第69讲 空间距离导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理空间距离专题，涵盖空间两点间距离、点到直线距离、点到平面距离及异面直线间距离等核心考点，按“公式-方法-应用”层次构建知识体系，通过问题链设计引导学生自主归纳向量法、等体积法等解题策略，形成完整认知框架。 亮点在于题型全归纳与分层自测设计，如必考题型涵盖选择、填空、解答题，巩固提升设置基础到综合题组，培养学生数学思维与空间观念。每个题型配解题步骤指引，学生可自主诊断薄弱点，教师能依据学情精准辅导，提升复习实效。

2027届高三数学一轮复习 第六十九讲 空间距离 【学习目标】会求点到平面的距离、线到面、面到面的距离. 【学习重点】向量法求解空间距离. 【学习难点】选择合适的方法求解空间距离. 必掌握知识点 1.空间两点间的距离公式 若，，则 =. 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 必考题型全归纳 题型一、点到直线距离 1．（四川省仁寿第一中学校南校区2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，下列命题：①当时，异面直线与所成角的正切值为2；②当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为拋物线的一部分；③存在点P满足；④满足的点P的轨迹长度为；其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（四川省仁寿第一中学校南校区2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，下列命题：①当时，异面直线与所成角的正切值为2；②当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为拋物线的一部分；③存在点P满足；④满足的点P的轨迹长度为；其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3（多选）．（河南省名校2025-2026学年高二上学期秋季检测（9月）数学试题）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（    ） A．平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形 B．向量在向量上的投影向量的模为 C．存在点P，使得 D．点P到棱距离的最小值为 4．如图，已知，，则以OA，OB为邻边的平行四边形的两条高的长度分别为______． 5．若，，，则以，为邻边的平行四边形的面积是______. 题型二：求异面直线间的距离 6．定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（  ）    A． B． C． D． 7．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 8．已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由. 9．在平行四边形中，，，，分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠.在折叠过程中，的最小值为 . 题型三、点到平面的距离 10．已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂 足．若，则到平面的距离等于 A． B． C． D．1 11．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　) A． B． C． D．1 12．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是（    ） A．当点P在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为 B．当点P为棱的中点时，CN∥平面 C．当点P在棱上时，点P到平面的距离的最小值为 D．当点时，满足平面的点P共有2个 13（多选）．（河南省郑州市2024-2025学年高三下学期第三次质量预测数学试题）如图，在棱长为6的正四面体中，点O是顶点P在底面ABC内的射影，N为PO的中点，则（   ） A． B．点C到平面的距离为 C．如果在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．动点Q在平面ABC内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为 14．（福建省龙岩市长汀县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）如图，四棱锥中，底面为菱形，，，平面平面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有（ ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，平面平面 C．点到平面的距离为 D．存在，使得 15．（甘肃武威市九师联盟2026届高三联考模拟预测数学试题）如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的外接球的表面积是 B．三棱锥体积的最大值为 C．二面角为直二面角时，的长为 D．二面角为直二面角时，点到平面的距离为 巩固提升： 1. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(　　) A.2 B.2 C. D.4 2.一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截(如图)，O为底面圆的中心，O1为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且∠AO1B＝60°，则点B到底面的距离是________. 3.平面内的,是的斜线，，那么点到平面的距离为__________． 4．已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为______． 5．如图，在三棱锥中，，，O为AC中点. （1）证明：平面 （2）若点M在棱BC上，且，求点C到平面POM的距离. 6．（河北省雄安新区雄安十校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 7．（安徽省马鞍山市第二中学2025-2026学年高二上学期10月教学质量监测数学试题）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第六十九讲 空间距离 【学习目标】会求点到平面的距离、线到面、面到面的距离. 【学习重点】向量法求解空间距离. 【学习难点】选择合适的方法求解空间距离. 必掌握知识点 1.空间两点间的距离公式 若，，则 =. 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 必考题型全归纳 题型一、点到直线距离 1．（四川省仁寿第一中学校南校区2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，下列命题：①当时，异面直线与所成角的正切值为2；②当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为拋物线的一部分；③存在点P满足；④满足的点P的轨迹长度为；其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对于①，可得为异面直线与所成角，由可得，然后在中利用正余弦定理可求得结果，对于②，将距离转化后，利用抛物线的定义分析判断，对于③，由题意可得点轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上，点P轨迹是以为圆心，长度为的圆上，则可得点是两圆的交点，对于④，取的中点，连接，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，可得点的轨迹为. 【详解】对于①，如图，CP与AD所成的角即CP与BC所成的角，即， 因为，所以，，， 所以由余弦定理，得， 由正弦定理，，所以， 所以， 即CP与AD所成的角的正切值为2，①正确； 对于②，点P到平面的距离即点P到直线的距离，点P到直线的距离即点P到的距离， 依据抛物线的定义当两距离相等时点P的轨迹为抛物线一部分，②正确； 对于③选项，假设，点到距离可以转化成， 正好点，且始终垂直平面，所以只需要让即可， 点轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上， 同理，，只需要让即可，点P轨迹是以为圆心，长度为的圆上，如图1. 又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满足， 选项③正确； 对于④选项，取的中点，连接，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则， 因为分别为的中点，所以， 因为，所以≌， 所以，因为，所以， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以， 同理，因为，平面， 所以平面，平面平面， 所以点的轨迹为， 所以选项④正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查异面直线所成的角，考查点到面的距离的求解，考查立体几何中的轨迹问题，考查正余弦定理的应用，解题的关键是根据题意结合正方体的性质和线面垂直的判定与性质求出动点的轨迹，考查空间想象能力和计算能力，属于难题. 2．（四川省仁寿第一中学校南校区2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题）如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，下列命题：①当时，异面直线与所成角的正切值为2；②当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为拋物线的一部分；③存在点P满足；④满足的点P的轨迹长度为；其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对于①，可得为异面直线与所成角，由可得，然后在中利用正余弦定理可求得结果，对于②，将距离转化后，利用抛物线的定义分析判断，对于③，由题意可得点轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上，点P轨迹是以为圆心，长度为的圆上，则可得点是两圆的交点，对于④，取的中点，连接，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，可得点的轨迹为. 【详解】对于①，如图，CP与AD所成的角即CP与BC所成的角，即， 因为，所以，，， 所以由余弦定理，得， 由正弦定理，，所以， 所以， 即CP与AD所成的角的正切值为2，①正确； 对于②，点P到平面的距离即点P到直线的距离，点P到直线的距离即点P到的距离， 依据抛物线的定义当两距离相等时点P的轨迹为抛物线一部分，②正确； 对于③选项，假设，点到距离可以转化成， 正好点，且始终垂直平面，所以只需要让即可， 点轨迹是以B为圆心，长度为1的圆上， 同理，，只需要让即可，点P轨迹是以为圆心，长度为的圆上，如图1. 又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满足， 选项③正确； 对于④选项，取的中点，连接，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则， 因为分别为的中点，所以， 因为，所以≌， 所以，因为，所以， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以， 同理，因为，平面， 所以平面，平面平面， 所以点的轨迹为， 所以选项④正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查异面直线所成的角，考查点到面的距离的求解，考查立体几何中的轨迹问题，考查正余弦定理的应用，解题的关键是根据题意结合正方体的性质和线面垂直的判定与性质求出动点的轨迹，考查空间想象能力和计算能力，属于难题. 3（多选）．（河南省名校2025-2026学年高二上学期秋季检测（9月）数学试题）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（    ） A．平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形 B．向量在向量上的投影向量的模为 C．存在点P，使得 D．点P到棱距离的最小值为 【答案】AC 【分析】作出截面图形判断A；建系，利用向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量，借助坐标求出投影向量，判断B；利用坐标法可判断CD. 【详解】对于A，如图直线与、的延长线分别交于、， 连接、分别交、于、，连接、， 则五边形即为所得的截面图形，故A正确； 对于B，，所以向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 所以，所以 所以向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的模为，故B错误； 对于C，借助B选项， ，，，， 设，其中，所以， 又、、， 所以，，， 假设存在点，使得， 所以，整理得， 所以（舍去）或， 故存在点，使得，故C正确； 对于D ，由上知，所以点在的射影为， 所以点到的距离为： ， 所以当时，，故D错误， 故选：AC． 4．如图，已知，，则以OA，OB为邻边的平行四边形的两条高的长度分别为______． 【答案】2， 【分析】求出，计算得，因此以OA为底的高的长度为，然后求出与夹角的余弦并计算出正弦，从而可得以为底的高． 【详解】设，，易得，则，所以，所以以OA为底的高的长度为． ，所以， 所以以OB为底的高的长度为． 故答案为：2，． 5．若，，，则以，为邻边的平行四边形的面积是______. 【答案】 【分析】根据数量积定义可得，然后由三角形面积公式可得. 【详解】由得， 因为，所以， 于是该平行四边形的面积.故答案为： 题型二：求异面直线间的距离 6．定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据即可求解. 【详解】    如图，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 由题意得， 则. 设异面直线与的公垂线的方向向量， 则，即，令，得，， 所以异面直线与之间的距离.故选：C. 7．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离． 【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则， ，则，又，， ，直线交于点，， 以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，， ， 设与和都垂直， 则，取，则，， P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于． 故选：D． 8．已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，. (1)求四棱锥的体积； (2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)存在，或 【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积； （2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与，均垂直的向量，进而利用异面直线BF，DE的距离为1建立等式求出a. 【详解】（1） ∵侧面为正方形，∴， 又，且，面， ∴平面，又， ∴平面，取BC中点G， 则，∴平面. ∴. （2）以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 设，则，，. 设与，均垂直的向量为， 则，即，取， ∴异面直线BF，DE的距离，解得或. ∴或. 故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时或. 9．在平行四边形中，，，，分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠.在折叠过程中，的最小值为 . 【答案】 【分析】根据平行四边形的边长即角度可得，再由两点的位置关系以及的几何意义，确定出沿折叠过程中三棱锥的体积最大时平面，建立空间直角坐标系利用两异面直线间的距离公式即可计算出结果. 【详解】根据题意可知，如下图所示；    由，，利用余弦定理可得， 解得，所以满足，即，则 又分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，则表示两直线之间的距离， 在沿折叠过程中，直线由两平行线变成两异面直线，且两直线间的距离越来越近； 当三棱锥的体积最大时，此时平面； 即此时两点之间的距离最小，即为两异面直线之间的距离； 以点为坐标原点，分别以为轴，轴，以过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    则， 即， 设与垂直的一个向量为， 则，令，则，可得 不妨取，由两异面直线间的距离公式可得 的最小值为故答案为： 【点睛】：本题关键在于把“两点之间的最小距离为”理解成异面直线之间的距离，再利用折叠过程中的位置关系，代入两异面直线距离公式求解即可. 题型三、点到平面的距离 10．已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂 足．若，则到平面的距离等于 A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】如图，在平面内过点作于点． 因为为直二面角，，所以，从而可得．又因为，所以面，故的长度就是点到平面的距离． 在中，因为，所以 因为，所以．则在中，因为，所以．因为，所以，故选C 11．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　) A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】∵=++, ∴||2=||2+||2+||2, ∴||2=2. 在Rt△BDC中,BC=. ∵平面ABC⊥平面BCD,过D作DH⊥BC于H, 则DH⊥平面ABC, ∴DH的长即为D到平面ABC的距离, ∴DH===,故选C. 12．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是（    ） A．当点P在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为 B．当点P为棱的中点时，CN∥平面 C．当点P在棱上时，点P到平面的距离的最小值为 D．当点时，满足平面的点P共有2个 【答案】C 【分析】与不可能垂直，故选项A错误；平移与平面相交于一点，故选项B错误；利用体积相等即可求出点P到平面的距离的最小值为判断选项C，当点时，满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时，故判断选项D 【详解】由于线面角的最大值为， 与不可能垂直，故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A错误； 取的中点为，的中点为,连接,相交于点，连接, 且 故 平面,面，故不能与平面平行，故选项B错误； 到平面的距离始终为，故当点运动到点时，取得最小值为，故 ,, 故，故选项C正确. 当点时，满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时，故选项D错误 故选：C. 13（多选）．（河南省郑州市2024-2025学年高三下学期第三次质量预测数学试题）如图，在棱长为6的正四面体中，点O是顶点P在底面ABC内的射影，N为PO的中点，则（   ） A． B．点C到平面的距离为 C．如果在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．动点Q在平面ABC内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为 【答案】BD 【分析】取的中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断A，根据等体积法判断B，求出内切球的半径，即可判断C，连接，即可得到，从而判断D. 【详解】取的中点，连接，则且为靠近的一个三等分点，过点作交于点，则， 又平面，如图建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则，，，，， 所以，， 所以，所以与不垂直，故A错误； 因为，所以， 又，所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 即点C到平面的距离为，故B正确； 对于C：因为，设正四面体的内切球的半径为， 则，即，解得， 所以在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为，故C错误； 对于D：连接，因为，平面，平面， 所以，所以，所以， 则点在平面所表示的图形为以为圆心，为半径的圆面， 所以动点的轨迹表示图形的面积为，故D正确. 故选：BD 14．（福建省龙岩市长汀县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）如图，四棱锥中，底面为菱形，，，平面平面，为等腰直角三角形，且，与交于点为的中点，在直线上，若，则下列说法正确的有（ ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，平面平面 C．点到平面的距离为 D．存在，使得 【答案】ACD 【分析】根据已知面面垂直性质定理得出线面垂直建系，得出线线角的余弦值判断A，求法向量再判断面面位置关系判断B，应用点到平面距离公式计算判断C，用空间向量数量积判断D. 【详解】取的中点，连接，， 为等腰直角三角形，且，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，底面是菱形，是等边三角形，， 则以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，， ，， 且，故选项A正确； 当时，， 设平面的一法向量为，平面的法向量为， 则，， 可取平面的法向量为， 平面的法向量为，则，所以选项B错误； 设面的法向量， 则， 取，即平面的法向量为，又， 则点到平面的距离为，故选项C正确； 又 所以时，，故选项D正确． 故选：ACD. 15．（甘肃武威市九师联盟2026届高三联考模拟预测数学试题）如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的外接球的表面积是 B．三棱锥体积的最大值为 C．二面角为直二面角时，的长为 D．二面角为直二面角时，点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用直角三角形射影定理求出，确定三棱锥的外接球球心及半径判断A；求出最大体积判断B；利用空间向量求出线段长判断C；利用等体积法求出点到平面距离判断D. 【详解】在矩形中，由，得，又于， 则，而，解得，， 对于A，取中点，连接，则， 点是三棱锥的外接球球心，球半径，该球表面积是，A正确； 对于B，由，得，， 当且仅当平面平面，即平面时，点到平面的距离最大， 因此三棱锥体积的最大值为，B正确； 对于C，，，由二面角为直二面角， 得，由，得 ，C错误； 对于D，由选项C知，，在中，由余弦定理得 ，则，， 二面角为直二面角时，由选项B得，设点到平面的距离为， 因此，所以，D正确. 巩固提升： 1. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(　　) A.2 B.2 C. D.4 答案　A 解析　如图，取PA的中点M，连接BM，CM， 因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC， 又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB， 又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB， 因为M是PA的中点，PB＝AB， 所以BM⊥PA， 又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM， 所以PA⊥平面BCM， 又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA， 即CM为点C到直线PA的距离. 在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2， 在Rt△BCM中， CM＝＝＝2， 故点C到直线PA的距离为2. 2.一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截(如图)，O为底面圆的中心，O1为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且∠AO1B＝60°，则点B到底面的距离是________. 答案　 解析　圆柱半径为1，截面与底边所成角为45°， 作AM⊥OO1于M， 则∠MAO1＝45°，AO1＝. 截面椭圆是以O1为中心，A为长轴端点的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2， 所以椭圆的方程为＋y2＝1， 作BC⊥AO1于C， 因为∠AO1B＝60°，直线O1B的方程为y＝x， 所以设B(x，x)， 又因为B(x，x)在椭圆＋y2＝1上， 解得x＝±， 所以BO1＝，CO1＝cos 60°＝， 过C作CD⊥OO1， 则O1D＝CO1＝， OD＝OO1－O1D＝2－＝， 由于BC，CD均平行于底面， 故B点到底面的距离是. 3.平面内的,是的斜线，，那么点到平面的距离为__________． 【答案】 【详解】由最小角定理可得:, ,点到平面的距离为,故填. 4．已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算证得线面垂直，得是平面的一个法向量．设到平面距离为，根据公式计算距离，设，结合辅助角公式计算最值． 【详解】如图所示，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ， 则，，， 即， 连接，因为，所以， 则，， 又，又，平面， 平面， 则是平面的一个法向量， 设到平面距离为，则， 由上可设， 则，其中， 故动点到平面距离的最小值为． 故答案为：． 5.如图，在三棱锥中，，，O为AC中点. （1）证明：平面 （2）若点M在棱BC上，且，求点C到平面POM的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由条件可得，连接OB，可证，从而可证明结论. （2）作，垂足为H，可证平面POM，CH的长即为点C到平面POM，然后可求解. 【详解】（1）因为O为AC中点，所以且 连接OB，因为， 所以为等腰直角三角形且 所以， 由知 又因为，所以平面ABC （2）作，垂足为H，又由（1）得平面ABC 又平面ABC,所以， 又，所以平面POM 故CH的长即为点C到平面POM 由题设可知，，， 所以， 6．（河北省雄安新区雄安十校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可. （2）利用等体积法求出点D到平面的距离. （3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. （2）在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. （3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. 7．（安徽省马鞍山市第二中学2025-2026学年高二上学期10月教学质量监测数学试题）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，，，平面平面． (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面， 又平面，平面平面，∴； (2) (3) 存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， ∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，则， ∴，解得． 即，， 设，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， ∴， 化简得，解得或， ∴当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，证明线线平行即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到面的距离的向量方法，求出结果即可； （3）根据线面角的正弦值的向量方法，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据公式列出方程，求出结果即可. 【详解】（1）略 （2） 如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，解得，即平面的一个法向量为， ∴点M到平面PBC的距离为． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $