综合测试卷（三）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本专项以教材章节为基准，通过AB卷分层训练夯实基础、构建知识网络，综合测试卷聚焦实战提升解题能力，体现知识整合与应用逻辑。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5、11、18-20|聚焦向量运算、充分必要条件判断|从向量定义到线性运算，结合逻辑用语强化概念关联| |空间几何|选择6、10，填空21、35|线面角、异面直线成角、表面积体积计算|以立体几何模型为载体，融合空间观念与推理意识| |圆锥曲线|选择3-4、7-9、12-17，填空22-24、26、28、30，解答31、34|离心率、焦点、准线、方程求解及综合应用|从椭圆、抛物线、双曲线定义出发，构建性质应用逻辑链| |向量应用|选择2、5、20，填空25，解答32-33|向量垂直、共线、夹角计算|通过向量工具整合代数与几何，培养运算能力与模型意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，，若，则（  ） A． B．=2 C．3 D．=3 2．下列与向量垂直的向量为（    ） A． B． C． D． 3．椭圆的离心率和长轴长分别为（   ） A．，3 B．，6 C．，3 D．，6 4．椭圆的短轴长为（    ） A．3 B．6 C．8 D． 5．已知，，若与共线，则（    ） A． B． C． D．3 6．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．过椭圆的左焦点的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为（    ） A．25 B．10 C．20 D．50 8．抛物线的准线为（   ） A． B． C． D． 9．椭圆的顶点坐标为（   ） A．，，， B．，，， C．， D．， 10．若直线平行于平面，则下面结论正确的是（ ） A．直线一定与平面内所有直线平行 B．直线一定与平面内所有直线异面 C．直线一定与平面内唯一一条直线平行 D．直线一定与平面内一组平行直线平行 11．命题“”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 12．双曲线焦距为6，实半轴长为2，焦点在轴上，则该双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 13．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 14．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 15．抛物线的焦点是（    ） A． B． C． D． 16．已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，则的值是（    ） A． B． C． D． 17．抛物线上一点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．7 B． C．5 D． 18．复数的虚部是（　　） A． B． C． D． 19．设则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知向量=(2,3)，=(m,6)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，则异面直线与所成的角为________. 22．已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离是，离心率，则双曲线的标准方程是________ 23．椭圆 的弦中点为，则直线的方程___ 24．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是__________. 25．已知向量，，且，则等于___________. 26．若椭圆的离心率为，则______，椭圆的短轴长为_______． 27．已知分别为双曲线C: 的左、右焦点，点为上一点，点的坐标为，为的角平分线．则____. 28．已知点，抛物线的焦点为，为抛物线上的点，则周长的最小值为______. 29．设,则“”是“”的__________条件. 30．若椭圆的焦距为2，则它的离心率是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知椭圆的离心率为，过右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，若以线段为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程． 32．（1）已知平面向量与的夹角为，且为单位向量，求； （2）已知非零向量，若，求与的夹角； 33．已知=(1,2)，=(1,λ)，分别确定实数的值或取值范围，使得： (1)与的夹角为直角； (2)与的夹角为钝角； (3)与的夹角为锐角. 34．根据下列条件，求双曲线方程： (1)已知两焦点，，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8． (2)双曲线的一个焦点坐标为，经过点． 35．在正三棱柱中，已知它的底面边长为，直线与平面所成角的大小为．求正三棱柱的表面积与体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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7．过椭圆的左焦点的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为（    ） A．25 B．10 C．20 D．50 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义即可得解. 【详解】对于，有，则， 所以由椭圆的定义，得， 则的周长为： . 故选：C. 8．抛物线的准线为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程判断其开口方向和的值，据此可得准线方程. 【详解】由抛物线可知，其开向右，且， 所以，准线为. 故选：C 9．椭圆的顶点坐标为（   ） A．，，， B．，，， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质求解即可. 【详解】因为椭圆的方程为，所以， 即，椭圆焦点在轴上， 所以其顶点为，，，. 故选：A. 10．若直线平行于平面，则下面结论正确的是（ ） A．直线一定与平面内所有直线平行 B．直线一定与平面内所有直线异面 C．直线一定与平面内唯一一条直线平行 D．直线一定与平面内一组平行直线平行 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A，当直线平行于平面时，直线与平面内的直线平行或异面，所以A错误， 对于B，当直线平行于平面时，直线与平面内的直线平行或异面，所以B错误， 对于C，当直线平行于平面时，直线与平面内无数条直线平行，所以错误； 对应，当直线平行于平面时，直线一定与平面内一组平行直线平行，所以正确， 故选：D. 11．命题“”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出的范围，再根据充要条件的定义即可得出答案. 【详解】，即， 解得：， 则命题“”的一个充要条件是. 故选：A. 12．双曲线焦距为6，实半轴长为2，焦点在轴上，则该双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦距可知，再由实半轴长可得，再由求出即可得出双曲线的方程. 【详解】已知双曲线焦距为6，实半轴长为2， 可得，即， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 13．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程化成标准方程即可求解准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为， 所以，即， 所以抛物线的准线方程为. 故选:C. 14．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据焦点即可求解抛物线方程. 【详解】直线与坐标轴的交点为以及， 所以抛物线的焦点为或， 当焦点为，此时抛物线方程为， 当焦点为时，此时抛物线的方程为， 故选：C 15．抛物线的焦点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的方程求解焦点所在位置和坐标即可. 【详解】将抛物线化为标准方程可得， 即. 因为，所以抛物线的焦点在轴正半轴， 且焦点坐标为，即. 故选：B. 16．已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求椭圆的长轴与短轴即可解. 【详解】，即，，原式得，，，得，； 故选：. 17．抛物线上一点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．7 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线定义可知，抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离， 已知抛物线方程，准线方程为， 设点的横坐标为， 则. 故选：D. 18．复数的虚部是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：D． 19．设则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的基本概念，结合指数函数的性质即可判断. 【详解】由，即； 因为“”可以推导出“”， 又“”推不出“”，故是的充分不必要条件. 故选：A. 20．已知向量=(2,3)，=(m,6)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由向量共线的坐标运算验证充分性、必要性即可. 【详解】因为向量=(2,3)，=(m,6)， 充分性：若，则，所以，即，充分性成立； 必要性：若，则，解得，必要性成立， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，则异面直线与所成的角为________. 【答案】 【分析】根据二面角的定义以及线面垂直的性质求解即可. 【详解】因为正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，且， 所以平面，    又因为平面，所以， 因此异面直线与所成的角为. 故答案为：. 22．已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离是，离心率，则双曲线的标准方程是________ 【答案】 【分析】根据题意，表示出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求得b的值，结合离心率，及双曲线中之间的关系，即可求得的值，即可求得双曲线的标准方程. 【详解】由题意，双曲线的焦点坐标为，且， 渐近线方程为，即， 由双曲线的对称性，不妨取焦点和渐近线， 所以焦点到渐近线的距离， 又离心率，所以， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 23．椭圆 的弦中点为，则直线的方程___ 【答案】 【分析】设以点为中点的弦与椭圆交于，由点差法可得斜率，再根据直线的点斜式方程可求解. 【详解】设以点为中点的弦与椭圆交于， 则， 分别把代入椭圆方程，可得 ，两式相减，可得， 所以， 所以直线的斜率：， 所以直线的方程为，即为所求. 故答案为：. 24．已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，分别是椭圆的左右焦点，为坐标原点，若点是的角平分线上的一点，且则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角形中位线可得，结合椭圆定义以及性质从而解得． 【详解】由题意作图如下，   点是的角平分线上的一点，且， 点是的中点， 设，则， 又点是的中点， ， 由椭圆的定义可知， ， 由于，且P与椭圆的四个顶点不重合， 故或， ． 故答案为：． 25．已知向量，，且，则等于___________. 【答案】5 【分析】根据向量线性运算的坐标表示及向量模的公式求解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以， 故答案为：． 26．若椭圆的离心率为，则______，椭圆的短轴长为_______． 【答案】 【分析】根据椭圆方程用分别表示出椭圆的，由离心率求出，从而得到的值，得到短轴的长. 【详解】椭圆，则 所以在椭圆中，则 所以离心率，解得 此时，，所以椭圆的短轴长为 故答案为：（1）      （2）   27．已知分别为双曲线C: 的左、右焦点，点为上一点，点的坐标为，为的角平分线．则____. 【答案】6 【分析】利用角平分线定理及双曲线的定义求解得答案. 【详解】 如图所示，在双曲线中，，， 所以，解得， 为的角平分线， ，∴ 所以，， 故答案为：. 28．已知点，抛物线的焦点为，为抛物线上的点，则周长的最小值为______. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义可知的最小值为，从而可求得周长的最小值. 【详解】已知点，抛物线， 其中，所以准线方程为，焦点为 则过点作，垂足为， 由抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，可知， 所以当共线时，最小，最小值为， ，所以， 且 则周长的最小值为. 故答案为：. 29．设,则“”是“”的__________条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意，结合分式不等式、绝对值不等式的解法，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】因为，所以，即，解得或， 因为，解得或， 所以当或时，或不一定成立，即充分性不成立； 反之，当或时，或一定成立，即必要性成立； 因此“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 30．若椭圆的焦距为2，则它的离心率是______． 【答案】/ 【分析】分类讨论焦点在轴和轴上，结合椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】椭圆的焦距为2，即， 当椭圆的焦点在轴上时，此时，且， 则，解得，即 则离心率为， 当椭圆焦点在轴上时，此时，且， 则，解得，不符合题意， 综上所述，离心率为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知椭圆的离心率为，过右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，若以线段为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由题意列出关于的方程，联立解出即可； （2）设的方程，与椭圆方程联立，由题意，结合韦达定理计算即可. 【详解】（1）椭圆的离心率为，，即①， 过右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，． ，再代入椭圆方程得，②， 又③， 联立①②③得，，， 椭圆方程：． （2）设的方程为：，，， 联立，得， ∴，即④， ，， ， 以线段为直径的圆恰好过坐标原点， ， ，均符合④． 直线方程为或． 32．（1）已知平面向量与的夹角为，且为单位向量，求； （2）已知非零向量，若，求与的夹角； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据向量内积公式以及平方和公式求解即可. （2）根据向量内积的坐标公式以及内积公式求解即可. 【详解】（1）由已知可得，，则， 所以， 则． （2）∵，，∴. 又，∴． 设与的夹角为θ，则， 因为，所以． 33．已知=(1,2)，=(1,λ)，分别确定实数的值或取值范围，使得： (1)与的夹角为直角； (2)与的夹角为钝角； (3)与的夹角为锐角. 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）与的夹角为直角，由得到结果； （2）与的夹角为钝角，则，且与不反向； （3）与的夹角为锐角，则，且与不同向. 【详解】（1）已知与的夹角为直角，所以，解得. （2）已知与的夹角为钝角，则，且与不反向， 即，解得. 当与共线时，，即，此时. 所以. （3）当与的夹角为锐角时，则，且与不同向， 即，解得. 当与共线时，，， 所以且. 34．根据下列条件，求双曲线方程： (1)已知两焦点，，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8． (2)双曲线的一个焦点坐标为，经过点． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）由双曲线的定义求双曲线的标准方程. （2）由焦点位置与双曲线上一点得到关于，的方程，进而求得双曲线的方程. 【详解】（1）由题意知双曲线的焦点在轴上，且. 设双曲线的标准方程为. 因为双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8. 所以. . 故该双曲线的方程为. （2）由题意知双曲线的焦点在轴上，且. 设双曲线的标准方程为. 因为双曲线经过点. 所以①. 又②. 联立①②解得，. 故该双曲线的方程为. 35．在正三棱柱中，已知它的底面边长为，直线与平面所成角的大小为．求正三棱柱的表面积与体积． 【答案】表面积为，体积为. 【分析】根据线面角大小可得，再应用棱柱的表面积和体积公式求表面积与体积. 【详解】由直线与平面ABC所成角的大小为arctan2，所以， 三棱柱的表面积为，体积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $