福建省长乐华侨中学2026年高一数学暑假作业4

暑假作业4 答案 一、单选题 1．若复数z是的根，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】∵， ∴由求根公式得：， 即：，∴当时，， 当时，. 综述：. 故选：B. 2．在中，点为BC边上一点，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过点P作PD∥AB，交AC于点D，作交AB于点E，   ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∴ 故选：C． 3．袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341  332  341  144  221  132  243  331  112 342  241  244  342  142  431  233  214  344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，这5组数据满足条件， 所以估计恰好抽取三次就停止的概率. 故选：D 4．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，该组合体由一个圆锥与一个圆柱组成，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，圆柱的上底面面积 圆柱的侧面积 圆锥的母线长，则圆锥的侧面积 故该几何体的表面积．故选：B． 5．一次投篮练习后体育老师统计了第一小组10个同学的命中次数作为样本，计算出他们的平均命中次数为6，方差为3，后来这个小组又增加了一个同学，投篮命中次数为6，那么这个小组11个同学投篮命中次数组成的新样本的方差是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：设10个同学的命中次数分别为. 则有得 于是新样本的平均数 新样本的方差为 故选：B 6.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为  A. B. C. D. 【答案】A 7．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ）    A．成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人 B．成绩前名的学生中，高一人数不超过人 C．成绩前名的学生中，高三人数不超过人 D．成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【详解】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确； 由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确； 成绩前50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，C正确； 第51到100名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误． 故选：D． 8．设为的内心，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连， 因为，，所以，， 所以的内心在线段上，为内切圆的半径， 因为， 所以， 所以，得， 所以，所以， 又，所以， 又已知，所以， 所以.故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键. 二、多选题 9．袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（    ） A．甲与乙是对立事件 B．甲与乙是互斥事件 C．丙与丁相互独立 D．甲与丁相互独立 【答案】BD 【分析】先求出事件对应的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否为1判断A、B选项，再由独立事件的概率公式判断C、D选项即可. 【详解】设甲、乙、丙、丁事件分别对应，则，，丁包含的基本事件有， 则，，；对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误；B正确； 对于C，，则，则C错误；对于D，，则，D正确. 故选：BD. 10．如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点P，则在原图中下列说法正确的是（    ）       A．四边形ABCD的面积为18 B．与同向的单位向量的坐标为 C．在向量上的投影向量的坐标为 D．的最小值为17 【答案】BD 【详解】由直观图可得， 四边形为直角梯形，且， 则四边形的面积为，故A错误； 如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，则， 所以与同向的单位向量的坐标为，故B正确； ，则在向量上的投影向量的坐标为，故C错误； 设，则， 则， ， 当时，取得最小值，故D正确.      故选：BD. 11．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则（    ）   A．直线，为异面直线 B．二面角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正切值为 D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 【答案】BC 【详解】对于A，连接，则为矩形，则， 而点E，G分别是棱AD，CD的中点，故， 则四点共面，故直线，不是异面直线，A错误； 对于B，连接交于点O，连接，   平面平面，故， 又平面，故平面, 即为二面角的平面角， 又， 故，B正确； 对于C，由于平面，故即为直线与平面所成角， 而,故，C正确； 对于D，连接，则, 则梯形即为过点B，E，F的平面截正方体的截面， 而， 故等腰梯形的高为， 故等腰梯形的面积为， 即过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为，D错误， 故选：BC 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是 ． 【答案】80 【详解】由题意可设这10个数据为，其方差为， 则 ， 故， 故答案为：. 13．刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有5的概率是 ． 8 1 6 3 5 7 4 9 2 【答案】/ 【详解】随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为共8个， 其中含有5的基本事件有共4个，则含有5的概率是. 故答案为：. 14．在锐角中，角的对边分别为，若，，则边的取值范围是 ． 【答案】 【详解】在锐角中，有，，， 由余弦定理得， 把代入得，， 又，所以.有， 由，得. 在中由正弦定理得，， ， 因为，所以，. 故答案为：. 四、解答题 15．已知复数． (1)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围； (2)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为A，B，求线段AB的长度． 【详解】（1）在复平面内的对应点为， 因为点位于第二象限，所以，解得． 所以的取值范围为． （2）因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以，， ∴点，，∴, 所以． 16．猜灯谜是我国元宵节传统特色活动．在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为，． (1)任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率． 【详解】（1）设事件A=“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B=“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件C=“任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对”． 则，，故，， 因为事件A与事件B相互独立， 所以． （2）设事件D=“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”， 事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”， 因为事件A、事件B、事件C两两独立，那么 ． 所以，，所以． 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 18．我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：    (1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数； (2)从频率分布直方图中，估计第三四分位数是多少；（精确到0.1） (3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率． 【详解】（1）本次考试成绩的平均数约为 . 所以本次考试成绩的平均数. （2）因为， ， 所以第三四分位数，即第75百分数在内， 所以第三四分位数， 所以估计第三四分位数约为 （3）第5组人数为，第6组人数为， 被抽取的成绩在内的4人，分别记为，，，； 成绩在内的3人，分别记为，，；则从这7人中随机抽取2人的情况为： ， ，， 共21种； 其中被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：，，，，，共15种. 故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为. 19．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，，M为边PC的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求三棱锥的体积． 【详解】（1）证明：取的中点为N，连接，    因为M为边PC的中点，故，且， 由底面是梯形，, ， 则，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面； （2）证明：取的中点为E，连接， 因为，所以， 由底面是梯形，，， 作，垂足为F，则四边形为矩形，则，    可得，且， 由，故，而， 故， ，故， 平面，故平面， 又平面，故平面平面； （3）因为M为边PC的中点，故， 而, 由平面，，故， 故三棱锥的体积为. 试卷第2页，共7页 试卷第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $2025一一2026学年长乐侨中高一数学暑假作业4 编号： 集备组：高一数学 分类：☑基础训练口培优口辅后 口课时达标☑拓展提升 课题 暑假作业4 用时：120分钟 编者： 审核人： 分层：必做 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.若复数z是x2+x+2=0的根，则z=（) A.1 B.√5 C.2 D.3 2.在△MBC中，点P为BC边上一点，且AP=AC+AB,则实数元=（) A月 B. c D 3.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都 取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率.用1,2,3,4分别代表红、黄、 黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组， 表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341332341144221132243331112 342241244342142431233214344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为() B C. 4.“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使 其旋转.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径 为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为() A.4π B.(3+√2)元 C.(2+√2)元 D.(8+2W5)π 5.一次投篮练习后体育老师统计了第一小组10个同学的命中次数作为样本，计算出他们的平 均命中次数为6，方差为3，后来这个小组又增加了一个同学，投篮命中次数为6，那么这个小 组11个同学投篮命中次数组成的新样本的方差是() 30 A.3 B. c沿 D. 10 6.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为() A.16π B.20π C.24r D.32π 7.某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如 图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是() 前200名学生分布的扇形图 前200名中高一学生排名分布的频率条形图 个频率 高二 0.4 30% 高一 45% 0.3 高三 0.2 25% 0.1 0 1-50 51-100101-150151-200排名 A.成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人 B.成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人 C.成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人 D.成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多 8.设O为△ABC的内心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+nAC(m,neR),则m+n=() A.号 B. c.5 3 D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地依次随 机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字 是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为 6,则() A.甲与乙是对立事件 B.甲与乙是互斥事件 C.丙与丁相互独立 D.甲与丁相互独立 10.如图所示，四边形A'B'CD是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图， 其中，AD=5,CD=CB=2,点P'在线段CD上，P'对应原图中的点P,则在原图中下列 说法正确的是() B A.四边形ABCD的面积为18 B.与B同向的单位向量的坐标为 C.AD在向量B上的投影向量的坐标为 5-5 D.}3PA+PB的最小值为17 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点E,F,G分别是棱AD,DD,CD的中 点，则() D C B A B A.直线AG,CE为异面直线 B。二面角刀-4C月的余弦位为} C.直线4G与平面ADDA所成角的正切值为 4 D.过点B,E,F的平面截正方体的截面面积为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是 13.刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的(2k+1)阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，即 把1,2，，排成×n的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.如图是刘徽构作的3 阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有5的概率是· 1 6 3 5 7 9 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=√2bc,c=4,则边a的取 值范围是 四、解答题：本题共5小题，1共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知复数==(m-1)+(m+1)i(m∈R). (1)若=在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围； (2)若=为纯虚数，设z2,2-=在复平面上对应的点分别为A,B,求线段AB的长度. 16.(15分)猜灯谜是我国元宵节传统特色活动.在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组 织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知， 甲、乙猎对该难度的每道灯送的佩车分别为宁，号》 (1)任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率： (2)任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为 5，求丙猜对该难度的每 2 道灯谜的概率. 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以4，b,c为边长的三个 ,sinB=1 正三角形的面积依次为母，，9，已知8-S+S=5 3 (1)求△ABC的面积 ()②若sin AsinC=V2 ,求b. 18.(17分)我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行 一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组： 第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]， 得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： 频率 组距 0.030 0.026 0.020 8888 0.006 0405060708090100成绩（分） (1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数： (2)从频率分布直方图中，估计第三四分位数是多少：（精确到0.1） (3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级， 若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率. 19.(17分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，∠ABC=∠BCD=90°， 2AB=2BC=CD=4,PA=PD,PDL PA,PC=2W5,M为边PC的中点. M A 2 (1)求证：BM∥平面PAD: (2)求证：平面PAD⊥平面ABCD; (3)求三棱锥P-ADM的体积.