曲线的标准方程为 （3）由题意，可知 当直线的斜率不存在时，其方程为， ， ，不符合题意，舍去； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 设， 联立， ， ， 联立， ， ， ，且此时 ∴直线的方程为 即：或. 35．如图所示，椭圆C的焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆C的右焦点相同，且与椭圆C交于A，B两点，四边形的周长为32． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为椭圆C上的一点，且与x轴垂直，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）由抛物线的方程得到焦点坐标，结合椭圆的定义得到的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）先求出点P的坐标，进而求出的面积. 【详解】（1）设椭圆C的标准方程为，半焦距为c， 由抛物线的性质可知，抛物线的焦点为，则． ∵四边形的周长为32， ∴，解得， ∴， 则椭圆C的标准方程为． （2）∵椭圆C的标准方程为， ∴，． 设点，点P在椭圆C上，且与x轴垂直， ∴点，代入得，解得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $