第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷 （原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣中职数学立体几何单元，以能力提升为导向，通过分层题型整合空间关系、线面位置等核心考点，适配单元复习中知识网络构建与解题能力突破需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |是非选择|10/30|平面图形判断、异面直线成角等|通过正方体模型考查空间观念，强化几何直观| |单项选择|8/40|平面相交符号、线面位置关系等|结合长方体情境，提升空间想象与推理能力| |填空|6/30|确定平面个数、二面角大小等|以圆直径与垂线构建立体模型，渗透应用意识| |解答题|6/50|梯形证明、距离计算、线面平行证明等|综合正方体、四棱锥等载体，突出知识整合与逻辑推理，适配核心素养中运算能力与推理能力培养|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．四边形一定是平面图形. ( ) 【答案】错误 【分析】根据平面的性质求解. 【详解】四边形中四点不一定在一个平面上. 故答案为：错误. 2．经过两条相交直线，有且只有一个平面． ( ) 【答案】正确 【分析】根据平面的性质结合确定一个平面的条件即可得解. 【详解】在两直线上各取一个异于交点的点，这两点和交点不共线，由基本事实1可知这三点可确定一个平面，即该说法正确. 故答案为：正确. 3．正方体中，异面直线与所成角为 ( ) 【答案】正确 【分析】由，可得异面直线与即所成的角为（或其补角），求解即可判断. 【详解】由题意，作正方体，连接，如图所示，    ∵，∴异面直线与即所成的角为（或其补角）， 由题可得，∴为等边三角形，∴， ∴异面直线与所成的角为， 故答案为：正确. 4．二面角的取值范围是 ( ) 【答案】正确 【分析】根据二面角的概念易得答案. 【详解】根据二面角的概念可知，二面角的取值范围是. 故答案为：正确. 5．直线与平面相交时有且只有一个公共点. ( ) 【答案】正确 【分析】依据直线与平面位置关系的定义判定． 【详解】根据直线与平面位置关系的定义：当直线与平面相交时，直线与平面有且只有一个公共点． 故答案为：正确． 6．直线垂直平面内无数条直线，则. ( ) 【答案】错误 【分析】根据直线垂直平面的判定定理求解. 【详解】直线垂直平面内无数条直线可以是垂直无数条平行直线， 不能推出. 故答案为：错误. 7．在空间中，直线面，直线平面，则m与n平行或异面. ( ) 【答案】正确 【分析】根据直线与平面平行的性质易得答案. 【详解】直线面，直线平面，则m与n没有公共点，可知m与n平行或异面， 故答案为：正确. 8．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角( ) 【答案】正确 【分析】根据二面角的概念求解即可. 【详解】一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线都垂直， 故它们形成的角就是二面角的一个平面角. 故答案为：正确. 9．已知是两个平面，是两条直线，若，则. ( ) 【答案】错误 【分析】根据空间中直线与平面的关系举反例判断即可. 【详解】若，则不一定垂直，可能平行，如图， 故答案为：错误. 10．在空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．则四边形是平行四边形 ( ) 【答案】正确 【分析】根据中位线定理及平行公理易得答案. 【详解】如图，连接, 因为E，H分别是，的中点， 根据中位线性质可知：且， 因为F，G分别是，的中点， 根据中位线性质可知：且， 所以且， 所以四边形是平行四边形. 故答案为：正确. 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．已知点，不重合的平面和平面，且，，则（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】已知且，即点既在平面内，又在平面内，这表明平面与平面有公共点， 根据平面的基本性质，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线. 所以平面与平面相交，设它们的交线为，即，并且这个公共点一定在交线上，也就是. 故选：B. 12．下列符号表示“平面与平面相交于直线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体几何中平面位置关系的符号表示，即可选出正确答案. 【详解】A选项，符号表示交集，在立体几何中，两个平面的交集就是它们的交线，所以这个符号的含义就是“平面与平面相交于直线”，符合题意； B选项，符号表示平行，两个平行平面没有公共直线，这个表达式本身是错误的； C选项，符号表示垂直，仅说明两个平面垂直，不代表它们的交线是l，这个表达式不规范； D选项，符号表示并集，两个平面的并集是空间的一部分，不可能是一条直线，这个表达式错误. 故选：A 13．如图所示，在长方体中， 直线与直线（  ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 【答案】C 【分析】根据异面直线的判定可得结果. 【详解】在长方体中，平面，平面，， 所以直线与直线属于异面直线. 故选：C 14．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两异面直线所成角的概念可求解. 【详解】    如图，在正方体中， 因为， 所以直线与所成角就是与所成角，即为所求， 在正方形中有，所以， 即异面直线与所成的角为. 故选：D 15．若直线平面，直线平面，则（ ） A． B．与异面 C．与相交 D．与没有公共点 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系以及直线与直线的位置关系求解即可. 【详解】因为直线平面，直线平面，有两种情况，如图所示，即平行或异面.    所以直线与平面无交点，进而与没有公共点. 故选：D. 16．在正方体中，直线与平面的关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．在平面内 【答案】C 【分析】判断直线与平面是否有公共点以及直线与平面内直线的位置关系，从而得出直线与平面的位置关系. 【详解】因为直线与平面有公共点，所以直线与平面不平行，A选项错误； 点不在平面内，点在平面内，所以直线不在平面内，D选项错误； 由于平面，且在平面内，则， 从而，即与不垂直，又在平面内， 所以直线与平面不垂直，从而直线与平面斜交，B选项错误，C选项正确. 故选：C. 17．在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据线面垂直的性质，空间线面的位置关系即可求解. 【详解】对A，若，则或相交或异面，故A错误. 对B，由垂直与同一个平面的两条直线互相平行得， 若，，则，故B正确. 对C，若，则或相交，故C错误. 对D，若，则或相交，故D错误. 故选：B. 18．已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】D 【分析】结合线面、面面位置关系的判定定理逐一分析求解即可. 【详解】选项A：若，两个平面可以相交，错误. 选项B：若，两个平面可以相交，也可以平行，错误. 选项C：若，只有当垂直与β的交线时，才有，任意不一定垂直，错误. 选项D：已知，若，根据面面垂直的判定定理，，正确. 故选：D. 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________. 【答案】1或4 【分析】利用三个不共线的点可以确定一个平面，对第四个点分类讨论即可. 【详解】空间四点其中三个点可确定唯一的平面， 当第四个点在此平面内时，可确定1个平面. 当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面. 故答案为：1或4. 20．空间中的四条直线若则直线的位置关系为_____________. 【答案】平行 【分析】根据平行线之间的传递性求解即可. 【详解】若空间中的四条直线且， 则，进而. 则直线的位置关系为平行. 故答案为：平行. 21．若平面α与平面β平行，且直线l在平面α内，则直线l与平面β的位置关系是_________. 【答案】平行 【分析】根据面面平行的性质即可求解. 【详解】因为平面α与平面β平行，且直线l在平面α内， 所以直线l平行于平面β. 故答案为：平行. 22．正方体中，二面角为_________. 【答案】 【分析】根据题意结合找到二面角的平面角即可得解. 【详解】    如图所示，在正方体中， 面，又平面，，， 平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角，， 二面角的平面角大小为， 故答案为：. 23．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是 _________.    【答案】4 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC． ∴△ABC为直角三角形． 又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内， ∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形， 又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC． ∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形， 从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形． 故答案为：4. 24．正方体中，是棱和的中点，则与所成的角____________. 【答案】 【分析】根据平行直线找到异面直线所成角易得答案. 【详解】    连接， 因为正方体中，是棱和的中点， 所以是三角形的中位线， 所以， 所以是EF与BD所成的角， 因为都是边长相等的正方形的对角线， 所以是等边三角形， 所以， 所以EF与BD所成的角为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点. （1）证明：四边形EFD1C是梯形； （2）求异面直线EF与BC1所成角. 【答案】（1）证明见解析，（2） 【分析】（1）连接，则可得∥，，再由正方形的性质可得∥，，从而可证得四边形EFD1C是梯形； （2）连接，由∥，可得异面直线EF与BC1所成角，而为等边三角形，从而可求得结果 【详解】（1）证明：连接， 因为、分别是AB、AA1的中点， 所以∥，， 因为在正方体中，∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以∥，， 所以∥，， 所以四边形EFD1C是梯形； （2）连接， 由（1）得∥， 所以异面直线EF与BC1所成角， 因为为等边三角形， 所以， 所以异面直线EF与BC1所成角为 26．如图，长方体的棱、、的长分别为3、4、2．求： (1)点到平面的距离； (2)直线到平面的距离． 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）可根据线面垂直，将问题转化为求的长度即可. （2）判断出线面平行，而的长度即为线面之间的距离，求出即可. 【详解】（1）由长方体的性质得平面， ∴线段的长即为点到平面的距离，， ∴点到平面的距离为3． （2）∵//，平面，平面，∴//平面， ∴直线到平面的距离即为点到平面的距离． 由长方体的性质得平面， ∴线段的长即为点到平面的距离，， ∴直线到平面的距离为4． 27．如图所示，在与同侧，过M作直线a与b，直线a分别与平面相交于，直线b分别与平面相交于． (1)判断直线与直线是否平行； (2)如果，求的长． 【答案】(1)平行 (2) 【分析】（1）判断直线与直线是否平行，可以利用两个平面平行的性质判断即可． （2）在平面中，利用初中学习的平行线的性质，可以求出线段的长． 【详解】（1）解：因为， 又平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线． 由两个平面平行的性质，知． （2）在平面中，因为， 则， 所以， 故． 28．如图，已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为a，求 (1)侧棱PA与底面ABCD所成角的度数； (2)二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出直线与平面所成的夹角，再结合勾股定理，正四棱锥的特征即可求解. （2）先找出二面角所成的平面角，再结合勾股定理，正四棱锥的特征即可求解. 【详解】（1）连接AC，过P点作PO垂直AC. 则AO为PA在底面的投影. 所以是侧棱PA与底面ABCD所成角. 由勾股定理可得，， 在直角三角形PAO中， . 所以. 即侧棱PA与底面ABCD所成角的度数为. （2）过P点作PM垂直BC，连接OM. 在正四棱锥中， 因为，所以点M为中点. 则. 因为平面， 平面. 所以即为二面角的平面角. . 二面角的余弦值为. 29．如图所示，在正方体中，点为线段的中点． 求证：； 求证：平面． 【答案】证明：在正方体中， ，，且，平面，平面， 平面，平面． ； 如图所示， 连接，交于，连接． 由题设得：，， 四边形为平行四边形． ． 又平面，不属于平面， 平面．  30．如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由（1）知∥，而，则有，再由已知的线面垂直可得，则由线面垂直的判定定理可得平面，从而利用面面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：在中，因为分别为的中点，所以∥． 又因为平面平面，所以∥平面． （2）证明：由（1）可知∥， 又因为，所以． 因为平面平面，所以． 又因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．四边形一定是平面图形. ( ) 2．经过两条相交直线，有且只有一个平面． ( ) 3．正方体中，异面直线与所成角为 ( ) 4．二面角的取值范围是 ( ) 5．直线与平面相交时有且只有一个公共点. ( ) 6．直线垂直平面内无数条直线，则. ( ) 7．在空间中，直线面，直线平面，则m与n平行或异面. ( ) 8．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角( ) 9．已知是两个平面，是两条直线，若，则. ( ) 10．在空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．则四边形是平行四边形 ( ) 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．已知点，不重合的平面和平面，且，，则（     ） A． B．且 C．且 D．且 12．下列符号表示“平面与平面相交于直线”的是（    ） A． B． C． D． 13．如图所示，在长方体中， 直线与直线（  ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 14．在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 15．若直线平面，直线平面，则（ ） A． B．与异面 C．与相交 D．与没有公共点 16．在正方体中，直线与平面的关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．在平面内 17．在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 18．已知两条直线，与两个平面、，且，下述命题正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________. 20．空间中的四条直线若则直线的位置关系为_____________. 21．若平面α与平面β平行，且直线l在平面α内，则直线l与平面β的位置关系是_________. 22．正方体中，二面角为_________. 23．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是 _________.    24．正方体中，是棱和的中点，则与所成的角____________. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点. （1）证明：四边形EFD1C是梯形； （2）求异面直线EF与BC1所成角. 26．如图，长方体的棱、、的长分别为3、4、2．求： (1)点到平面的距离； (2)直线到平面的距离． 27．如图所示，在与同侧，过M作直线a与b，直线a分别与平面相交于，直线b分别与平面相交于． (1)判断直线与直线是否平行； (2)如果，求的长． 28．如图，已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为a，求 (1)侧棱PA与底面ABCD所成角的度数； (2)二面角的余弦值. 29．如图所示，在正方体中，点为线段的中点． 求证：； 求证：平面． 30．如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)证明：平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $