第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本卷为中职数学《拓展模块一上册》立体几何单元B卷（能力提升），精准覆盖线面垂直、空间角、二面角等核心考点，通过分层题型与综合题设计，强化空间观念与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15题/45分|线面垂直条件、平面位置关系等基础概念|结合符号语言辨析充要条件，如第1题考查线面垂直定义与判定的逻辑关系| |填空|5题/15分|线面角范围、空间分割等基础计算|第17题考查三个平面分空间的最值，培养空间想象能力| |解答题|4题/40分|三棱锥侧面积、二面角余弦值等综合应用|第23题结合直三棱柱与圆柱模型，融合空间距离与二面角计算，体现知识整合与数学思维|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知直线和平面，则“垂直于内任意一条直线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．关于两个平面的位置关系，下列说法正确的是（   ） A．两个平面共有相交、平行、异面三种位置关系 B．两个平面共有相交、平行、在平面内三种位置关系 C．两个平面共有相交、平行、垂直三种位置关系 D．两个平面只有相交、平行两种位置关系 3．下列说法正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 4．如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，下列结论：①平面；②平面；③平面；④平面．正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若垂直于同一平面，则与平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 7．下列命题中是真命题的个数是（    ） （1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行 （3）平行于同一个平面的两条直线互相平行 （4）两条直线能确定一个平面 （5）垂直于同一个平面的两个平面平行 A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知矩形ABCD所在的平面（如图），图中互相垂直的平面有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．5对 9．三棱柱中，点在上，且，若平面，则等于（   ） A． B． C． D． 10．已知长方体中，，，长方体的体积是32，则直线和平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 11．如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 12．已知如图，六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论不正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 13．如图所示，平面，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 14．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直．已知，，则（   ） A．5 B．13 C． D． 15．下列命题中，正确的是（    ） A．如果，是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面 B．如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线，和平面满足，，，则 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．直线与平面所成角的范围为__________. 17．三个平面最多把空间分成______部分. 18．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 19．正方体的棱长为2，则点到平面的距离是________． 20．在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为__________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在三棱锥中，平面.    (1)求三棱锥的侧面积； (2)求点A到平面的距离. 22．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．已知，若平面平面，求的值； 23．如图所示，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点．求：    (1)二面角的余弦值； (2)点到平面的距离． 24．如图所示，已知正三棱锥的侧棱长为3，底面边长为4．求：    (1)二面角的余弦值； (2)正三棱锥的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知直线和平面，则“垂直于内任意一条直线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用线面垂直的定义与性质，结合充分必要条件的知识即可得解. 【详解】如果垂直于内任意一条直线，显然有，则充分性成立； 如果，那么垂直于内任意一条直线，则必要性成立， 所以“垂直于内任意一条直线”是“”的充要条件. 故选：C. 2．关于两个平面的位置关系，下列说法正确的是（   ） A．两个平面共有相交、平行、异面三种位置关系 B．两个平面共有相交、平行、在平面内三种位置关系 C．两个平面共有相交、平行、垂直三种位置关系 D．两个平面只有相交、平行两种位置关系 【答案】D 【分析】根据两个平面的位置关系即可得出结果. 【详解】两个平面只有相交、平行两种位置关系， 两个平面不存在异面的位置关系，故A错误， 两个平面不存在在平面内的位置关系，故B错误， 垂直是相交关系的一种，故C错误，所以D正确， 故选：D． 3．下列说法正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 【答案】D 【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可. 【详解】对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误； 对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误； 对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确. 故选：D. 4．如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，结合图形，利用中位线，把异面直线所成角的问题转化为三角形的内角，根据等角定理以及三角形的性质求解. 【详解】 如图，取中点，连接、，因为E，F分别是的中点， 所以，， 又，， 所以，， 因为，所以， 所以在中，， 所以， 因为，根据等角定理可知， 与所成的角的大小是. 故选：A 5．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，下列结论：①平面；②平面；③平面；④平面．正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】证明，即可证明②③正确，由平面，可证明①错误，由平面，证明④错误. 【详解】∵平面， ∴与平面相交，①错误， ∵为矩形对角线的交点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，②正确， ∵平面，平面， ∴平面，③正确， ∵平面， ∴与平面相交，④错误． 故选:B. 6．已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若垂直于同一平面，则与平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 【答案】D 【分析】由直线，平面垂直，平行的判定定理以及性质定理分析即可. 【详解】对A，垂直于同一平面的两平面平行或相交， A错； 对B，平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，B错； 对C，若，则，C错； 对D，假设m、n垂直于同一个平面，则，与m，n不平行矛盾，则D正确． 故选：D. 7．下列命题中是真命题的个数是（    ） （1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行 （3）平行于同一个平面的两条直线互相平行 （4）两条直线能确定一个平面 （5）垂直于同一个平面的两个平面平行 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行或垂直的判定及性质定理逐一判断位置关系即可. 【详解】垂直于同一条直线的两条直线，平行、相交、异面均有可能，（1）错误； 与同一个平面夹角相等的两条直线，平行、相交、异面均有可能，（2）错误； 平行于同一个平面的两条直线平行、相交、异面均有可能，（3）错误； 两条相交或平行直线能确定一个平面，（4）错误； 垂直于同一个平面的两个平面，相交、平行均有可能，（5）错误； 故选：A. 8．已知矩形ABCD所在的平面（如图），图中互相垂直的平面有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．5对 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】平面，所以. 平面PAB，平面PAB. 又因为，所以平面PAB，又平面，所以平面平面PAB. 平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面PAB. 又平面PAD，，平面PAD. 又因为平面，所以平面平面ABCD. 平面，平面,平面，所以平面平面ABCD,平面平面ABCD. 共5对． 故选：D. 9．三棱柱中，点在上，且，若平面，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行的性质定理，结合三角形中位线可求出的值. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 因为平面， 平面， 平面平面， 所以. 又在中，为中点，所以为中点， 因为，所以. 故选：A. 10．已知长方体中，，，长方体的体积是32，则直线和平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，取的中点，连接，，易知即为和平面所成角，利用勾股定理即可求解. 【详解】因为长方体的体积是，，， 所以， 所以四边形为正方形， 如下图所示：    取的中点，连接，，则， 又底面，底面， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以即为和平面所成角， 由勾股定理可知，， 所以在中，. 故选：C. 11．如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形中作的平行线使得与相交，找到与的所成角并进行证明. 【详解】作交与，连结，如图所示： 则，异面直线与所的成角， 即为与所成的角， 显然△△， 故， 故， ．即所成的角为， 故选：D． 12．已知如图，六棱锥的底面是正六边形，平面，则下列结论不正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合正六边形的性质，线面平行和垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】因为六棱锥的底面是正六边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故选项A正确，不符合题意； 因为在正六边形中，， 又平面，平面， 所以， 又平面，平面， 所以平面，故选项B正确，不符合题意； 因为在正六边形中，， 又平面，平面， 所以平面，故选项C正确，不符合题意； 假设平面，则垂直平面内的所有直线， 所以，又与的夹角为，不垂直， 故与平面不垂直，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 13．如图所示，平面，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】由直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理即可求解. 【详解】对于A，平面，平面，，故A正确； 对于B，平面，平面，，故B正确； 对于C，平面，平面，，又， ， 又，平面，平面，平面，故C正确； 对于D，，，，则直线与直线不垂直，平面错误，故D错误. 故选：D 14．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直．已知，，则（   ） A．5 B．13 C． D． 【答案】C 【分析】以、为邻边作平行四边形，可得二面角的平面角为，由题意可得，，从而平面，得，利用勾股定理可求. 【详解】如图所示，以、为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，， 故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ，，则， ，，则， ，平面，故平面， 因为平面，则， 故． 故选：C． 15．下列命题中，正确的是（    ） A．如果，是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面 B．如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线，和平面满足，，，则 【答案】D 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个命题，即可得到答案. 【详解】，则可能在经过的平面内，选项错误； ，则与内的直线平行或异面，选项错误； 平行于同一条直线的两个平面可能相交，选项错误； 由直线与平面平行的判定定理知，，，且，则，选项D正确. 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．直线与平面所成角的范围为__________. 【答案】 【分析】由直线与平面所成角的定义可得. 【详解】根据直线与平面所成角的定义得, 直线与平面所成角的范围为. 故答案为：. 17．三个平面最多把空间分成______部分. 【答案】8 【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据三个平面的位置关系的不同，确定平面把看见分成的部分数目. 【详解】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分； 三个平面有两个平行，第三个与他们相交时，可以把空间分成6部分; 三个平面交于同一直线时，可以把空间分成6部分; 三个平面两两相交，交线相互平行时，可以把空间分成7部分; 当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分. 所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分. 故答案为：8. 18．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则________. 【答案】6 【分析】根据题意结合线面垂直的性质分析求解. 【详解】∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF//DE， 又∵，则四边形AFED为平行四边形， ∴. 故答案为：6. 19．正方体的棱长为2，则点到平面的距离是________． 【答案】 【分析】根据正方体的结构特征结合线面垂直得到线线垂直，再得到线面垂直，则找出即为点到平面的距离后即可求解. 【详解】如图所示：连接交于点，则 在正方体中，平面， 平面，所以. 又，平面， 所以平面，平面， 故即为点到平面的距离，即． 故答案为：． 20．在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为__________. 【答案】 【分析】过作，交于，连接，得到是直线与平面所成的角，然后再在三角形中求出此角即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 则， 因为E是BC1的中点，所以∥，， 因为平面，所以平面， 所以为直线DE与平面ABCD所成角， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．在三棱锥中，平面.    (1)求三棱锥的侧面积； (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求得三角形的三边，结合三角形的面积公式即可求解. （2）根据棱锥的结构特征，体积公式即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 又，所以均为直角三角形. 又， 所以，. 所以为等腰三角形，. ，. 所以三棱锥的侧面积为. （2）由（1）知，. 因为平面，所以. 设点A到平面的距离为，则. 解得，即点A到平面的距离为：． 22．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．已知，若平面平面，求的值； 【答案】． 【分析】由面面平行的性质定理可得，结合中点性质即可求的值. 【详解】若面面，面面，面面， 由面面平行的性质定理知：，于是， 由为的中点知：为的中点，故，所以． 23．如图所示，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点．求：    (1)二面角的余弦值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据线面垂直的性质及平面角的定义找出二面角的平面角为，利用勾股定理结合余弦的定义即可得解. （）根据题意结合三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知，，平面， 平面，所以， ，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，，平面，平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， ，则， 所以. （2）设点到平面的距离为， 则， 所以， 解得， 所以点到平面的距离为. 24．如图所示，已知正三棱锥的侧棱长为3，底面边长为4．求：    (1)二面角的余弦值； (2)正三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：设为底面中心，连接并延长，使其交于点，可得为二面角的一个平面角，在中求解即可； 解法二：设中点为，则为二面角的一个平面角，在中，利用余弦定理求解； （2）解法一：由（1）可知，平面，利用正三棱锥的体积公式求解； 解法二：可证得平面，则，计算即可． 【详解】（1）解法一： 如图所示，设为底面中心，连接并延长，使其交于点，连接、，    ∵是正三棱锥，为底面中心， ∴平面， ∵在底面的射影为，，∴， ∴为二面角的一个平面角， 在中，∵， ， ∴， 即二面角的余弦值为． 解法二： 如图所示，设中点为，连接、，    ∵是正三棱锥，∴，， 又∵为中点， ∴，， ∴为二面角的一个平面角， 在中，，，， ∴， 即二面角的余弦值为． （2）解法一： 由（1）可知，平面，且， ∵， ∴， 即正三棱锥的体积为． 解法二： ∵，，、平面，， ∴平面， 则， 在中，∵，∴， 则， ∴， 即正三棱锥的体积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $