第四章 立体几何（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版中职数学拓展模块一上册第四章立体几何，设A卷基础巩固，覆盖线面关系、空间角等核心考点，通过基础题与实际情境题结合，培养空间观念与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|线面位置关系、空间角、面面平行与垂直|以正方体、四棱锥为载体，考查空间观念| |填空题|5/15|线面角计算、中点四边形性质、判定定理条件|强化基础概念辨析，如线面平行补充条件| |解答题|4/40|表面积与容积计算、线线平行证明、实际问题（山坡高度）|结合仓库、山坡情境，培养模型意识与推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．线段在平面内，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C．由线段的长短而定 D．以上都不对 3．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，下列结论：①平面；②平面；③平面；④平面．正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与CD所成的角为 B．直线与平面ABCD所成的角为 C．直线与的夹角是 D． 6．如图，在正方体中，下列结论错误的为（    ）    A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线平面 D．平面与平面所成的二面角为 7．设，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，，既不在内，也不在内，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 9．如果直线平面，直线平面，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知：空间四边形如图所示，、分别是、的中点，、分别是，上的点，且，，则直线与直线（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 11．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 12．若直线不平行于平面，且，则（    ） A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 13．雕塑师打造正三棱锥雕塑，已知所有侧面与底面所成的二面角都为，底面边长为 m，则该正三棱锥的高为（   ）. A．m B．m C．m D．m 14．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，给出五个结论：①；②平面；③平面；④平面；⑤平面.其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．下列说法正确的是（    ） A．经过三点有且只有一个平面 B．平行于同一条直线的两个平面也平行 C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若斜线段的长是它在平面上射影长的2倍，则与所成的角为_________度. 17．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是______． 18．在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是__________． 19．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是____．(填“垂直”“不垂直”其中的一个) 20．在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为__________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知斜线段的长度是斜线段在平面内的投影的长的两倍，求这条斜线和这个平面所成的角的大小. 22．一个长方体形状的仓库，长 10 米，宽 8 米，高 6 米. (1)计算仓库的表面积（不考虑门窗）和容积. (2)若仓库内对角线处有一根梁，求横梁与底面所成角的正弦值. 23．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 24．如图所示，山坡的倾角为（就是坡面与地平面所成的二面角是），山坡上有一条与斜坡底线成角的小路，如果某人从点E开始沿这条小路走了，问此人离开地平面的高度约为多少米（精确到）? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线面垂直先找到直线在平面内的射影，由射影和斜线的连线即可找到线面角，再由边的关系求解即可. 【详解】连接， ∵平面，∴为直线在平面内的射影， ∴是直线与平面的所成角， 又∵四边形是正方形，∴， ∵平面，平面， ∴， ∴，即直线与平面所成角为． 故选：B． 2．线段在平面内，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C．由线段的长短而定 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由平面的基本性质即可得解. 【详解】因为线段在平面内，所以,. 根据平面的基本性质可知直线在平面内即. 故选：. 3．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定，可知C正确；根据线线、线面、面面的位置关系可判断A、B、D错误. 【详解】对A选项，与可能相交、异面，故错误； 对B选项，与可能相交，故错误； 对C选项，因为，所以.故正确； 对D选项，与可能平行，故错误； 故选：C 4．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，下列结论：①平面；②平面；③平面；④平面．正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】证明，即可证明②③正确，由平面，可证明①错误，由平面，证明④错误. 【详解】∵平面， ∴与平面相交，①错误， ∵为矩形对角线的交点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，②正确， ∵平面，平面， ∴平面，③正确， ∵平面， ∴与平面相交，④错误． 故选:B. 5．正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与CD所成的角为 B．直线与平面ABCD所成的角为 C．直线与的夹角是 D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成的角的定义分析AC选项，由直线与平面所成的角的定义分析B选项，根据三棱锥的体积公式求解D选项即可. 【详解】对A，在正方体中，平面，平面，则与CD所成角为，A错误； 对B，因为平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成角， 所以与平面ABCD所成角为，B错误； 对C，因为，AC，为面对角线，所以，AC，相等，所以是等边三角形，所以直线与夹角是，C错误； 对D，，D正确． 故选：D. 6．如图，在正方体中，下列结论错误的为（    ）    A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线平面 D．平面与平面所成的二面角为 【答案】D 【分析】对A，证明直线平面即可；对B，根据线面角的定义，根据直线与平面所成的角为即可；对C，根据线面垂直的判定证明即可；对D，根据二面角的定义可得平面与平面所成的二面角为即可. 【详解】对A，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故. 又，平面，故平面. 又平面，故. 故直线与直线所成的角为，故A正确；    对B，因为平面，故直线与平面所成的角为，故B正确； 对C，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故. 又，平面，故平面. 又平面，故. 同理，又，平面，故平面，故C正确；    对D，平面与平面交于，且，，故平面与平面所成的二面角为，故D错误.    故选：D 7．设，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，，既不在内，也不在内，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】利用线线平行、线线垂直、面面垂直的判定定理易得答案 【详解】若，，可能相交，故A错， 若，，因为不在内，所以，故B对， 若，，则平行，故C错， 若，，则，故D错． 故选：B． 8．如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【分析】根据给定图形，利用点、线、面的位置关系判断作答. 【详解】在长方体中， 直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确； 点平面，点平面，即直线平面，B不正确； 直线平面，则与平面无公共点，直线平面， 所以直线与直线没有公共点，C不正确； 直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面， 则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行， 因此直线与直线是异面直线，D正确. 故选：D 9．如果直线平面，直线平面，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面的基本性质即可选定选项. 【详解】， ， 同理， 又， ， 故选：A. 10．已知：空间四边形如图所示，、分别是、的中点，、分别是，上的点，且，，则直线与直线（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】根据边长成比例相等得到三角形相似，进而求得四边形是梯形得到答案. 【详解】四边形是空间四边形，、分别是、的中点， 为三角形的中位线 且 又， ，且， 在四边形中， 即，，，四点共面，且， 四边形是梯形， 直线与直线相交. 故选：B． 11．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可. 【详解】    如图，取中点，连接，， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ，所以二面角的正弦值为. 故选：B. 12．若直线不平行于平面，且，则（    ） A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线 C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交 【答案】B 【分析】根据线面关系进行判断即可解得. 【详解】直线不平行于平面，且，则l与相交， l与内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行，故B正确，ACD错误； 故选：B. 13．雕塑师打造正三棱锥雕塑，已知所有侧面与底面所成的二面角都为，底面边长为 m，则该正三棱锥的高为（   ）. A．m B．m C．m D．m 【答案】A 【分析】底面正三角形的高是，侧面与底面所成二面角为，利用三角函数关系求出底面中心到底面顶点的距离，得到直角三角形求出高为m 【详解】 因为底面边长为 m，所以底面正三角形的高是， 设正三棱锥顶点在平面ABC内的射影为， 则是三角形ABC的中心， 设是AB的中点，则， 所以为侧面与底面所成角的平面角， 因为侧面与底面所成二面角为， 所以, 又因为底面三角形为等边三角形, 所以, 所以根据等腰直角三角形的高为m， 故选： B. 14．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，给出五个结论：①；②平面；③平面；④平面；⑤平面.其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据中位线定理判断①，根据线面平行的判定定理判断②③，根据直线与平面的位置关系判断④⑤. 【详解】∵分别为的中点，∴，故①正确； ∵，平面，平面，∴平面，故②正确； ∵，平面，平面，∴平面，故③正确； ∵在直线上，平面，∴平面，又平面， ∴与平面相交，不平行，故④错误； ∵在直线上，平面，∴平面，又平面， ∴与平面相交，不平行，故⑤错误, 综上，①②③正确. 故选：C. 15．下列说法正确的是（    ） A．经过三点有且只有一个平面 B．平行于同一条直线的两个平面也平行 C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 【答案】D 【分析】由题意根据平面公理，以及直线与平面的位置关系结合正方体中线面关系判断即可. 【详解】对于，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，所以A错误； 对于，平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，如正方体中，平面，平面，但两平面不平行. 对于，如正方体中，平面，平面，所以经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行错误； 对于，如正方体中，过点只有直线平面，即过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，正确． 故选：． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若斜线段的长是它在平面上射影长的2倍，则与所成的角为_________度. 【答案】 【分析】根据线面角定义求出角的余弦值，结合角的范围即可得到线面角的角度. 【详解】设与所成的角为， 由题意可知，且， 则. 故答案为：. 17．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是______． 【答案】矩形 【分析】根据条件画出图形，由中位线定理可知，由可知，从而得出结论． 【详解】如图所示． 点M，N，P，Q分别是四条边的中点， ，， ∴， 四边形MNPQ是平行四边形， 又，，， ， 平行四边形MNPQ是矩形． 故答案为：矩形． 18．在直线与平面平行的判定定理中，假设为平面，为两条不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充的一个条件是__________． 【答案】 【分析】根据线面平行的判定定理即可求解. 【详解】由直线与平面平行的判断定理可知，还要保证直线在平面外，即； 故答案为：． 19．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是____．(填“垂直”“不垂直”其中的一个) 【答案】垂直 【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断. 【详解】如图所示：    在正方体中，CC1⊥平面ABCD， 所以CC1⊥BD． 又AC⊥BD，CC1∩AC=C， 所以BD⊥平面AA1C1C． 又BD⊂平面EBD， 所以平面EBD⊥平面AA1C1C． 故答案为：垂直 20．在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为__________. 【答案】 【分析】过作，交于，连接，得到是直线与平面所成的角，然后再在三角形中求出此角即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 则， 因为E是BC1的中点，所以∥，， 因为平面，所以平面， 所以为直线DE与平面ABCD所成角， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知斜线段的长度是斜线段在平面内的投影的长的两倍，求这条斜线和这个平面所成的角的大小. 【答案】 【分析】利用线面角的定义即可得解. 【详解】因为斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍， 记这条斜线和这个平面所成的角为，则， 因为，所以，即这条斜线和这个平面所成的角为. 22．一个长方体形状的仓库，长 10 米，宽 8 米，高 6 米. (1)计算仓库的表面积（不考虑门窗）和容积. (2)若仓库内对角线处有一根梁，求横梁与底面所成角的正弦值. 【答案】(1)376平方米，480立方米 (2) 【分析】（1）根据长方体的表面积以及体积公式求解即可. （2）根据正弦函数的定义求解即可. 【详解】（1）因为长方体，长 10 米，宽 8 米，高 6 米， 所以表面积平方米， 容积立方米. （2）因为长方体，长 10 米，宽 8 米，高 6 米， 所以梁的长度为 则横梁与底面所成角的正弦值. 23．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN． 【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD， 所以AE∥MN. 24．如图所示，山坡的倾角为（就是坡面与地平面所成的二面角是），山坡上有一条与斜坡底线成角的小路，如果某人从点E开始沿这条小路走了，问此人离开地平面的高度约为多少米（精确到）? 【答案】17米 【分析】根据题意用式子表示已知条件，通过勾股定理即可得出答案. 【详解】如图所示，, 米，平面， 在中， 米， 在中， 米， 故此人离开地平面的高度约为17米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $