29.1.2 过三点的圆(1) 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“过三点的圆”，核心讲解不在同一直线上的三个点确定一个圆，及三角形外接圆、外心的定义。课堂导入从“两点确定直线”类比提问“几点确定圆”，通过探究过一点、两点、三点作圆的过程，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生理解确定圆的关键是圆心和半径。 其亮点是以探究活动为主线，结合尺规作图实践（如作三角形外接圆）和实际问题（破损圆盘复原），培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），逻辑推理确定圆心（数学思维），规范表述外心定义与性质（数学语言）。小结系统梳理知识，助力学生构建网络，教师可直接用于课堂探究与技能训练。

第二十九章 圆 29.1.2 过三点的圆(1) 1.通过探究过一点、两点、三点作圆的过程，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握三角形外接圆、外心、内接三角形的定义. 2.会用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆、作三角形的外接圆，发展空间概念和空间想象力. 学习目标 2 我们知道两点确定一条直线，那么几个点可以确定一个圆呢？ 课堂导入 探究 (1) 经过一个点 A 能不能作圆？如果能，这样的圆能作出多少个？ · · · · · A 经过一个点 A 作圆，只要以点 A 以外任意一点为圆心，以这一点与点 A 的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个. 思考：作圆的关键是什么？要确定什么？ 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小. 对于经过已知点作圆的问题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的问题. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 探究 (2) 经过两个点 A，B 能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？ · · · · A B 经过两个点 A，B 作圆，由于所作圆的圆心到 A，B 两点的距离相等，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 探究 (3) 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ D E G F A B C O 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 作圆，因为所作的圆要经过 A，B，C 三点，其圆心应满足到这三个点的距离都相等， 所以所作圆的圆心既要在线段 AB 的垂直平分线上，又要在线段 BC 的垂直平分线上， 所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 探究 (3) 经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ D E G F A B C O 由作法可知，线段 AB，BC 的垂直平分线有且只有一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的. 因此，经过 A，B，C 三点可以作一个并且只可以作一个圆. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 不能忽略这个前提条件 有且只有 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 如图，在平面直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点 A,B,C，已知点A的坐标是(-3，5)，则该圆弧所在圆的圆心 P 的坐标是____________. 解析：连接AB，BC，线段AB，BC 的垂直平分线的交点即为圆心P，如图所示，观察图形可知点P恰好为正方形网格的格点，点P的坐标是(-1，0). 例1 (-1 , 0) P 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 确定圆心的基本方法 一找点：在圆弧上任意找三点. 二作弦：任意连接其中两点作弦，共作两条弦. 三定圆心：分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点就是这段圆弧所在圆的圆心. 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 你知道如何将一个如图所示的破损的圆盘复原吗？ 解：修复方法： （1）在圆弧上任取三点A，B，C; （2）作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心; （3）以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C O 跟踪训练 知识点1 确定圆的条件 新知讲解 D E G F A B C O 注意： 根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，任意三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 新知讲解 知识点2 三角形的外接圆 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形的内部. 外心是直角三角形斜边的中点. 外心在三角形的外部. 联系 外心在三角形的内部 ⇔三角形为锐角三角形. 外心在三角形最长边中点处⇔三角形为直角三角形. 外心在三角形的外部 ⇔三角形为钝角三角形. 三角形外心的位置 新知讲解 知识点2 三角形的外接圆 如图，在△ABC 中，AB=AC =13 cm，BC =10 cm， 求△ABC 外接圆半径的长度. 例2 解：如图，∵ 在 △ABC 中，AB=AC=13 cm， ∴ 过 A 作 ADBC 于点 D，AD 所在直线即为 BC 的垂直平分线. 作 AB 的垂直平分线 l 交 AD 于点 O，以点 O 为圆心，OA 长为半径作 ⊙O，⊙O 即为 △ABC 的外接圆. 连接 OB，设 OA=OB=R cm. 由作图可知，BDBC10=5 (cm). 在  中，由勾股定理，得 AD=12 (cm), ∴ OD=AD-OA=(12-R) cm. 在 △OBD 中，由勾股定理，得 即 ，解得 R. ∴ △ABC 的外接圆半径的长度为 . 新知讲解 知识点2 三角形的外接圆 · 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BC=8. (1)尺规作图：用直尺和圆规作出 △ABC 的外接圆(只保留作图痕迹，不写作法和证明)； (2)求△ABC 外接圆的半径. 跟踪训练 解：(1) 如图，作 AC,BC 的垂直平分线 l1，l2 交于点O，以点 O 为圆心， OA（或 OB,OC）长为半径作圆，则 ⊙O 即为 △ABC 的外接圆. (2) 如图 ，记直线 l2 与 BC 的交点为 D，连接 OB. 由 (1) 中作图可知，BD=CD=BC=4，∠ADB=, ∴ 由勾股定理可得，AD=2. 设 OB=x，则 OA=x，OD=x-2. 由勾股定理得，， 即 ， 解得 x=5，故 △ABC 外接圆的半径为 5. D l2 l1 O 新知讲解 知识点2 三角形的外接圆 1.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ A B C D 解：先沿CD作一条直线，保持AB两端在圆上，旋转这个工具到另外一个位置，再沿CD作一条直线，两条直线的交点即为圆心. 随堂练习 2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. A B C 解：如图 ，作 BC 的垂直平分线交BC 于点D，作 AC 的垂直平分线交BC 的垂直平分线于点 O，以点 O为圆心，OA 长为半径作圆，⊙O即为所求. ∵ △ABC是边长为 2的等边三角形， ∴ AB=BC，∠ABC=60°， ∠ODB=90°， BD=，∴ 点 B 在 AC 的垂直平分线上， ∴ OBDABC， ∴ ODOB. 在 Rt△OBD 中，， ∴ ， 解得 OB， 故⊙O的半径长为 . 随堂练习 3. 判断下列说法是否正确. （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆. ( ) （2）任意一个圆有且只有一个内接三角形. ( ) （3）经过三点一定可以确定一个圆. ( ) （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( ) 无数个. 不共线的三点. 随堂练习 4. 在联欢晚会上，有A,B,C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 D 随堂练习 过三点的圆 确定圆的条件 三角形的外接圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形. 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形的外接圆的半径. 课堂小结 $