暑期预习讲义（第2讲）——矩形的性质与判定 （知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第2讲）——矩形的性质与判定 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 2 2. 课本预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】矩形的性质 3 【知识点二】矩形三种判定方法（解题优先级） 3 【知识点三】中考超级考点：直角三角形斜边中线定理 3 【知识点四】易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】矩形边长、对角线、角度基础计算 3 【题型2】直角三角形斜边中线定理必考题型 7 【题型3】矩形性质与判定的理解 10 【题型4】矩形判定基础证明（解答题必考） 12 【题型5】矩形性质与判定综合（基础） 15 四.经典题型精析（巩固提升） 18 【题型 6】矩形性质与判定综合（综合） 18 【题型 7】矩形与图形变换（综合） 22 【题型 8】矩形与动点问题（综合） 28 五.同步自测 33 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 33 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 40 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 45 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握矩形的定义、独有性质与三种判定方法，熟记课本核心概念； （2）熟练掌握直角三角形斜边中线定理，攻克几何求值隐藏条件； （3）掌握矩形边长、对角线、面积计算，规范几何证明步骤； （4）辨析矩形易错陷阱，对接中考基础题型与简单折叠题型。 2. 课本预习填空 【课本基础概念填空】 （1）矩形的定义：有一个角是________的________叫做矩形。 （2） 矩形是特殊的平行四边形，因此具备________的所有性质。 （3）矩形的特殊性质（区别于普通平行四边形）： ①矩形的四个角都是________； ②矩形的对角线________。 （4）矩形的对称性：矩形是________对称图形，有________条对称轴；同时是________对称图形。 （5）直角三角形斜边中线定理（课本必考推论）： 直角三角形斜边上的中线等于________。 （6） 矩形的三种判定定理： ①定义法：有一个角是直角的________是矩形； ②角判定法：有________是直角的四边形是矩形； ③对角线判定法：对角线________的________是矩形。 【课本预习填空·参考答案】 （1）直角；平行四边形 （2）平行四边形 （3）①直角；②相等 （4）轴；2；中心 （5）斜边的一半 （6）①平行四边形；②三个角；③相等；平行四边形 二.教材知识梳理解读 【知识点一】矩形的性质 通用性质（同平行四边形）：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 矩形独有性质（中考重点）： ① 角：四个内角均为90°，是直角； ② 对角线：对角线相等且互相平分； ③ 分割特征：矩形对角线可将矩形分成四个等腰三角形。 【知识点二】矩形三种判定方法（解题优先级） 方法一（定义法·通用）：平行四边形 + 一个直角 → 矩形（证明题最常用） 方法二（角判定·超快）：四边形 + 三个直角 → 矩形（无需先证平行） 方法三（对角线判定）：平行四边形 + 对角线相等 → 矩形（对角线题型专用） 【知识点三】中考超级考点：直角三角形斜边中线定理 定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 核心结论： 1. 只要是Rt△，出现斜边中点、斜边中线，直接可得线段相等、等腰三角形； 2. 是中考几何求值、折叠、动点题最高频隐藏条件； 3. 逆用：若三角形一边中线等于该边一半，则该三角形为直角三角形。 【知识点四】易错点重磅预警 易错1：对角线相等的四边形是矩形（错！必须是平行四边形+对角线相等） 易错2：有一个角是直角的四边形是矩形（错！必须先为平行四边形） 易错3：忽略斜边中线定理逆用，无法快速判定直角三角形 易错4：混淆矩形与菱形性质，矩形对角线相等不垂直（正方形除外） 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】矩形边长、对角线、角度基础计算 【例题1】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段检测）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，此时直线、所夹锐角的度数为30度，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形；（2） 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据含的直角三角形的性质可得，结合菱形的性质可得，根据即可求解． 解：（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵的度数为30度， ∴， ∵平行四边形是菱形； ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 【变式2】（2025八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）在矩形中，、相交于点，，，则_____ 【答案】 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等得出，结合判定是等边三角形即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据矩形面积公式计算即可． 解：，， 四边形是平行四边形， ，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 四边形是矩形． 矩形的面积． 故答案为：． 【题型2】直角三角形斜边中线定理必考题型 【例题2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见详解；（2） 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质定理和直角三角形斜边中线定理，平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质定理，并灵活应用． （1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出； （2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 解：（1）证明：∵、分别是、的中点 ∴ ∵是的中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵、分别是、的中点， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，为的中点，且，则菱形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出菱形的边长． 解：四边形为菱形， ， ， 为的中点， ， ， ， 即菱形的边长为． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）北宋黄伯思的“燕几图”是世界上最早的一套组合桌形式，全套“燕几”包含长桌、中桌和小桌三种类型（每类桌子形状都相同），桌面可以排列组合，按需设席．如图是“燕几图”中名为“扬旗”的桌面组合方式（包含两张中桌和三张小桌）．若每张桌面的宽都为a尺，则的长为_____ 尺（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】由勾股定理并结合直角三角形的性质计算即可得出结果． 解：由图形可得，，，，为的中点， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，M、N分别是的中点，延长到点D，使，连接，若，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，证明四边形是平行四边形，得到，根据直角三角形的性质得到，即可得出结果． 解：如图，连接， ∵M、N分别是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，M是的中点，， ∴， ∴． 【题型3】矩形性质与判定的理解 【例题3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．外角和为 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 解：A、对角线互相垂直是菱形具有、矩形不一定具有的性质，不符合题意； B、矩形和菱形均为四边形，外角和都为，不符合题意； C、 矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； D、矩形和菱形对角线都互相平分，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，是真命题的有（     ） ①平行四边形是中心对称图形；    ②矩形的对角线互相垂直； ③菱形的四个角相等；    ④等腰梯形的对角线相等． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 解：①根据中心对称图形的定义，平行四边形绕对角线交点旋转后与原图形重合，因此平行四边形是中心对称图形，①是真命题； ②矩形的对角线性质是相等且互相平分，并不一定互相垂直，因此②是假命题； ③菱形的性质是四条边相等，对角线互相垂直平分，对角相等，四个角并不相等，因此③是假命题； ④等腰梯形的重要性质就是对角线相等，因此④是真命题； 综上，真命题为①④． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）下列命题中为假命题的是（     ） A．有三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 解：A、有三个角都是直角的四边形是矩形，是真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，是真命题； C、对角线互相平分可得四边形是平行四边形，结合对角线相等，可判定该四边形是矩形，是真命题； D、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，因此对角线相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题，故选项D符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期末）为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 【答案】B 解：A、测量与的长度是否相等，无法确定是矩形，故本选项的测量方法不可行； B、测量与的长度是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的测量方法可行； C、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行； D、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行． 【题型4】矩形判定基础证明（解答题必考） 【例题4】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】（1）证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． （2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 解：（1）略 （2）解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）要使成为矩形，需添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理逐项分析即可得出结果． 解：A、添加，能使成为矩形，故符合题意； B、添加，能使成为菱形，故不符合题意； C、添加，能使成为菱形，故不符合题意； D、添加，能使，这是平行四边形本身具有的性质，故不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·青海海东·期末）在下列条件中，①，；②，；③；能够判定四边形为矩形的是________（填序号）． 【答案】③ 解：①，，只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ②∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ③∵， ∴可判定四边形为矩形，符合要求． 因此符合要求的条件为③． 【变式3】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． （1）试探索与之间的数量关系； （2）点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2）当O为中点时，四边形是矩形，理由见分析． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义和平行线的性质得，进而得出，同理得，则答案可得； 对于（2），先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 解：（1）解：，理由： ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴； （2）解：当O为中点时，四边形是矩形． 证明：∵O为中点， ∴． 又由（1）知，， ∴四边形是平行四边形. ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型5】矩形性质与判定综合（基础） 【例题5】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2） 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= （cm2）， 故答案为：D． 【点拨】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为______．    【答案】 【分析】连接，在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出即可． 解：如图，连接． 直线垂直平分， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ； 故答案为：． 【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质，矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 解：（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】矩形性质与判定综合（综合） 【例题6】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． （1）证明：四边形为矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：在平行四边形中，． ∵点，分别在，的延长线上， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，即， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是矩形； （2）根据平行四边形的性质得到，可知，根据平分得到，即，根据等角对等边得到，求出，根据的性质得到，根据勾股定理计算即可． 解：（1）略； （2）解：在平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在矩形中，， ∵， ∴平行四边形的面积为． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，对角线，且，，点、分别是边、的中点，则的长度是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】取的中点H，连接，证明四边形是矩形，结合三角形中位线定理以及勾股定理求解即可． 解：如图，取的中点H，连接，分别交于点，设交于点， ∵点、分别是边、的中点，， ∴分别是三角形，三角形的中位线， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ． 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点拨】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，点、分别为、的中点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，， ， 又， ， ， ， 四边形为矩形． （2） 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，，推出，结合题意得到，推出，得到，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理求出，进而得到，再根据勾股定理求出，即可求解． 解：（1）略 （2）解：点、分别为、的中点， 为的中位线， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理得， ． 【题型 7】矩形与图形变换（综合） 【例题7】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接，，交于点H． （1）求证： ①平分； ②H是的中点； （2）连接，若平分，，求的长． 【答案】（1）①见分析；②见分析；（2）1 【分析】（）旋转性质得，从而有，由根据矩形的性质可得，通过平行线的性质即可求解； 过点作于点，证明，由性质可得，再证明即可； （）作于点，由（）得出，，再通过全等三角形性质和勾股定理即可求解． 解：（1）证明：如图，      由旋转性质得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 如图，过点作于点，      由①可知， 又∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点为中点； （2）解：如图，作于点，      由（）可知，， ∴，， ∵，平分， ∴ ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点拨】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【变式1】（2026·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______． 【答案】/ 【分析】设，根据折叠性质表示出，在中利用勾股定理列方程求出，进而得到的长. 根据折叠性质和平行线性质证明为等腰三角形，得到，最后利用三角形面积公式求解； 解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理，得，即，解得， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·重庆南川·期末）数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．求证：； （2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1）∵矩形纸片沿折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）①证明：根据折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 根据（1）可知：， ∴， ∴； ②10 【分析】（1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）①先根据（1）的方法证明，再根据，得出，即可证明结论； ②由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，最后计算的长即可． 解：（1）略 （2）①略 ②∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 【题型 8】矩形与动点问题（综合） 【例题8】（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，． （1）求证四边形是矩形； （2）求的最小值． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴四边形是矩形． （2） 【分析】（1）由菱形的性质得出，再结合已知条件得出，，即可证明四边形是矩形． （2）连接，由矩形的性质可得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 解：（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中，， 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 【变式1】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知对角线互相平分，结合动点运动速度相同可得，从而判定四边形始终为平行四边形．若四边形为矩形，则需对角线相等，即．根据在上的位置关系（相遇前或相遇后），分两种情况列方程求解即可． 解：如图， 四边形是平行四边形， ，． 点、的速度相同， ， ， 即． ，， 四边形是平行四边形． 若四边形为矩形，则需． 分两种情况讨论： 情况一：当点、在相遇前时，， 令， 解得； 情况二：当点、在相遇后时，， 令， 解得； 综上所述，当或时，四边形为矩形． 【变式2】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，为的中点，若、为边上的两个动点，且，当线段取得最小值时，的长为________． 【答案】2 【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接，，，证明四边形是平行四边形，得到，推出，得到，当点G，Q，E三点共线时，取得最小值，过点G作的平行线交的延长线于H点，连接交于点M，然后结合轴对称的性质求解即可． 解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称得，， ∴， ∴， ∴当点G，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度，过点G作的平行线交的延长线于H点，连接交于点M，如图， ∵在矩形中，，E为边的中点， ∴，，， 点F与点G关于对称， 垂直平分，即，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 垂直平分， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图1，已知四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为边上的一个动点，连接并延长交于点． （1）证明：无论点在边上如何运动，四边形都是平行四边形； （2）如图2，若，问当点运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形 ，   ， 在和中， ，   ， 又， 所以无论点在边上如何运动，四边形都是平行四边形． （2）当点运动到中点时，四边形是菱形 ； 理由如下 由（1）可知四边形是平行四边形 , , , ∴在中，为边上的中线， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （1）略 （2）略 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质逐一判断即可． 解：A、矩形和平行四边形的对边都平行且相等，故此选项不符合题意； B、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； D、矩形和平行四边形的对角都相等，故此选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在矩形中，对角线、相交于点O，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解． 解：四边形为矩形， ，，且， ， 又， 为等边三角形， ， ． 3．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段检测）如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（    ）（不包含直角三角形全等） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 解：四边形为矩形，其矩形的对角线相等且相互平分， ，，，，， 又，，， ∴，，， ∴故图中的全等三角形（不包含直角三角形全等）共有4对． 故选：B． 4．（24-25八年级下·天津滨海新区·期中）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，等角对等边，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． 利用矩形的性质和翻折的性质得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解，利用三角形的面积公式即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴， ， 由翻折的性质可得， ， ， 假设，则，在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， ， 的面积为， 故选：B． 5．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）下列命题是假命题的是（     ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形对边平行 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形和平行四边形的判定和性质，逐项进行判断即可． 解： A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，是真命题； B．矩形的对角线相等，这是矩形的性质，是真命题； C．平行四边形对边平行，这是平行四边形的性质，是真命题； D．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形，因此该命题是假命题． 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定逐一分析即可． 解：A选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； B选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，B选项正确，不符合题意； C选项，平行四边形中， ，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，C选项正确，不符合题意； 选项，当时，平行四边形是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题意． 7．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，，，，，是的中点．则的长是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用勾股定理可得，证明，，，再进一步求解即可． 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，则的面积是（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的解析式求出点E、F的坐标，即可求出，，进而求出三角形的面积． 解：当时，， 解得， ∴点E的坐标是， ， ， ，点F的横坐标是4， ， ， 的面积． 10．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点的运动路程为，的面积为，且与的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象可知点运动的路程从到之间的面积没有变化，可得，，过点作，利用勾股定理求出的长，根据矩形的性质可知，即可求出结果． 解：如下图所示，过点作， 点运动的路程从到之间的面积没有变化， 可得：，， 四边形是矩形， ， ， ∴G为中点，， ∵O为中点， ∴， ， ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·甘肃兰州·一模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，与相交于点P，则线段______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，由矩形的性质可得出，，，可得出，由勾股定理求出，又由对顶角相等得出，由相似的性质得出，设，则，代入比例，即可求出 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：． 则， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·北京西城·期末）如图，在中，，D是的中点．若，，则的长为________． 【答案】6 解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了轴对称图形，矩形的判定等知识．根据矩形的判定与性质添加条件即可． 解：添加， ∵在中，， ∴是矩形， ∴添加，则为轴对称图形， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 15．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，于点E．若，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出对角线互相平分且相等，结合已知线段比例关系推导出为的中点，利用线段垂直平分线的性质证得，进而判定为等边三角形，求出对角线的长，再利用勾股定理求出的长，最后计算矩形面积即可． 解：四边形是矩形， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 矩形的面积． 16．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为______． 【答案】/24度 【分析】首先根据矩形的性质可得，由平行线的性质可得；结合折叠的性质可得，然后在中，由三角形内角和定理求解即可． 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， 又∵， ∴， 解得． 17．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 【答案】10 【分析】由折叠可得，点是的中点，再根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 解：∵将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________．    【答案】 【分析】根据题意设，由四边形是矩形，点是线段上一点，进而得，然后，由矩形的周长为8，得关于的方程，解方程可得的值，进而可求得点的坐标． 解：根据题意设， ∵四边形是矩形，点是线段上一点， ∴， ∵矩形的周长为8， ∴，即，解得， ∴， ∴点的坐标为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 解：证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分，平行四边形中，， ∴，且， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． 又∵，， ∴四边形为平行四边形． 在菱形中，， ∴， ∴平行四边形为矩形． （2）5 【分析】（1）证明四边形为平行四边形．再证明，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质、菱形的性质、勾股定理进行解答即可． （1）略 （2）解：在矩形中，，在菱形中，，且，， ∴菱形边长 ， ∴ ． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）若，求的度数； （2）若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 解：（1）解： 由翻折的性质可知： （2）①设由题意可知：， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 ②设由题意可知：， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知菱形，过点A，D分别作于点E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求此菱形的边长． 【答案】（1）∵菱形， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ∴四边形是矩形； （2）10 【分析】（1）由菱形的性质得到，证明四边形为平行四边形，根据即可得到结论； （2）设菱形边长为x，则，利用勾股定理列方程即可解答． 解：（1）略 （2）解：设， ， ， 在中，， ，，， 解得， ∴菱形边长为10． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． （1）由折叠知，_____，_____（填“=”或“≠”）； （2）求证：； （3）如图2，过点作，交于点，连接交于点． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2）证明：∵四边形是矩形， ， 根据折叠，，， ，， 在和中， ， ， ； （3）①四边形是菱形， 理由：四边形是矩形， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； ② 【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果； （2）由矩形和折叠的性质可得，，再证明，即可得证； （3）①先证明四边形是平行四边形，再结合即可得出四边形是菱形；②利用勾股定理和菱形的性质计算即可得出结果． 解：（1）解：由折叠的性质可得，，； （2）略 （3）解：①略 ②∵四边形是菱形， ，，， ，， ， ． 设，， ． ∴在直角中，， 即， 解得：， 即， 根据勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·陕西商洛·期末）按要求解答下列问题： （1）【问题探究】 如图，在四边形中，，，，连接、，是的中线． ①求的长； ②若与始终互余，求的最大值． （2）【问题解决】 如图，矩形是某植物园试验田的示意图，是一条小路，现要在小路上修建一口水井，沿铺设地下水管，再从点向铺设地下水管（点在上），要求，然后从点向点铺设一条运输通道．已知，，铺设运输通道的费用为元，求铺设运输通道所需的最少费用．（小路、地下水管、运输通道的宽度和水井的大小均忽略不计） 【答案】（1）①2；②4；（2）最少费用为元 【分析】（1）①根据勾股定理和直角三角形的性质进行解答即可；②连接，求出．根据得到当、、三点共线时，取得最大值，即可求出； （2）证明是直角三角形．取的中点，连接，，根据得到当、、三点共线时，取得最小值，进一步求出答案即可． （1）解：①，，， ． 是的中线， ． ②连接，如图． 与始终互余， ，则， 是直角三角形． 是的中线，即点是的中点， 是的中线， ． ， ∴当、、三点共线时，取得最大值， ． （2）∵四边形是矩形，， ，，即． ， ， ，即是直角三角形． 取的中点，连接，，如图， 是的中线， ． 在中， ， ， ∴当、、三点共线时，取得最小值， （元）， ∴铺设运输通道所需的最少费用为元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第2讲）——矩形的性质与判定 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 2 2. 课本预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 【知识点一】矩形的性质 3 【知识点二】矩形三种判定方法（解题优先级） 3 【知识点三】中考超级考点：直角三角形斜边中线定理 3 【知识点四】易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】矩形边长、对角线、角度基础计算 3 【题型2】直角三角形斜边中线定理必考题型 4 【题型3】矩形性质与判定的理解 5 【题型4】矩形判定基础证明（解答题必考） 6 【题型5】矩形性质与判定综合（基础） 7 四.经典题型精析（巩固提升） 8 【题型 6】矩形性质与判定综合（综合） 8 【题型 7】矩形与图形变换（综合） 9 【题型 8】矩形与动点问题（综合） 11 五.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握矩形的定义、独有性质与三种判定方法，熟记课本核心概念； （2）熟练掌握直角三角形斜边中线定理，攻克几何求值隐藏条件； （3）掌握矩形边长、对角线、面积计算，规范几何证明步骤； （4）辨析矩形易错陷阱，对接中考基础题型与简单折叠题型。 2. 课本预习填空 【课本基础概念填空】 （1）矩形的定义：有一个角是________的________叫做矩形。 （2） 矩形是特殊的平行四边形，因此具备________的所有性质。 （3）矩形的特殊性质（区别于普通平行四边形）： ①矩形的四个角都是________； ②矩形的对角线________。 （4）矩形的对称性：矩形是________对称图形，有________条对称轴；同时是________对称图形。 （5）直角三角形斜边中线定理（课本必考推论）： 直角三角形斜边上的中线等于________。 （6） 矩形的三种判定定理： ①定义法：有一个角是直角的________是矩形； ②角判定法：有________是直角的四边形是矩形； ③对角线判定法：对角线________的________是矩形。 【课本预习填空·参考答案】 （1）直角；平行四边形 （2）平行四边形 （3）①直角；②相等 （4）轴；2；中心 （5）斜边的一半 （6）①平行四边形；②三个角；③相等；平行四边形 二.教材知识梳理解读 【知识点一】矩形的性质 通用性质（同平行四边形）：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 矩形独有性质（中考重点）： ① 角：四个内角均为90°，是直角； ② 对角线：对角线相等且互相平分； ③ 分割特征：矩形对角线可将矩形分成四个等腰三角形。 【知识点二】矩形三种判定方法（解题优先级） 方法一（定义法·通用）：平行四边形 + 一个直角 → 矩形（证明题最常用） 方法二（角判定·超快）：四边形 + 三个直角 → 矩形（无需先证平行） 方法三（对角线判定）：平行四边形 + 对角线相等 → 矩形（对角线题型专用） 【知识点三】中考超级考点：直角三角形斜边中线定理 定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 核心结论： 1. 只要是Rt△，出现斜边中点、斜边中线，直接可得线段相等、等腰三角形； 2. 是中考几何求值、折叠、动点题最高频隐藏条件； 3. 逆用：若三角形一边中线等于该边一半，则该三角形为直角三角形。 【知识点四】易错点重磅预警 易错1：对角线相等的四边形是矩形（错！必须是平行四边形+对角线相等） 易错2：有一个角是直角的四边形是矩形（错！必须先为平行四边形） 易错3：忽略斜边中线定理逆用，无法快速判定直角三角形 易错4：混淆矩形与菱形性质，矩形对角线相等不垂直（正方形除外） 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】矩形边长、对角线、角度基础计算 【例题1】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段检测）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，此时直线、所夹锐角的度数为30度，求四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·海南省直辖县级单位·竞赛）在矩形中，、相交于点，，，则_____ 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    【题型2】直角三角形斜边中线定理必考题型 【例题2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，中，，、分别是、的中点，以为斜边作． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，为的中点，且，则菱形的边长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）北宋黄伯思的“燕几图”是世界上最早的一套组合桌形式，全套“燕几”包含长桌、中桌和小桌三种类型（每类桌子形状都相同），桌面可以排列组合，按需设席．如图是“燕几图”中名为“扬旗”的桌面组合方式（包含两张中桌和三张小桌）．若每张桌面的宽都为a尺，则的长为_____ 尺（用含a的代数式表示）． 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，M、N分别是的中点，延长到点D，使，连接，若，求的长． 【题型3】矩形性质与判定的理解 【例题3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．外角和为 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，是真命题的有（     ） ①平行四边形是中心对称图形；    ②矩形的对角线互相垂直； ③菱形的四个角相等；    ④等腰梯形的对角线相等． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）下列命题中为假命题的是（     ） A．有三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期末）为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 【题型4】矩形判定基础证明（解答题必考） 【例题4】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）要使成为矩形，需添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·青海海东·期末）在下列条件中，①，；②，；③；能够判定四边形为矩形的是________（填序号）． 【变式3】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． （1）试探索与之间的数量关系； （2）点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 【题型5】矩形性质与判定综合（基础） 【例题5】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，直线垂直平分，与，分别交于点，若，，则矩形的对角线的长为______．    【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 、 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】矩形性质与判定综合（综合） 【例题6】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． （1）证明：四边形为矩形； （2）若，，求的面积． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，对角线，且，，点、分别是边、的中点，则的长度是（     ） A． B． C． D．不确定 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，点、分别为、的中点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求矩形的面积． 【题型 7】矩形与图形变换（综合） 【例题7】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接，，交于点H． （1）求证： ①平分； ②H是的中点； （2）连接，若平分，，求的长． 【变式1】（2026·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______． 【变式3】（25-26八年级下·重庆南川·期末）数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．求证：； （2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． ①求证：； ②若，，求的长． 【题型 8】矩形与动点问题（综合） 【例题8】（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，． （1）求证四边形是矩形； （2）求的最小值． 【变式1】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 【变式2】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，为的中点，若、为边上的两个动点，且，当线段取得最小值时，的长为________． 【变式3】（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图1，已知四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为边上的一个动点，连接并延长交于点． （1）证明：无论点在边上如何运动，四边形都是平行四边形； （2）如图2，若，问当点运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在矩形中，对角线、相交于点O，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段检测）如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（    ）（不包含直角三角形全等） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 4．（24-25八年级下·天津滨海新区·期中）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 5．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）下列命题是假命题的是（     ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形对边平行 D．对角线相等的四边形是矩形 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 7．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，，，，，是的中点．则的长是（     ） A．4 B． C． D． 9．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，则的面积是（    ） A．6 B．3 C． D． 10．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点的运动路程为，的面积为，且与的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·甘肃兰州·一模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，与相交于点P，则线段______． 12．（25-26八年级下·北京西城·期末）如图，在中，，D是的中点．若，，则的长为________． 13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 14．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 15．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，于点E．若，则矩形的面积为______． 16．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为______． 17．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 18．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________．    （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）若，求的度数； （2）若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知菱形，过点A，D分别作于点E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求此菱形的边长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． （1）由折叠知，_____，_____（填“=”或“≠”）； （2）求证：； （3）如图2，过点作，交于点，连接交于点． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求四边形的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·陕西商洛·期末）按要求解答下列问题： （1）【问题探究】 如图，在四边形中，，，，连接、，是的中线． ①求的长； ②若与始终互余，求的最大值． （2）【问题解决】 如图，矩形是某植物园试验田的示意图，是一条小路，现要在小路上修建一口水井，沿铺设地下水管，再从点向铺设地下水管（点在上），要求，然后从点向点铺设一条运输通道．已知，，铺设运输通道的费用为元，求铺设运输通道所需的最少费用．（小路、地下水管、运输通道的宽度和水井的大小均忽略不计） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $