专题3.5 利用导数证明不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考导数证明不等式核心考点，涵盖作差构造、拆分构造、放缩法等五种证明方法，按题型逻辑架构知识体系。通过知识梳理、题型示例、跟踪训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破不等式证明难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分层训练设计，例题结合最新模拟题，跟踪训练匹配考点难度，培养学生数学思维与逻辑推理能力。如放缩法专题中融入切线不等式应用，通过真题演练提升实战技巧，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

专题3.5 利用导数证明不等式 知识梳理 1.作差构造函数法证明不等式：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证． 2.拆分构造两个函数法证明不等式： (1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． (2)在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”． 3. 放缩法证明不等式： （1） 在给出了参数取值范围来证明不等式恒成立的题目中,把参数按取值范围放缩为常数.例如:已知参数,证明恒成立,按去参数放缩可得,只需要证明即可. （2）根据参数的范围，可以去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.比如要证明,如果能够得到,则把直接扔掉,若成立,则不等式恒成立 （3）切线不等式： 4. 分析法证明不等式: (1)分析函数的最值。 (2)转化为关于a的函数，构造辅助函数。 5.利用导数证明数列型不等式 思路：假设两个正项数列,,其前项和分别为,,若,则;若,则;因此,要解决之类的证明问题,可以将不等号右边的看出是某个正项数列的前项和,根据求出,进而证明,则相当于证明出. 【题型1 作差构造函数法证明不等式】 【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； （2）当时，求证：对任意的，恒成立； 跟踪训练 1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其导函数为. (1)求的单调区间； (2)证明：. 【题型2 拆分构造两个函数法证明不等式】 【例2】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 跟踪训练 1.已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 【题型3 放缩法证明不等式】 【例3】（25-26高二下·河北邢台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程．(2)证明：当时，． (3)求的最大值． 跟踪训练 1.（25-26高二下·陕西西安·期末）已知函数 . (1)当时，求的单调区间； (2)若，都有，求实数的值； (3)证明: . 2.（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，证明：当时，． 【题型4 分析法证明不等式】 【例4】（2026·河北沧州·三模）已知． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 跟踪训练 1.已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明：f(x)≥. 【题型5 利用导数证明数列型不等式】 【例5】（2026·青海西宁·二模）已知函数． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若，求证：． 跟踪训练 1.（2025·陕西咸阳·三模）已知关于的函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， 课后作业： 1.已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 2.（25-26高二下·山东滨州·期末）设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 3.（25-26高二下·河南·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，． 4.（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 5.设 (1)求的最小值；(2)证明： 6.（2026·山东济宁·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 7.（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)已知为数列的前项和，证明：． 8.（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若，，求a的取值范围； (3)当时，证明：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 利用导数证明不等式 知识梳理 1.作差构造函数法证明不等式：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证． 2.拆分构造两个函数法证明不等式： (1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． (2)在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”． 3. 放缩法证明不等式： （1） 在给出了参数取值范围来证明不等式恒成立的题目中,把参数按取值范围放缩为常数.例如:已知参数,证明恒成立,按去参数放缩可得,只需要证明即可. （2）根据参数的范围，可以去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.比如要证明,如果能够得到,则把直接扔掉,若成立,则不等式恒成立 （3）切线不等式： 4. 分析法证明不等式: (1)分析函数的最值。 (2)转化为关于a的函数，构造辅助函数。 5.利用导数证明数列型不等式 思路：假设两个正项数列,,其前项和分别为,,若,则;若,则;因此,要解决之类的证明问题,可以将不等号右边的看出是某个正项数列的前项和,根据求出,进而证明,则相当于证明出. 【题型1 作差构造函数法证明不等式】 【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； （2）当时，求证：对任意的，恒成立； 【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导，根据导数的符号求函数的单调区间； （2）分析可知原题意等价于，构建，利用导数分析最值证明不等式即可. 【解答过程】（1）当时，，则． 令，得；令，得． 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）证明：当时，． 要证，即证． 构建，则． 构建，则． 所以函数在上单调递增，则，即， 可知函数在上单调递增， 则，即． 跟踪训练 1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其导函数为. (1)求的单调区间； (2)证明：. 【详解】（1）由题函数定义域为R，，令， 所以当时，， 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明：由（1）令， 所以，令， 则在上恒成立， 所以函数即在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，即. 【题型2 拆分构造两个函数法证明不等式】 【例2】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）将 转化为 ，令 ，由求解； （2）法一：由(1)知，将问题转化为证 ，即证明；法二：令，，证明即可. 【详解】（1）由 得 ， 。 可化为 ， 令 ，则 。 令  得 ，  得， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的最小值为 ， 所以 ； (2)证明：法一：由(1)可知 ，即 ，故（时，等号成立）， 下证 ，即证 , 因为， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 又不能同时取“”，所以 . 法二：要证明不等式；令，， 只需证， 由，得， 当时，，当时，， 所以在单增，在单减， 所以， ，因为， 所以. 跟踪训练 1.已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 【解】　(1)f′(x)＝－a(x>0)， ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明：法一：因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e， 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝－e. 记g(x)＝－2e(x>0)， 则g′(x)＝， 所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝－e. 综上，当x>0时，f(x)≤g(x)， 即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0. 法二：由题意知，即证exln x－ex2－ex＋2ex≤0， 从而等价于ln x－x＋2≤. 设函数g(x)＝ln x－x＋2，则g′(x)＝－1. 所以当x∈(0，1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0， 故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1. 设函数h(x)＝，则h′(x)＝. 所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0， 故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1. 综上，当x>0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0. 【题型3 放缩法证明不等式】 【例3】（25-26高二下·河北邢台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：当时，． (3)求的最大值． 【难度】0.51 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. (2)当时，不等式， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，，因此当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 因此当时，，即， 所以当时，. （3）函数的定义域为，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则，函数在上单调递减，，而， 则当时，，函数在上单调递增； 令函数，求导得， 令函数，求导得， 当时，，则，函数，即在上单调递减， ，函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，所以函数在处取得最大值. 跟踪训练 1.（25-26高二下·陕西西安·期末）已知函数 . (1)当时，求的单调区间； (2)若，都有，求实数的值； (3)证明: . 【难度】0.42 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的符号求出单调区间即可； （2）先求出函数的单调性，得到，要使恒成立，只需，即，再设，由单调性得到 ，若要满足 ， 则必须 ， 此时 . （3）要证， 即证，由（2）可知， 当时，将不等式放缩为证明即可. 【详解】（1）当 时， ，定义域为. ， 令，解得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）， 令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以， 要使恒成立，只需，即. 设，则， 令，得，当时， 单调递增；当时， 单调递减. 所以 ，即对于任意的 ， 都有 ， 若要满足 ， 则必须 ， 此时 . 所以实数的值为 1. (3)要证 ， 即证 . 由(2)可知， 当 时 在 上恒成立， 所以 . 所以 . 设 ， 则 ， 当 时， ， 单调递增， 所以 ， 即 ， 所以 . 2.（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)若，证明：当时，． 【详解】（1），则当时；当时； 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为； (2)令，则， 则， 由（1）可知，则在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则， 若，，则，得证. 【题型4 分析法证明不等式】 【例4】（2026·河北沧州·三模）已知． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在(上单调递减. (2)证明见解析 【难度】0.38 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性； （2）由（1）可得，即可将问题转化为，构造函数，求导确定函数单调性，即可利用最值求解. 【详解】（1）函数的定义域为，. ①当时，因为，所以，则恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，解得(舍去). 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由(1)知，当时，在处取得最大值. . 要证，即证. 整理得：. 令，其中. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以.即恒成立.故得证. 跟踪训练 1.已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明：f(x)≥. 解：(1)f′(x)＝－＝(x>0)． 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>0时，若x>a，则f′(x)>0，函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增； 若0<x<a，则f′(x)<0，函数f(x)在(0，a)上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a>0时，f(x)min＝f(a)＝ln a＋1. 要证f(x)≥，只需证ln a＋1≥，即证ln a＋－1≥0. 令函数g(a)＝ln a＋－1，则g′(a)＝－＝(a>0)，当0<a<1时，g′(a)<0，当a>1时，g′(a)>0， 所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(a)min＝g(1)＝0. 所以ln a＋－1≥0恒成立，所以f(x)≥. 【题型5 利用导数证明数列型不等式】 【例5】（2026·青海西宁·二模）已知函数． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.45 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）构造函数，利用导数分情况讨论其在时的单调性，结合，判断不同下的符号，从而确定的取值范围； （2）利用（1）的结论，令，得，对到求和，通过对数裂项相消化简，结合证得不等式． 【详解】（1）已知时，，即， 设，，则， 当时，因为，所以，所以， 在上单调递增，所以，满足； 当时，，解得， 时，，单调递减， 此时，不满足； 当时，，在上单调递减， 此时，不满足； 综上，实数的取值范围为； （2）由（1）知，当时，对恒成立， 令，则， 所以，，，…，， 将以上不等式左右分别相加得， 因为，且在上单调递增，所以， 所以． 跟踪训练 1.（2025·陕西咸阳·三模）已知关于的函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：当时， 【解析】（1）由得 知当时在上单调递减 当时， 当时在上单调递增， 当时在上单调递减. （2）由（1）知时在上单调递减，在上单调递增， ，即有， ， 以上各式相加得， 课后作业： 1.已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 【解】　(1)因为f(x)＝1－，所以f′(x)＝，f′(1)＝－1. 因为g(x)＝＋－bx，所以g′(x)＝－－－b. 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直， 所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1. (2)证明：由(1)知，g(x)＝－＋＋x，则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0. 令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，则h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1. 因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1>0， 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0， 所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 2.（25-26高二下·山东滨州·期末）设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 【难度】0.56 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数与切线斜率关系即可求解； （2）求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间． （3）结合（2）可知，从而将问题转化为证明，令，利用导数研究的最小值即可证明结论. 【详解】（1）当时，， 所以， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）的定义域为 ， 求导数，得 ， 若 ，则，此时在上单调递增， 若 ，则由得，当时， ，当时， ， 此时在上单调递减，在上单调递增. (3)由（2）知，当，在上单调递减，在上单调递增； 所以， 要证，即证， 即证：， 因为，即证：， 令，所以， 且， 令，解得：， 令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则 所以恒成立，即成立，得证. 3.（25-26高二下·河南·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，． 【答案】（1）因为，所以，所以切点的坐标为． 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即 (2)证明：不等式即，所以． 因为当时，，所以只需证，即． 令，则. 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，所以恒成立． 所以当时，． 当时，令，则． 令，则． 因为，所以． 令，，则恒成立， 所以在上单调递增． 所以． 所以在上恒成立，所以即在上单调递增． 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递减． 因为，所以，所以． 综上，当时，恒成立． 4.（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【难度】0.55 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【详解】（1）（1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明：因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 5.设 (1)求的最小值；(2)证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）推导出，由此利用导数性质能求出的最小值． （2）由，令，则，从而在上单调递增，由此能证明． 【详解】（1）． 所以当时，，单调递减； 当，时，，单调递增． 所以时，取得最小值． （2） ， 令，则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，； 当时，， 所以， 即． 6.（2026·山东济宁·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）对函数求导并令导数为，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值； （2）构造函数并求导，将问题转化为分析导函数的最小值，结合已知的范围判断恒正，从而推出单调性，最终证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为 ，,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. (2)令，则， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得：， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即：得证. 7.（2026·河北沧州·一模）已知函数． (1)求函数的最大值； (2)已知为数列的前项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再根据函数单调性确定函数的最大值； （2）根据（1）建立不等式，再通过累加法可证明不等式. 【详解】（1）因为，其定义域为，又，且， 令，可得， 令，解得，令，解得， 故在单调递增，在单调递减. 则，即函数的最大值为 （2）由（1）知，当时，，即， 令，则， 即， 所以， 即， 即，得证. 8.（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若，，求a的取值范围； (3)当时，证明：． 【难度】0.38 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性和极值点，进而求出极值； （2）利用已知条件构造不等式，利用换元法，分情况讨论得出的取值范围； （3）转化不等式，结合（1）的结论进一步转化不等式，构造函数并求导，求出函数的最小值，从而得出，进而证明命题． 【详解】（1）当时，，定义域为，且为偶函数， 求导得， 令，则， 故在上单调递增，且， 当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增； 故在处取得极小值，， 无极大值． （2），则， ，故， 令，则需，对任意恒成立， 记，则在上恒成立，在上单调递增， 所以，得，且当时，， 故右侧最大值的上确界为1， 故的取值范围为． (3)要证，时，， 即证， 由（1）知，； 则需证明，即， 令，求导得， 令，则， 故单调递增， 又，故时，，单调递减； 时，，单调递增； 故，即， 故， 故， 即，命题得证． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $