福建省长乐华侨中学2026年高一数学暑假作业3

2025一一2026学年长乐侨中高一数学暑假作业3 编号： 集备组：高一数学 分类：☑基础训练口培优口辅后 ☑课时达标☑拓展提升 课题 暑假作业3 用时：120分钟 编者： 审核 必做： 选做： 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.数据0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的60百分位数为() A.6 B.6.5 C.7 D.5.5 2.若直线l∥平面a,直线aca,则() A.l∥a B.I与a异面 C.1与a相交D.1与a没有公共点 3.已知a,B为关于x的实系数方程-4x+5=0的两个虚根，则+A_（) a+B A B. C.5 D.-√5 2 4.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示 “红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同'，事件D表示“至少一枚骰子的 点数是奇数”.则下列说法中正确的是() ①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 5已知一组数据x,x,x,x4,的平均数为2，方差为号，则另一组数据3x-2,3x-2, 3x3-2,3x4-2,3x-2的平均数、标准差分别为() A.2, B.2,1 C.4,3 2 9-2 D.4, 6.已知甲、乙两人射击同一目标命中的概率分别为p和A(0<p,9>1),对于两人各自独 立射击一次的事件，有下列四个说法： ①目标被命中两次的概率为Pq: ②目标恰好被命中一次的概率为P+q; ③目标至多被命中一次的概率为1-pq; ④目标被命中的概率为P+q-Pq. 则四个说法中，所有正确说法的序号为() A.①④B.②③C.①③④D.①②④ 试卷第1 7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则圆锥的体积为() A.2W3π B.3√3π C.6√3元 D.9W3π 8.己知cos(a+B)=m,tan atan B=2,则cos(a-B)=() A.-3 B. 3 c. D.3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽 取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成 绩样本数据分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)[70,80)，[80,90)，[90,100]，绘制得到如图所 示的频率分布直方图（同一组的数据用该组的中间值代表）.则下列说法中正确的是() 个频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0405060708090100成绩/分 第9题图 第10题图 A.男生成绩样本数据的平均数为71 B.估计有90%的男生数学成绩在84分以内 C.在[50,60)和[90,100]内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自 不同分组的餐率为 D.若男生成绩样本数据的方差为187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5 和119，则总样本的方差为146 10在如上图所示的三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC,并且OA,OB,OC两两互相垂直， 则下列结论正确的是() A.直线AB与平面OBC所成的角为30 B.二面角O-BC-A的正切值为√2 C.P为线段AC的中点，直线OP与BC所成的角为45 D.作OM⊥平面ABC,垂足为M,则M为△ABC的重心 万，共4页 11.△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,S为△ABC的面积，且a=2W5, A丽.AC=2W3 S,下列选项正确的是() 3 A.A=π 3 B.若△4BC有两解，则b取值范围是(2V3,4) C.若△4BC为锐角三角形，则b取值范围是[2,4] D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12:某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.他们从3~6岁， 7~12岁，13~15岁，16~18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份.因 调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本.若 在712岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在1618岁年龄段的问卷中抽取的份数 为 13.如图，直四棱柱ABCD-ABCD的底面是边长为2的正方形，A4=3,E,F分别是AB, BC的中点，P为直四棱柱表面上的动点，若D,E,F,P四点共面，则动点P的轨迹的 长度为 B 14.如图所示是某电路子模块，位置1,2,3随机接入3个电子元件A,B,C,不同位置的元 件是否正常工作不受其它元件影响.当1号位置正常工作，同时2号位与3号位中至少有一 个位置正常工作，该电路子模块才能正常工作.若电子元件A,B,C正常工作的概率分别为0.6， 0.7,0.8当接入电子元件A,B,C后，则该电路子模块能正常工作的概率最大值 是 试卷第2页 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别如下： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0：乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0. (1)分别求两组数据的众数、中位数、极差： (2)根据两组数据的平均数和标准差的计算结果，比较两台机床性能， 16.某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分)： [65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),125,135),[135,145),整理得到如图所 示的频率分布直方图. 共4页 频率 组距 0.030 0.020 0.016 0.012 0.006 0.004 657方8595105115125135145分数 0 (I)求第七组的频率： (2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)： (3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从[95,105)，105,115)的两组中抽取5个人进一步做 调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD, 且PA=PD=5。,设E,F分别为PC,BD的中点 2 (1)求证：EF/平面PAD: (2)求证：平面PAB⊥平面PDC. 试卷第3页， E D--- B 18.记△ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,c,己知sinC=√2cosB,a2+b2-c2=√2ab (1)求B: (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. 共4页 19.在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，AB=2BC=2CD,如图①， △ADE折起，使点A到达点P的位置，如图②. B B ① ② (1)证明：CP⊥DE; (2)若CE⊥平面DEP,且AB=2,求点C到平面PBD的距离 以DE为折痕将 试卷第4页，共4页 暑假作业3答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（    ） A．6 B．6.5 C．7 D．5.5 【答案】D 2．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（    ） A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 【答案】D 3．已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”. 则下列说法中正确的是（      ） ①A与C互斥    ②B与D对立    ③A与D相互独立    ④B与C相互独立 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 5 已知一组数据，，，，的平均数为2，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、标准差分别为（    ） A．2， B．2，1 C．4， D．4， 【答案】C 6．已知甲、乙两人射击同一目标命中的概率分别为和（，），对于两人各自独立射击一次的事件，有下列四个说法： ①目标被命中两次的概率为； ②目标恰好被命中一次的概率为； ③目标至多被命中一次的概率为； ④目标被命中的概率为. 则四个说法中，所有正确说法的序号为（    ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 7．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩满分为分，成绩都是整数中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个，再将个男生成绩样本数据分为组：，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图同一组的数据用该组的中间值代表则下列说法中正确的是（    ） A．男生成绩样本数据的平均数为 B．估计有的男生数学成绩在分以内 C．在和内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为 D．若男生成绩样本数据的方差为，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，则总样本的方差为 【答案】AC 10 在如图所示的三棱锥中，，并且OA，OB，OC两两互相垂直，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB与平面OBC所成的角为 B．二面角的正切值为 C．P为线段AC的中点，直线OP与BC所成的角为 D．作平面ABC，垂足为M，则M为的重心 【答案】BD 【详解】对于A，因为，，且，平面，所以平面， 所以，为直线与平面的夹角，由，且，则，故A错误； 对于B，由题意，取的中点，记为，连接，如下图所示： 设，在中，，同理可得：，则， 在中，由为的中点，则，同理可得：，所以为二面角的平面角， 在中，，易知，因为平面，且平面，所以，在中，，故B正确；对于C，由题意，取的中点，记为，连接，如下图：由选项B可知：，，因为分别为的中点，所以，，所以为直线与直线夹角或其补角，在中，，同理可得：，在中，，则，故C错误；对于D，连接，如上图： 因为平面，且平面，所以，同理可得，因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得：，， 所以为的垂心，又因为正三角形重心与垂心重合，所以M为重心，故D正确. 11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若有两解，则取值范围是 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为边上的中点，则的最大值为3 【答案】ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12： 某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为 ． 【答案】120 【详解】因为岁年龄段回收了180份问卷，而样本在岁年龄段的问卷中抽取了60份， 所以抽样比为．因为分层抽取的样本的容量为300，故回收的问卷总数为（份）， 可得（份），所以在16～18岁年龄段中抽取的问卷为 13．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为 ． 【答案】 14．如图所示是某电路子模块，位置1，2，3随机接入3个电子元件，不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响．当1号位置正常工作，同时2号位与3号位中至少有一个位置正常工作，该电路子模块才能正常工作．若电子元件正常工作的概率分别为0.6，0.7，0.8当接入电子元件后，则该电路子模块能正常工作的概率最大值是 ． 【答案】0.704 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别如下：甲：0，0，1，2，0，0，3，0，4，0；乙：2，0，2，0，2，0，2，0，2，0. (1)分别求两组数据的众数、中位数、极差； (2)根据两组数据的平均数和标准差的计算结果，比较两台机床性能． 【详解】（1）由题知，甲的众数为0，乙的众数为0和2，甲的中位数为0，乙的中位数为， 甲的极差为，乙的极差为. （2）甲的平均数，乙的平均数， 甲的方差，乙的方差， 所以甲的标准差为，乙的标准差为，因此，甲、乙的平均水平相当，但是乙更稳定． 16．某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求第七组的频率； (2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率． 【答案】(1) (2)102分 (3). 【分析】（1）根据各组的频率和为1求解即可； （2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解； （3）利用分层抽样的定义结合已知条件求出从的所抽取的人数，然后利用列举法求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为： ； （2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为： （分）； （3）由频率分步直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为， 按照分层抽样抽取5人，则在分别抽取3人和2人， 记这组三人的编号为这组两人的编号为， 故从5人随机抽取2名，共10种情况，为： 设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组” 则，共6种情况． 故， 即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为． 【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况. 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点.    (1)求证：//平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，结合线面平行的判定定理作答； （2）根据给定条件，证明，由面面垂直、线面垂直的性质证得，再利用面面垂直、线面垂直的判定推理作答. 【详解】（1）连结，如图：    ∵底面为正方形，为的中点，∴为中点， 又∵为的中点，∴为的中位线， ∴，又平面，平面， ∴//平面； （2）∵为正方形，∴， 又平面平面，平面面，平面， ∴平面，平面，∴， 又，则， ∴是等腰直角三角形，且， 又平面，平面，且， ∴平面，又平面，∴平面平面. 18．记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 19．在中，分别为的中点，，如图①，以为折痕将折起，使点A到达点P的位置，如图②． (1)证明：； (2)若平面，且，求点C到平面的距离 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题可得，然后利用线面垂直的判定定理及性质定理即得； （2）根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用等积法结合条件即得. 【详解】（1）证明：在图1中，因为，且为的中点， ，又为的中点，所以， 在图2中，，且，平面， 平面，又平面， 所以； （2）因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，连接，则， 因为，为等边三角形， 所以，，， 所以， 取的中点，连接，则， 设点到平面的距离为， ，即，解得， 即点到平面的距离为． 4 学科网（北京）股份有限公司 $