第14卷 立体几何（一） 2027年云南省（职教高考）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以云南省职教高考考纲为依据，聚焦立体几何核心考点，采用“一考一讲”模式，通过选择、填空、解答题系统检测空间点线面关系及几何体应用，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间基本概念|选择7-8题|考查平面确定、几何体性质等基础概念|从平面基本性质到空间几何体概念生成| |线面位置关系|选择1-6、9-10题，填空11、13题|判断线线、线面平行与垂直关系|由线线关系推导线面关系，构建位置关系判定体系| |空间计算|填空12、14题|涉及异面直线距离、线面角计算|结合几何体性质，运用定义法转化计算| |证明与综合应用|解答15-17题|线面平行证明、体积及异面直线所成角求解|从证明推理到综合计算，形成“概念-判定-应用”逻辑链|

编写说明：2027年云南省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以云南省职教高考数学科目考试大纲及历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 云南省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第14卷 立体几何（一） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知点，不重合的平面和平面，且，，则（     ） A． B．且 C．且 D．且 2．如图所示，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线平行的是（   ）.    A． B． C． D． 3．如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ）    A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直 C．直线与平面垂直 D．直线与平面平行 4．如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 5．下列命题错误的是（    ） A．如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 B．如果两个平面平行，那么第一个平面内的任意一条直线都平行于第二个平面 C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 D．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 6．下列有关空间直线与平面的位置关系的表述正确的是（   ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两个平面垂直 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 7．下列命题正确的是（ ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 8．下列四个命题中真命题的个数是（ ） ①垂直于同一平面的两个平面平行； ②圆柱的所有母线是互相平行的； ③若一个简单几何体的正视图､侧视图､俯视图完全相同，则这个简单几何体一定是球体； ④用斜二测画法得到的平面四边形的直观图，其面积一定小于原四边形的面积. A．0 B．1 C．2 D．3 9．下列说法正确的是（    ） A．垂直于同一平面的两直线平行 B．两条直线和同一平面所成的角相等，则两直线平行 C．垂直于同一平面的两平面平行 D．平行于同一平面的两直线平行 10．以下说法正确的是（ ） A．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行 B．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直 C．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面平行 D．过平面外一点，可以作无数条直线与该平面垂直 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．在长方体中，直线与面的位置关系是__________．    12．若正方体的棱长为，则异面直线与之间的距离为___________. 13．如图所示的立方体中，下列直线①AC；②AD；③；④；与直线垂直的有_________，（填写序号）    14．如图，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成的角等于___________．    三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图：在空间四边形中，是的中点，求证：平面.    16．如图，直三棱柱的所有棱长都为分别为和的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 17．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形． (1)证明：//平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)已知三棱锥的体积为，求的长． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省（职教高考）《数学45分钟训练卷》，以云南省职教高考数学科目考试大纲及历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 云南省（职教高考）《数学45分钟训练卷》 第14卷 立体几何（一） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知点，不重合的平面和平面，且，，则（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】已知且，即点既在平面内，又在平面内，这表明平面与平面有公共点， 根据平面的基本性质，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线. 所以平面与平面相交，设它们的交线为，即，并且这个公共点一定在交线上，也就是. 故选：B. 2．如图所示，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线平行的是（   ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开图还原正方体，再找平行线即可. 【详解】由平面展开图还原正方体如下图所示，    则由图可知，正方体棱所在的直线中，与直线平行的是，故A符合题意； 平面，平面，所以，故B不符合题意； 平面，平面，所以，故C不符合题意； 与不在同一平面，是异面直线，故D不符合题意. 故选：A. 3．如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ）    A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直 C．直线与平面垂直 D．直线与平面平行 【答案】D 【分析】连接，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理可得平面. 【详解】如图，连接，    在正方体中，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面. 故选：D. 4．如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念求解即可. 【详解】在正方体中，，和相交于点， 因此和不平行； 不在直线所在的平面内，且与平面平行， 因此和没有公共点，不相交； 两条直线既不平行也不相交，因此是异面直线. 故选：C. 5．下列命题错误的是（    ） A．如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 B．如果两个平面平行，那么第一个平面内的任意一条直线都平行于第二个平面 C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 D．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定及性质，线面垂直的判定即可得证. 【详解】如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面可能平行，也可能在平面内，故错误； 如果两个平面平行，那么第一个平面内的任意一条直线都平行于第二个平面，故正确； 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，故正确； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，故正确， 故选：A. 6．下列有关空间直线与平面的位置关系的表述正确的是（   ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．平行于同一个平面的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两个平面垂直 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 【答案】D 【分析】依据空间直线、平面间的位置关系及线面垂直的性质逐一分析每个选项. 【详解】平行于同一条直线的两个平面，存在平行、相交等情况，A错误； 平行于同一个平面的两条直线，存在平行、相交、异面等多种情况，B错误； 垂直于同一条直线的两个平面是平行的，C错误； 垂直于同一个平面的两条直线平行，D正确． 故选：D． 7．下列命题正确的是（ ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可. 由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错； 平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对. 故选：D 8．下列四个命题中真命题的个数是（ ） ①垂直于同一平面的两个平面平行； ②圆柱的所有母线是互相平行的； ③若一个简单几何体的正视图､侧视图､俯视图完全相同，则这个简单几何体一定是球体； ④用斜二测画法得到的平面四边形的直观图，其面积一定小于原四边形的面积. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】垂直于同一平面的两个平面可能相交，可判断①错误；根据圆柱的集合特征判断②；正视图､侧视图､俯视图完全相同的几何体也可能是正方体，可判断③；根据斜二测画法得到的直观图与原图面积之间的关系可判断④. ①垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可能相交，故①错误； ②根据圆柱的几何特征，其所有母线都是平行的，故②正确； ③若一个简单几何体的正视图､侧视图､俯视图完全相同，这个几何体有可能是正方体，故③错误； ④用斜二测画法得到的平面四边形的直观图的面积 ，故其面积一定小于原四边形的面积，故④正确， 故选：C. 9．下列说法正确的是（    ） A．垂直于同一平面的两直线平行 B．两条直线和同一平面所成的角相等，则两直线平行 C．垂直于同一平面的两平面平行 D．平行于同一平面的两直线平行 【答案】A 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】根据线面垂直的性质可知， 垂直于同一平面的两直线平行，故A正确， 两条直线和同一平面所成的角相等， 则两直线可能平行，相交或异面，故B错误， 垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，故C错误， 平行于同一平面的两直线可能平行，相交或异面，故D错误， 故选：A. 10．以下说法正确的是（ ） A．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行 B．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直 C．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面平行 D．过平面外一点，可以作无数条直线与该平面垂直 【答案】A 【分析】依据空间中直线与平面的位置关系相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】选项A：过直线外一点作该直线的一条平行线，经过这条所作的平行线可以有无数个平面，这些平面都满足与已知直线平行， 所以过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行，该选项正确； 选项B：过直线外一点只能作一个平面与该直线垂直，所以该选项错误； 选项C：过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，所以该选项错误； 选项D：过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直，所以该选项错误. 故选：A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．在长方体中，直线与面的位置关系是__________．    【答案】平行 【分析】根据线面平行的判定易得答案. 【详解】∵， ∴是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 故答案为：平行． 12．若正方体的棱长为，则异面直线与之间的距离为___________. 【答案】1 【分析】根据题意结合公垂线的定义即可得解. 【详解】    如图：∵与、均垂直，∴即为两异面直线的距离， 异面直线与之间的距离为， 故答案为：1. 13．如图所示的立方体中，下列直线①AC；②AD；③；④；与直线垂直的有_________，（填写序号）    【答案】①②④ 【分析】由线面垂直的性质结合立方体的结构逐项判断即可. 【详解】由图中立方体可得，平面，平面， 且平面，平面， 所以， 因为，与不垂直，所以与不垂直. 故答案为：①②④. 14．如图，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成的角等于___________．    【答案】 【分析】由平面，可知为与平面所成的角，即可求解. 【详解】平面，为与平面所成的角， 平面，平面，， ，， 故答案为：． 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图：在空间四边形中，是的中点，求证：平面.    【答案】证明见解析. 【分析】根据题意结合线面垂直的判定定理即可得解. 【详解】在中，，是的中点，， 在中，，是的中点， 平面，平面， 平面. 16．如图，直三棱柱的所有棱长都为分别为和的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线定理，可得，再根据线面平行的判定定理可证明结论； （2）根据可求解. 【详解】（1）在中，分别为和的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面. 因为是边长为1的正三角形， 所以， 所以. 17．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形． (1)证明：//平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)已知三棱锥的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析. (2). (3). 【分析】（）根据题意结合线面平行的判定定理即可得解. （）根据题意结合线面垂直的性质即可得解. （）根据三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）在长方体中，//， 平面，平面， 所以//平面. （2）在长方体中，平面， 平面，所以， 所以异面直线与所成角为. （3）三棱锥的体积为， 则，解得， 所以 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $