7.3 独立性检验同步练习 -2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦独立性检验，通过基础认知、技能应用、综合探究三层设计，实现从概念识别到实际问题解决的递进，培养数学眼光与数据观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|独立性检验概念、方法选择|单选考方法判断（如第1题选检验方法），多选辨析原理（如第5题）| |技能应用|χ²计算、列联表分析|填空/选择考统计量计算（如第3题χ²值）、临界值判断（如第4题）| |综合探究|实际问题建模与推断|解答题结合调查情境（如第12题老年人志愿者需求），考完整分析流程|

3 独立性检验 1.在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是（　　） A.频率分布直方图　　　　 B.回归分析 C.独立性检验 D.用样本估计总体 2.给出下列实际问题： ①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系. 其中用独立性检验可以解决的问题有（　　） A.①②③ B.②④⑤ C.②③④⑤ D.①②③④⑤ 3.下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表，则χ2的值约为（　　） 班级 考试成绩 不及格 及格 总计 甲班 12 33 45 乙班 9 36 45 总计 21 69 90 A.0.559 B.0.456 C.0.443 D.0.4 4.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有95%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是（　　） A.χ2＞6.635 B.χ2＜6.635 C.χ2＞3.841 D.χ2＜3.841 5.（多选）下列关于独立性检验的说法中，正确的是（　　） A.独立性检验依据小概率原理 B.利用独立性检验原理得到的结论一定正确 C.样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D.独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法 6.（多选）晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，某高中M的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类高中N的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息.有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中高中M有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则（　　） A.高中M的前50名学生中有60%的学生学习效率高 B.高中N的前50名学生中有40%的学生学习效率高 C.有99%的把握认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关 D.没有99%的把握认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关 7.博鳌亚洲论坛2023年年会于3月28日至31日在海南博鳌举行.为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与会俄语”的2×2列联表中，a－b＋d＝　　　　. 性别 会俄语情况 会俄语 不会俄语 总计 男 a b 20 女 6 d 总计 18 30 8.在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841和6.635.当χ2≥3.841时，至少有95%的把握说明两个事件有关；当χ2≥6.635时，至少有99%的把握说明两个事件有关；当χ2＜3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2 000人，经计算得χ2＝20.87.根据这一数据，我们可认为打鼾与患心脏病　　　　（填“有关”或“无关”）. 9.为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 性别 疗效 无效 有效 总计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计 21 79 100 由上表中数据计算得χ2≈　　　　，从而得出结论：有　　　　的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关. 10.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到结果如下： 文化程度 月收入 月收入2 000元以下 月收入2 000元及以上 总计 高中文化以上 10 45 55 高中文化及以下 20 30 50 总计 30 75 105 由上表中数据计算得χ2＝≈6.109，请估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”（　　） A.1%　　B.99%　　C.2.5%　　D.95% 11.（多选）有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示： X Y Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a，15－a均为大于5的整数，若有95%的把握判断X，Y有关，则a的值为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 12.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 是否需要志愿者 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由. 13.某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的.若被调查的男生人数为n，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，求n的最小值. 3 独立性检验 1.C　根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出χ2，得出概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验. 2.B　独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验. 3.A　χ2＝≈0.559，故选A. 4.C　有95%的把握认为事件A和B有关系，由独立性检验可知应为χ2＞3.841. 5.ACD　根据独立性检验的概念，可得独立性检验依据小概率原理，所以A正确；利用独立性检验时与样本的选取有关，所以得到的结论可能有误，所以B错误；利用独立性检验时与样本的选取有关，所以样本不同，独立性检验的结论可能有差异，所以C正确；例如回归分析也能判定两类事物的相关性，所以独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法，所以D正确，故选A、C、D. 6.AC　高中M的前50名学生中有30人学习效率高，即×100%＝60%，所以A正确.这100名学生中学习效率高的学生有100×0.4＝40（人），高中N的前50名学生中有10人学习效率高，即×100%＝20%，所以B错误.根据题意填写列联表如下. 学校 学习效率情况 学习效率高 学习效率不高 总计 高中M 30 20 50 高中N 10 40 50 总计 40 60 100 χ2＝＝≈16.667＞6.635，有99%的把握认为学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关，C正确，D错误.故选A、C. 7.8　解析：由2×2列联表的性质，可得：a＝18－6＝12，b＝20－12＝8，6＋d＝30－20，可得d＝4，所以a－b＋d＝8. 8.有关　解析：当χ2＝20.87＞6.635时，至少有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关. 9.4.882　95%　解析：由公式计算得χ2≈4.882.因为χ2＞3.841，所以我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关. 10.D　由于6.109＞3.841，故有95%的把握认为“文化程度与月收入有关系”. 11.CD　根据公式，得 χ2＝＝＞3.841，根据a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意. 12.解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为×100%＝14%. （2）χ2＝≈9.967. 由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. （3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层随机抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. 13.解：由题意得到如下列联表： 性别 看篮球赛情况 喜欢 不喜欢 总计 男 n 女 总计 n 所以χ2＝＝. 因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，所以χ2＞3.841， 即＞3.841，得n＞≈10.24. 又，，为整数，所以n的最小值为12. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $