精品解析：江西南昌市豫章中学2027届高三上学期7月阶段检测数学试题

南昌市豫章中学2027届高三7月阶段模拟测试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题. 2. 的二项展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的二项展开式的通项公式为， 化简得， 令，得，所以， 所以的展开式中x的系数是． 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【详解】充分性分析：，，， ，，故充分性成立； 必要性分析：，， ，， ，，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件 4. 已知是函数的对称轴，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知函数在处取最值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 5. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 6. 小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 7. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 18 C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，即， 解得，所以. 8. 已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大， 此时，又， 所以最小时，最大， 又P为椭圆E：（）上的动点， 所以最小时，点为椭圆的短轴的端点， 又因为的最大值为，所以的最大值为， 所以，所以， 所以E的离心率为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】先对函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次曲线对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确. 【详解】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ，知不是的对称中心，故D选项错误. 10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先明确已知的先验概率和条件概率，结合乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，，，. 对于A，根据乘法公式，，故A正确. 对于B，根据乘法公式，，故B错误. 对于C，根据全概率公式，，故C正确. 对于D，根据条件概率公式，，故D错误. 11. 已知四面体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面将该四面体分成体积比为的两部分 D. 若为平面内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】可利用长方体补形，结合长方体体积、棱锥体积公式判定选项A；利用长方体外接球与四面体外接球相同，由体对角线求外接球半径，再计算表面积判定选项B；先求内切球半径与点面距离，结合面面平行、棱锥体积缩放判定选项C；利用线面角定义得到垂距与水平距离，确定动点轨迹为圆，由圆周长公式判定选项D. 【详解】将四面体补成长方体，可知底面为正方形，因为，，则，. 对于选项A：四面体的体积为，故A正确； 对于选项B：可知四面体的外接球即为长方体的外接球，则外接球半径， 所以四面体的外接球的表面积为，故B正确； 对于选项C：设四面体的内切球半径为，因为的面积， 则，设点到平面的距离为，则，可得，即， 若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面与棱的交点为各棱中点， 所以平面将该四面体分成体积比为 的两部分，故C错误； 对于选项D：设点在平面内的投影为，因为点到平面的距离等于点到平面的距离，则， 又因为直线与平面所成角的正切值为，则， 所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，其长度为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以. 13. 设等差数列的前项和为，若，，则__________． 【答案】11 【解析】 【详解】设公差为，由，，得，即，解得，所以. 14. 已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【详解】不妨设，， 该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出说明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 16. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． （1）求，，的值； （2）请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 【答案】（1），， （2）0.99，该模型拟合效果良好 【解析】 【分析】（1）先求出，再代入求得，得回归方程，利用回归方程求得； （2）根据公式计算出后比较可得. 【小问1详解】 ， ， 将 代入可得，即． 所以经验回归方程为 因，则 又因，则 【小问2详解】 所以决定系数，故该模型拟合效果良好. 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间以及极值； （2）若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为. 极小值为，无极大值. （2）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）求，利用和求解函数的单调区间，从而可得到极值. （2）先利用的符号判断函数的单调性，再利用最小值小于零即可求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为. . 令，即，解得；令，即，解得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 当时取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，. 当，即，恒成立，所以在上单调递增，最多1个零点，不符合题意. 当，即时，令，即，解得. 当时，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以是极小值点，也是最小值点， 且. 当时，；当时，. 因为有两个不同的零点，所以即. 又因为，所以，解得. 所以. 综上所述，若有两个不同的零点，的取值范围为. 18. 已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆离心率； （2）已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； （3）若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【答案】（1）； （2）； （3）设，， 当直线斜率不存在时，设直线方程为 ，则，， 由 为直角，可得 ， 也即 ，解得或 （舍去）． 当斜率存在时，设直线 方程为 ，联立， 整理得 ，可得 且 为直角，可得 ， 所以 ，即 ， 整理得 ， 将式代入上式得： ， 化简得 整理得 ，可得 或 ， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线 恒过定点． 【解析】 【分析】（1）结合椭圆方程列方程，解方程求得 的值，由此求得椭圆的离心率； （2）设出点 ，则可利用坐标表示出两向量，从而用 表示点 坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得； （3）设，，根据题意得到 ，分为斜率不存在和斜率存在两种情况分别讨论，求出直线的方程判断过定点即可. 【小问1详解】 由已知 ，则 ，又，. 得 ， ， 故椭圆的离心率为； 【小问2详解】 由椭圆的标准方程为 ， 则，设，则，， 由，则，解得， 则有 ，解得 ，又 ，故； 【小问3详解】 略 19. 若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． （1）试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． （2）若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 【答案】（1）是“紧密数列”．理由如下： 因为， 当时，， 所以， 当时，，满足上述关系式， 所以，则， 又，所以是紧密数列． （2） 【解析】 【分析】(1)由得到通项公式，根据“紧密数列”定义可得到结果； (2)根据第一问结果，可得到数列的通项公式，根据它是“紧密数列”以及，可得到，进而得到，然后根据等比数列求和公式可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 因为数列是“紧密数列”，所以， 又因为，即，整理得， 解得（舍去）或，则，， 因此， 故数列的前项和为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市豫章中学2027届高三7月阶段模拟测试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的二项展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是函数的对称轴，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（    ） A. B. C. D. 6. 小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 18 C. D. 36 8. 已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 的极大值点是 B. 在上单调递增 C. 当时， D. 是的一个对称中心 10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知四面体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面将该四面体分成体积比为的两部分 D. 若为平面内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则________. 13. 设等差数列的前项和为，若，，则__________． 14. 已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出说明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 16. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． （1）求，，的值； （2）请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间以及极值； （2）若有两个不同的零点，求的取值范围． 18. 已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆离心率； （2）已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； （3）若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 19. 若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． （1）试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． （2）若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $