第四章 立体几何（A卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版） 单元过关卷 （原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块一上册》第四章立体几何A卷（能力提升卷），精准覆盖空间点线面关系、异面直线所成角、线面平行垂直等核心考点，通过基础判断与综合证明的梯度设计，适配单元复习，助力空间观念与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |是非选择|10/30|平面确定、异面直线角范围等基础概念|以辨析形式强化空间观念（数学眼光）| |单项选择|8/40|线面位置关系、正方体中异面直线角等|结合正方体模型考查空间想象| |填空|6/30|符号语言表示点线关系、直线与平面所成角等|突出数学语言表达（数学语言）| |解答|6/50|正方体中角与体对角线计算、线面平行垂直证明等|综合考查推理能力（数学思维），如证明线面平行需整合线线平行判定|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·能力提升卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．空间中的三点确定一个平面. ( ) 2．空间中两两相交的三条直线只能确定一个平面． ( ) 3．两条异面直线所成的角的取值范围是. ( ) 4．如果，那么． ( ) 5．若直线m与平面内无数条直线平行，且直线m不在平面内，则直线m与平面平行.( ) 6．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为平行 ( ) 7．在正方体中，直线与平面所成的角是 ( ) 8．若直线平面，直线平面，平面平面，则． ( ) 9．若，则 ( ) 10．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行. ( ) 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．经过不共线的A，B，C三点的平面（   ） A．有无数个 B．一个也没有 C．只有一个 D．有三个 12．下列条件能确定一个平面的是（   ） A．3个点 B．一条直线和一个点 C．两条平行直线 D．空间的两条垂直直线 13．在正方体中，则异面直线与所成的角为（   ）. A． B． C． D． 14．已知a，b是异面直线，直线，那么直线c与b的位置关系是（　　） A．异面 B．相交 C．平行 D．相交或异面 15．若直线，且直线平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．在平面内 C．平行或在平面内 D．相交 16．如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（     ） A． B． C． D． 17．若，，，则a和b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 18．在空间中，过直线外一点可以作（    ）条直线与这条直线垂直. A．1 B．2 C．3 D．无数条 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．用符号语言表示点A在直线n上为________. 20．如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为_______（用弧度表示）. 21．已知长方体的棱长，，则点到棱的距离为_____． 22．如图平面的斜线段的长为4cm，它在平面内射影的长为cm，则直线与平面所成的角的大小为_______    23．若直线直线，平面，平面，则平面与的关系为__________. 24．如图，在棱长为2的正方体中，二面角的正切值等于__________.    四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．如图，在棱长为2的正方体中，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)该正方体的体对角线的长． 26．如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证： (1)； (2)平面PAB． 27．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 28．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点． 求证：平面平面； 求证：平面平面． 29．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 30.正方体中，为中点，为中点． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求直线和平面所成角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （A卷·能力提升卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的选A，错的选B） 1．空间中的三点确定一个平面. ( ) 【答案】错误 【分析】根据平面的基本性质判断即可. 【详解】空间中的不共线的三点确定一个平面， 故答案为：错误. 2．空间中两两相交的三条直线只能确定一个平面． ( ) 【答案】错误 【分析】根据空间中确定平面的公理即可判断. 【详解】空间中两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为1或3． 故答案为：错误. 3．两条异面直线所成的角的取值范围是. ( ) 【答案】正确 【分析】由异面直线所成的角的取值范围即可求解. 【详解】两条异面直线所成的角的取值范围是. 故答案为：正确. 4．如果，那么． ( ) 【答案】正确 【分析】根据题意，结合平行直线的传递性，即可判断求解. 【详解】根据平行直线的传递性，如果，那么． 故题干表述正确. 故答案为：正确. 5．若直线m与平面内无数条直线平行，且直线m不在平面内，则直线m与平面平行.( ) 【答案】正确 【分析】利用线面平行的判定定理即可得解. 【详解】直线不在平面内，满足平面外一条直线的条件. 直线与平面内无数条直线平行，这意味着至少存在一条平面内的直线与平行. 因此，直线与平面平行，故该说法正确. 故答案为：正确. 6．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为平行 ( ) 【答案】正确 【分析】根据面面垂直的性质定理易得答案. 【详解】由于垂直于同一平面的两直线平行， 故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行， 故答案为：正确. 7．在正方体中，直线与平面所成的角是 ( ) 【答案】错误 【分析】根据直线与平面所成角的概念易得答案. 【详解】因为在正方体中，平面， 所以为与平面所成的角. 因为为等腰直角三角形，所以， 所以直线与平面所成的角为. 故答案为：错误.    8．若直线平面，直线平面，平面平面，则． ( ) 【答案】正确 【分析】根据面面平行的性质定理即可判断； 【详解】因为直线平面，平面平面， 所以直线平面， 因为直线平面， 所以. 故答案为：正确 9．若，则 ( ) 【答案】错误 【分析】根据面面平行的判定易得答案. 【详解】若，且m、n相交，则， 若，且m、n平行，则或相交， 故答案为：错误. 10．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行. ( ) 【答案】错误 【分析】通过举反例即可求得. 【详解】在正方体中， 平面平面，平面平面， 而平面平面. 因此若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行的说法错误. 故答案为：错误. 二、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 11．经过不共线的A，B，C三点的平面（   ） A．有无数个 B．一个也没有 C．只有一个 D．有三个 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质即可求解. 【详解】因为过不共线的三个点，有且只有一个平面， 所以经过不共线的A，B，C三点的平面只有一个. 故选：C. 12．下列条件能确定一个平面的是（   ） A．3个点 B．一条直线和一个点 C．两条平行直线 D．空间的两条垂直直线 【答案】C 【分析】根据题意，结合平面的公理和三个推论，即可求解. 【详解】因为空间内不共线的三点确定一个平面；一条直线和直线外一点可确定一个平面； 两条平行直线或两条相交直线，可确定一个平面； 故选项A和B错误，选项C正确； 而选项D中，空间的两条垂直直线可能相交或异面，故错误； 故选：C. 13．在正方体中，则异面直线与所成的角为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图像，找到异面直线所成的角，利用正方体的性质即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像，连接， 因为在正方体中，， 所以是平行四边形，即， 即异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 因为是正方形，即，所以异面直线与所成的角为， 故选：. 14．已知a，b是异面直线，直线，那么直线c与b的位置关系是（　　） A．异面 B．相交 C．平行 D．相交或异面 【答案】D 【分析】根据题意结合直线与直线位置关系即可得解. 【详解】 如图所示，在正方体中， 令，，满足a，b是异面直线 当时，满足，此时直线c与b异面； 当时，满足，此时直线c与b相交， 综上所述，a，b是异面直线，直线，那么直线c与b位置关系是相交或异面， 故选：. 15．若直线，且直线平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．在平面内 C．平行或在平面内 D．相交 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系判断. 【详解】若直线，且直线平面， 则直线与平面可能平行，也可能直线在平面内，不可能相交. 故选：C. 16．如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出直线与平面所成角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】在正方体中， 平面，则直线与平面所成的角为， 因为， 直线与平面所成的角为， 故选：. 17．若，，，则a和b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】根据线面平行推断直线与直线的位置关系即可解得. 【详解】因为平面平行于平面，直线a在平面内，直线b在平面内， 所以和没有公共点，它们可能平行，也可能异面， 不可能相交，因为分别在两个平行平面内的直线不会有交点. 故选：C. 18．在空间中，过直线外一点可以作（    ）条直线与这条直线垂直. A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】D 【分析】根据线面垂直的性质求解即可. 【详解】 根据空间线面垂直的性质，若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线， 过直线外一点，作已知直线的垂直平面，这个垂面内所有过该点的直线都与已知直线垂直， 因此满足条件的直线有无数条. 故选：D 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19．用符号语言表示点A在直线n上为________. 【答案】 【分析】根据题意，结合空间内点线之间的关系，即可求解. 【详解】用符号语言表示点A在直线n上为. 故答案为：. 20．如图所示，在正方体中，异面直线与所成角的大小为_______（用弧度表示）. 【答案】 【分析】利用正方体的性质，通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角，进而求解即可. 【详解】在正方体中，因为， 根据异面直线所成角的定义得， 直线与所成的角就是异面直线与所成角的平面角， 在正方体中，四边形是正方形，所以. 故答案为：. 21．已知长方体的棱长，，则点到棱的距离为_____． 【答案】 【分析】根据题意，结合长方体的结构特征，及线面垂直的性质定理，利用勾股定理，即可求解. 【详解】 由题意，连接， 在长方体中，平面， 又平面，所以， 所以线段的长，即是点到棱的距离， 因为棱长，，所以， 所以， 即点到棱的距离是. 故答案为：. 22．如图平面的斜线段的长为4cm，它在平面内射影的长为cm，则直线与平面所成的角的大小为_______    【答案】 【分析】先找到直线与平面所成的角，然后根据三角函数知识计算. 【详解】由题可知：直线与平面所成的角为， 又， 所以， 又，所以. 故答案为： 23．若直线直线，平面，平面，则平面与的关系为__________. 【答案】垂直 【分析】利用线线平行、线面平行、线面垂直的性质来推导面面关系. 【详解】因为，所以一定存在，. 又因为，所以， 又，所以，所以. 故答案为：垂直. 24．如图，在棱长为2的正方体中，二面角的正切值等于__________.    【答案】 【分析】连接，交于，则有，，即是二面角的平面角，在直角三角形中可求解. 【详解】连接，交于，则， 因为为正方体的对角线，所以， 所以为等腰三角形，则， 所以是二面角的平面角，因为正方体的棱长为2， 则， 所以. 故答案为：.    四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25．如图，在棱长为2的正方体中，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)该正方体的体对角线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异面直线所成的角的定义结合正方体的结构特征即可求解. （2）根据正方体的结构特征结合正方体对角线的概念即可求解. 【详解】（1）因为，所以为异面直线与所成的角． 在等腰直角中，， 所以异面直线与所成的角的大小是． （2）由正方体的体对角线公式得 ， 故该正方体的体对角线的长为． 26．如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证： (1)； (2)平面PAB． 【解】（1）∵平面PAD，平面ABCD，平面平面， ∴． （2）由（1）知，， 又N是AD的中点，，∴， ∴四边形ABCN是平行四边形，∴， 又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB． 27．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而得到线线垂直； （2）根据线线平行证明线面平行即可； 【详解】（1）因为 ，所以 ； 又在直三棱柱 中，有 ， 因为，平面，平面， 所以 平面， 因为平面，所以； （2） 设 与 交于点 ，连接 ， 易知 是 的中点，又 是 的中点， 所以 ． 因为 平面，平面， 所以 平面． 28．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点． 求证：平面平面； 求证：平面平面． 【详解】证明：因为，，分别是，，的中点， 所以是的中位线， 所以． 因为不在平面内，平面， 所以平面． 由题意知． 又不在平面内，平面， 所以平面． 又因为，平面，， 所以平面平面． 如下图所示， 因为，，，平面． 所以平面． 因为平面， 所以平面平面．  29．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图：是的中位线，则，再利用线面平行的判定定理即可证得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：在中，O、M分别为BD、PB的中点， ， 又平面PDC，平面PDC， 平面PDC. （2）在正方形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD， ， 又平面PAC，平面PAC，， 平面PAC， 又平面PBD， 平面平面PBD． 30.正方体中，为中点，为中点． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】解：Ⅰ取中点，连接，有 ， 所以是平行四边形，所以， 又平面，平面内， 所以平面，得证． Ⅱ因为，平面， 所以与直线和平面所成角相等， 又在中，有， 所以直线和平面所成角的正弦值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $