5.2.2 函数的单调性教学设计-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性概念及定义法判断，通过自由落体等现实情境和幂函数、指数函数等已学函数的增减趋势导入，以问题链引导从直观描述到符号化语言，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境生活化与数学化结合，问题驱动抽象过程发展数学抽象素养，定义辨析强调“任意”等关键词培养逻辑推理，例题梯度设计（如证明减函数、判断单调区间）落实应用，助力学生深化概念理解，为教师提供清晰教学路径和实例参考。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.2.2函数的单调性 教学目标 1. 从实际的情境和具体函数中体会单调现象，理解函数的单调性、单调函数、单调区间的概念，体会从具体到抽象的过程，发展数学抽象素养. 2. 经历从特殊到一般的学习过程，会在简单情形下利用定义判断函数的单调性，体会数形结合思想，发展逻辑推理素养. 教学重难点 教学重点： 理解函数的单调性、单调函数、单调区间的概念；会在简单情形下利用定义判断函数的单调性. 教学难点： 单调性的符号化语言的理解，在简单情形下利用定义判断函数的单调性. 教学过程 （一）情境引入、温故知新 [现实情境] ①自由落体运动； ②通过一个电阻的电流随其两端电压的增大而增大； ③山区的气温随海拔高度的升高而降低等. 这些都是单调现象. [数学情境] 学习幂函数时，我们了解到：当时，幂函数在区间上随着的（严格）增大而（严格）增大，此时称幂函数在区间上是严格增函数；当时，幂函数在区间上随着的（严格）增大而（严格）减小，此时称幂函数在区间上是严格减函数. 学习指数函数和对数函数时，我们有：当时，指数函数与对数函数的图象都表现出“随的增大而增大”的趋势，此时称指数函数与对数函数在定义域上是严格增函数；当时，指数函数与对数函数的图象却都表现出“随的增大而减小”的趋势，此时称指数函数与对数函数在定义域上是严格减函数. 学习函数的定义时，我们了解到：函数就是通过来定义的，借助初中学习的一次函数的图象，可以得到函数在上表现出“随的增大而减小”的趋势，而在上表现出“随的增大而增大”的趋势. 学习函数的表示时，我们接触过这样的函数，它的图象表现出“随的增大而增大（或相等）”的趋势. 图象上这样的趋势在函数性质的研究中被称为单调性，它是函数重要的性质之一. [问题1] 如何用符号化语言来描述这些函数图象的单调性趋势？ 回忆第四章的学习内容，我们知道： 对于幂函数，若，则，从而由幂的基本不等式，得，即. 对于指数函数，若，则，由幂的基本不等式，得，即. 对于对数函数，若，则，由对数的基本不等式，得，即. [问题2] 如何理解这些符号化语言中表述的“若”？ 一方面，以幂函数为例，“若”表示在函数定义域的子集区间上进行的研究，这说明刻画单调性不必是在整个定义域上进行的，只需在某个区间上进行研究，且区间是定义域的一个子集. 另一方面，“若”表示在区间上任意给定的两个自变量、，并且有. 如果没有“任意”，以函数为例，即使可以找到无穷多组给定的两个自变量、，并且有，满足，但取、，此时两个自变量对应的函数值的关系为，这使得结果不具备一致性. [问题3] 用符号化语言刻画具体函数单调性时，关键词是什么？ 在定义域的某个子集区间上，任意给定的两个自变量，并设定大小关系，总有相应的函数值有确定的大小关系. （二）概括定义、简单辨析 [定义]对于定义在上的函数，设区间是的一个子集. 对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时如果总有，就称函数在区间上是增函数；而如果总有，就称函数在区间上是减函数. 特别地，如果总有，就称函数在区间上是严格增函数；而如果总有，就称函数在区间上是严格减函数. “严格增”“严格减”“增”及“减”统称为函数的单调性. 例如，在区间上是严格增函数；在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数；在上是严格增函数；在上是严格减函数；在区间上是严格增函数；在区间上是严格减函数；在区间上是增函数，但不是严格增函数；函数在上既是增函数，也是减函数. （三）简单应用、深化理解 例1. 证明：函数在区间上是严格减函数. 证明 记. 设、是区间上任意给定的两个实数，且，我们有 ， 由于 又，且，故，即. 因此，函数在区间上是严格减函数. 需要注意的是，函数的单调性是针对包含于定义域中的某个区间而言的. 有些函数虽然在整个定义域上不是单调函数，但是在包含于定义域中的某些区间上却可以是单调函数. [定义] 如果函数在某个区间上是增（减）函数，那么就称函数在区间上是单调函数，并称区间是函数的一个单调区间. 注意，一般来说，所讨论的单调区间总是指满足这一要求的“最大”的单调区间. 例2. 判断函数，的单调性，并求出它的单调区间. 解 记. ，而，因此函数在区间上既不是增函数，也不是减函数. 对区间上任意给定的两个实数、，总有. 当，且、时，总有及，故，从而函数，在区间上是严格减函数. 类似地，当，且、时，总有及，故，从而函数，在区间上是严格增函数. 因此，函数，的单调区间有和. [问题4] 函数在定义域上是严格减函数吗？为什么？ 不是. 记. ，，因此函数在定义域上不是严格减函数. 但我们可以说函数的单调减区间为和. （四）应用迁移、融会贯通 例3 判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由. 解 设、是定义域上任意给定的两个实数，且，易知. 因为函数在区间上是严格增函数，所以. 因此，函数在其定义域上是严格增函数. 例4 设是偶函数，且它在区间上是严格减函数，判断它在区间上的单调性，并说明理由. 解 设、是区间上任意给定的两个实数，且，则、，且. 因为函数在区间上是严格减函数，所以. 又因为是偶函数，所以. 因此，在区间上是严格增函数. [课堂练习] 教材P131 练习5.2（3），P133 练习5.2（4）. （五）思考小结、布置作业 [思考] 完成本节课的学习，你总结了哪些研究函数单调性的经验？ [小结] 从具体的函数举例中，我们借助直观的图象观察，通俗的语言描述，逐步抽象、提炼出了用符号化语言来刻画函数单调性的定义，知道了如何用定义来证明、判断函数单调性，指出函数的单调区间，发展了数学抽象、逻辑推理素养. 学习函数性质，不仅是重新梳理已知函数的过程，更是研究新的函数问题的重要工具，学习函数单调性所经历的从具体到抽象、从特殊到一般的研究过程，也可以运用到探索数学新知识的过程中. [作业] 教材P135 习题5.2A组5,6 B组6. 学科网（北京）股份有限公司 $