综合测试卷（二）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，通过AB卷分层训练与综合测试卷实战模拟，系统整合向量、解析几何、立体几何等模块知识，注重数学思维与空间观念培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与几何|单选1/14/17题|结合图形的线性运算与夹角计算|从向量概念到线性运算，再到几何应用，构建“概念-运算-应用”逻辑链| |圆锥曲线|单选2/3/5/9/20题|方程求解与位置关系判断|以椭圆、抛物线、双曲线定义为基础，推导标准方程，应用于焦点、离心率等综合问题| |立体几何|单选7/10/19题|异面直线成角与线面关系证明|从空间点线面位置关系到空间角计算，培养空间观念与几何直观| |复数与逻辑|单选4/11/16题|复数概念辨析与充要条件判断|复数代数形式与逻辑用语结合，体现数学语言的精确表达|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在梯形ABCD中，，设，，则等于（ ）. A． B． C． D． 2．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆以及椭圆内一点，则以点为中点的弦所在直线的斜率为（） A． B．2 C． D．-2 4．下列命题： ①若，则仅当，时z为纯虚数； ②若，则； ③若实数a与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是（    )． A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（   ） A． B． C． D． 6．若向量，满足，，则（    ） A．5 B． C． D． 7．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 8．已知直线l与抛物线交于A，B两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那么以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．与直线l的位置有关   9．双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ）. A．90° B．60° C．45° D．30° 11．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．已知向量，若，则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 14．在平行四边形中，下列关系式不正确的是（ ） A． B． C． D． 15．已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 16．已知两个单位向量与的夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量与夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 18．在中，，则角等于（   ） A． B． C． D． 19．如图所示，正三棱锥的棱长都是2，D是SC的中点，给出下列结论：①；②；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是．其中正确的结论是（   ）    A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 20．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成三角形的面积等于，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．抛物线上一点到焦点的距离是2，则点坐标为__________． 22．正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，则异面直线与所成的角为________. 23．关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为 ________ . 24．复数，则________. 25．一次函数为奇函数是的________条件． 26．已知椭圆的两个焦点分别为，是椭圆短轴的一个端点，若，则椭圆的离心率为______． 27．已知是椭圆上任意一点，是圆的任意一条直径（，为直径两个端点），则的最小值为______，最大值为______. 28．复数满足（为虚数单位），则__________. 29．引江济淮是一项大型跨流域调水工程，2022年底试通航.如图是某段新开河渠的示意图.在二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为______. 30．已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ____. 3、 解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值． 32．求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程. 33．已知是虚数单位，复数满足. (1)求复数的共轭复数； (2)若，且，求实数的值. 34．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围. 35．如图，一块正方体形木料的上底面有一点E.若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，则应该怎样画？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在梯形ABCD中，，设，，则等于（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算，再根据题目已知找到对应的表示方法. 【详解】 取中点，连接, ∵在梯形ABCD中，, ∴, 且, ∴四边形为平行四边形， 则, , , , . 故选:C. 2．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义即可求得点的横坐标，继而求得三角形的面积. 【详解】因为抛物线，所以， 所以焦点的坐标，准线方程为， 因为为抛物线上一点，，所以点的横坐标为4， 当时，，所以， 所以 的面积为. 故选：D. 3．已知椭圆以及椭圆内一点，则以点为中点的弦所在直线的斜率为（） A． B．2 C． D．-2 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式，结合点差法即可得解. 【详解】已知椭圆以及椭圆内一点， 设以点P为中点的弦所在直线交于椭圆于M，N两点， 点，所以， ②－①得：，变形得：，即， 又因为M，N的中点为P，即满足，即， 所以，即点P为中点的弦所在直线的斜率为. 故选：C. 4．下列命题： ①若，则仅当，时z为纯虚数； ②若，则； ③若实数a与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是（    )． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据复数的概念以及运算求解即可. 【详解】在①中若，则，不是纯虚数，故①错误； 在②中若，，则，但，故②错误； 在③中忽视，故③也是错误的． 故选：A． 5．已知等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点坐标可知焦点在轴上和的值，再结合关系式及等轴双曲线中关系，即可求出方程. 【详解】由焦点可知， 双曲线焦点在轴上，且， 又因为，且， ， 即双曲线标准方程为：. 故选：. 6．若向量，满足，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量坐标的加减运算求出向量，，再根据向量内积的坐标公式求解. 【详解】因为，， 可得， 同理， 所以, 故选:B. 7．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【答案】C 【分析】利用线面平行性质定理和判定定理进行求解即可. 【详解】对于A，若，，则平行或异面，故A错误. 对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则与相交或异面，故D错误. 故选：C. 8．已知直线l与抛物线交于A，B两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那么以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．与直线l的位置有关 【答案】A 【分析】先设中点为，过，，作准线的垂线，垂足分别为，，，再根据题意得到，进而即可得到答案． 【详解】设中点为，过，，作准线的垂线，垂足分别为，，， 又该直线不经过抛物线的焦点，则， 所以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是相离． 故选：A．    9．双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆，双曲线性质即可求解. 【详解】由椭圆得，，离心率为， 因为双曲线与椭圆焦点相同，则焦点坐标为，焦点在轴上， 且双曲线的离心率为， 设双曲线实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，则， ∴，∴所求双曲线方程为：. 故选：C． 10．在正方体中，异面直线与所成角的度数是（    ）. A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】B 【分析】由题意连接直线，可知对角线与平行，则异面直线与所成角转化为与所成角求解即可. 【详解】连接，， 因为在正方体， 所以， 又因为，，均为正方体的对角线， 所以， 则是等边三角形， 所以. 即异面直线与形成的角度为是. 故选：B. 11．已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由已知结合集合的包含关系检验充分及必要性即可. 【详解】充分性： 当时，集合，此时满足；故“”是“”的充分条件； 必要性： 因为集合，当时，或，所以或；当时，符合题意，当时，符合题意， 故“”是“”的不必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 12．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量平行的坐标表示判断A，利用向量线性运算、内积与模的坐标表示判断BCD，从而得解. 【详解】对于A，因为，， 所以，则不成立，故A错误； 对于B，， 所以，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 13．已知向量，若，则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：B. 14．在平行四边形中，下列关系式不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形定理，以及向量的模和数量积公式，判断选项. 对于A，根据平行四边形定理可知，，A正确； 对于B，根据向量减法可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，当且仅当向量和同向时等号成立，在平行四边形中，向量和不共线，所以，故D错误. 故选：D 15．已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直先求出参数k，再由内积的定义，即可求出夹角的余弦值. 【详解】因为与垂直，故，解得， 则，， 设与夹角为， 则， 故选：A． 16．已知两个单位向量与的夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据及与都是单位向量求出向量与的夹角为，求解即可. 【详解】因为与都是单位向量， 所以，， 所以， 即， 等价于， 因为，等价于， 故“”是“”的充分必要条件，因此选项A正确. 故选：A. 17．如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量与夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，利用向量的内积坐标运算即可求出夹角的余弦值. 【详解】如图，以点为原点，令小正方形边长为单位长度，建立直角坐标系 则，，，， ，，, ，， 向量与夹角的余弦值为： .      故选：. 18．在中，，则角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的内积的定义即可解答. 【详解】已知在中，， ， 所以，因为， 所以，所以， 故选：A. 19．如图所示，正三棱锥的棱长都是2，D是SC的中点，给出下列结论：①；②；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是．其中正确的结论是（   ）    A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据两直线公共点个数判断是否平行排除①，根据线面垂直判定定理和性质定理证明②成立， 根据线面角定义及三角函数值排除③，根据三棱锥体积公式计算并判断出④正确. 【详解】与有公共点，不平行，①错误； 如图所示，取中点，连接，    因为正三棱锥棱长都是2，所以与为等边三角形， 且为中点，所以有，， 且平面，，所以平面， 且平面，所以，②正确； 如图所示，过作垂直底面的垂线，垂足为，    则由正三棱锥顶点在底面内的射影是底面三角形的中心可知： 在上，且， 在中，， 所以与平面所成的角不是，③错误； ， ，④正确. 故选：D. 20．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成三角形的面积等于，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先表示出抛物线准线方程和双曲线渐近线方程，再求出准线与渐近线的交点，最后由三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】已知抛物线的准线方程为， 双曲线中，， 所以渐近线方程为， 联立方程，解得， 所以准线与渐近线的交点为， 则抛物线准线与双曲线两条渐近线所围成三角形的底为， 高为抛物线准线到原点的距离为， 因为三角形的面积等于， 所以，即， 因为，所以， 故选：D.    二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分). 21．抛物线上一点到焦点的距离是2，则点坐标为__________． 【答案】或 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意可知抛物线的准线为， 设点坐标为， 则由抛物线的定义有，即， 即，解得， 即点坐标为. 故答案为：或. 22．正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，则异面直线与所成的角为________. 【答案】 【分析】根据二面角的定义以及线面垂直的性质求解即可. 【详解】因为正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，且， 所以平面，    又因为平面，所以， 因此异面直线与所成的角为. 故答案为：. 23．关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为 ________ . 【答案】 【详解】试题分析：根据的性质，实系数方程在复数范围的虚数根成对出现，因此方程还有一个根为，由此可知，． 考点：实系数方程的复数解． 24．复数，则________. 【答案】 【分析】根据复数求模公式易得答案. 【详解】因为,所以 故答案为： 25．一次函数为奇函数是的________条件． 【答案】充要 【分析】根据充要条件的定义结合一次函数的性质判断可得答案. 【详解】由已知，且，定义域关于原点对称， 若一次函数为奇函数，则， 即，可得； 当时，，所以为奇函数， 所以一次函数为奇函数是的充要条件. 故答案为：充要. 26．已知椭圆的两个焦点分别为，是椭圆短轴的一个端点，若，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】由椭圆的定义和勾股定理结合椭圆的离心率公式求出答案. 【详解】椭圆的两个焦点分别为，是椭圆短轴的一个端点， 且，所以为等腰直角三角形， 则有，， 所以，， 所以. 故答案为：. 27．已知是椭圆上任意一点，是圆的任意一条直径（，为直径两个端点），则的最小值为______，最大值为______. 【答案】 0 【分析】由题意，所给圆的圆心，半径，得，设，则，且，由平面向量的线性运算得，代入数据后根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：由题意，圆的圆心，半径， ∵是圆的任意一条直径， ∴， 设，则， ∵点在椭圆上， ∴，则，且， ∴， ∵， ∴当时，有最小值， 当时，有最大值， 故答案为：；． 28．复数满足（为虚数单位），则__________. 【答案】 【分析】根据复数的除法运算可得，在结合共轭复数的对于以及复数的模长公式运算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故答案为：. 29．引江济淮是一项大型跨流域调水工程，2022年底试通航.如图是某段新开河渠的示意图.在二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，，则该二面角的大小为______. 【答案】/ 【分析】设二面角为，由，对等式两边平方，由向量的数量积的定义代入化简即可得出答案. 【详解】解：设二面角为，由，得 ， ∴，∵，∴. 故答案为：. 30．已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ____. 【答案】 【分析】根据是的充分不必要条件可知，由此即可解答. 【详解】条件，条件， 由是的充分不必要条件，可知若，则一定有， 所以，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 3、 解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 31．已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据短轴长和离心率，结合，求出，，得到椭圆方程； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式求出答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 又，故，解得， 故椭圆方程为； （2）由题意得，， 可得直线方程为， 联立与得， 设，故， 故. 32．求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程. 【答案】 【分析】根据已知先求出的值，代入双曲线标准方程即可求解. 【详解】因为双曲线过点， 所以双曲线的焦点在x轴上，且，设双曲线方程为， 又渐近线方程为，所以，即，所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 33．已知是虚数单位，复数满足. (1)求复数的共轭复数； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的除法运算即可化简复数，由共轭复数的定义即可求解， （2）由复数的除法运算化简，由模长公式即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴复数的共轭复数， （2），∴， 又，即， ∴. 34．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】首先求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、一真一假，分类讨论，分别得到不等式组，即可求出参数的取值范围. 【详解】若为真命题，则，解得. 若为真命题，则，解得， 因为为真命题，为假命题，所以、一真一假， 若真假，则，解得， 若假真，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为：. 35．如图，一块正方体形木料的上底面有一点E.若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，则应该怎样画？ 【答案】见解析 【分析】根据正方体的结构特征，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可求解，得到答案. 【详解】如图所示，连接在上底面过点E作直线即可， 因为面，所以.根据作法知， 又因为，所以平面，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $