3.1 空间直角坐标系 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系（点的坐标、右手系）及空间两点间距离公式，通过房间示意图中板凳和气球位置的情境导入，引导学生从平面直角坐标系过渡到空间，搭建二维到三维的学习支架，帮助理解空间点的坐标表示。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过长方体中点坐标求解等典型例题发展数学抽象，结合自我诊断和跟踪训练提升数学运算能力。通性通法总结助力学生形成解题策略，教师可直接用于课堂互动，提升教学效率，学生能系统掌握知识并发展核心素养。

1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 1.2　空间两点间的距离公式 新课程标准解读 核心素养 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点 的坐标 数学抽象 2.掌握空间两点间的距离公式，并会利用该公式求空 间两点间的距离 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如图是一个房间的示意图. 【问题】　我们如何表示板凳和气球的位置？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系 过空间任意一点 O ，作三条两两垂直的直线，并以点 O 为原 点，在三条直线上分别建立数轴： x 轴、 y 轴和 z 轴，这样就建 立了一个空间直角坐标系 O - xyz .点 叫作坐标原点， x 轴 （横轴）、 y 轴（纵轴）、 z 轴（竖轴）叫作坐标轴，通过每两 条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为 平面、 ⁠平面、 平面. O 　 xOy 　 yOz 　 zOx 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 右手系 伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 ⁠轴正方 向，然后让四指沿握拳方向旋转 指向 y 轴正方向，此时大 拇指的指向即为 z 轴正方向，称这样的坐标系为右手系. 3. 空间直角坐标系中点的坐标 三元有序实数组 叫作点 P 在此空间直角坐标系中 的坐标，记作 P （ x ， y ， z ），其中 x 叫作点 P 的 坐标， y 叫 作点 P 的 坐标， z 叫作点 P 的 坐标. x 　 90°　 （ x ， y ， z ）　 横　 纵　 竖　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　空间两点间的距离公式 已知空间中 P （ x1， y1， z1）， Q （ x2， y2， z2）两点，则 P ， Q 两点 间的距离为｜ PQ ｜ ＝ ⁠. 【想一想】 若 P 是坐标原点，且 Q （ x ， y ， z ），则 P ， Q 两点间距离公式 是什么？ 提示：｜ PQ ｜＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在空间中，过 x 轴， y 轴的平面叫作 xOy 平面. （　√　） （2）空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是（0， b ， c ） 的形式. （　×　） （3）空间直角坐标系中，在 xOz 平面内的点的坐标一定是（ a ， 0， c ）的形式. （　√　） （4）空间直角坐标系中，点（1， ，2）关于 yOz 平面的对称点 为（－1， ，2）. （　√　） √ × √ √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知 A （1，1，1）， B （－3，－3，－3），则线段 AB 的长为 （　　） A. 4 B. 2 C. 4 D. 3 解析：　｜ AB ｜＝ ＝4 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 在空间直角坐标系中，点 A （2，－1，2）在坐标平面 xOy 内的投影 坐标为 ⁠. （2，－1，0）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求空间点的坐标 【例1】　如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是棱 BC ， CC1上的点，｜ CF ｜＝｜ AB ｜＝2｜ CE ｜＝1，｜ AB ｜∶｜ AD ｜∶｜ AA1｜＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出 点 E ， F 的坐标. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：以 A 为坐标原点，射线 AB ， AD ， AA1的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.由｜ AB ｜＝1，得｜ AD ｜＝2，｜ AA1｜＝4，｜ CF ｜＝｜ AB ｜＝1，｜ CE ｜＝ ｜ AB ｜ ＝ ，所以｜ BE ｜＝｜ BC ｜－｜ CE ｜＝2－ ＝ . 所以点 E 的坐标为 ，点 F 的坐标为（1，2，1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 空间中点 P 坐标的确定方法 （1）过点 P 分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，依次交 x 轴、 y 轴、 z 轴于点 Px ， Py ， Pz ，这三个点在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的坐 标分别为 x ， y ， z ，那么点 P 的坐标就是（ x ， y ， z ）； （2）若题目所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴或 坐标平面上，则要充分利用这一性质解题. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 如图所示的空间直角坐标系中，四边形 ABCD 是正方形，｜ AB ｜＝2，｜ PA ｜＝4，则 PD 的中点 M 的坐标 为 ⁠. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：由题意知｜ PO ｜＝ ＝ ＝ ，点 M 在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的 投影分别为 M1， O ， M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－ ， 0， ，所以点 M 的坐标为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 空间点的对称问题 【例2】　在空间直角坐标系中，已知点 P （－2，1，4）. （1）求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； 解： 由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴， z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P1（－ 2，－1，－4）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标； 解： 由点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴， y 轴的分量不 变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P2（－ 2，1，－4）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）求点 P 关于点 M （2，－1，－4）对称的点的坐标. 解：设对称点为 P3（ x ， y ， z ），则点 M 为线段 PP3 的中点， 由中点坐标公式，可得 x ＝2×2－（－2）＝6， y ＝2×（－1）－1＝－3， z ＝2×（－4）－4＝－12， 所以 P3的坐标为（6，－3，－12）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 空间点对称问题的解题策略 （1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要 掌握对称点的变化规律，才能准确求解； （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相 反”这个结论. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知点 P （2，3，－1）关于坐标平面 xOy 的对称点为 P1，点 P1 关于坐标平面 yOz 的对称点为 P2，点 P2关于 z 轴的对称点为 P3， 则点 P3的坐标为 ⁠. （2，－3，1）　 解析：点 P （2，3，－1）关于坐标平面 xOy 的对称点 P1的坐标 为（2，3，1），点 P1关于坐标平面 yOz 的对称点 P2的坐标为（－2，3，1），点 P2关于 z 轴的对称点 P3的坐标是（2，－3，1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 空间两点间的距离公式及应用 【例3】　已知点 M 在 x 轴上，且 M 到点 A （1，0，2）与 B （2，－ 3，1）的距离相等，则 M 的坐标是 ⁠. 解析：设点 M （ a ，0，0），∵｜ MA ｜＝｜ MB ｜， ∴ ＝ ，即（ a －1）2＋4＝（ a － 2）2＋9＋1，解得 a ＝ .∴ M . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 利用空间两点间距离公式求线段长的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求出线段端点的坐标； （3）利用两点间的距离公式求出线段的长. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 D1 D ， BD 的中点， G 在棱 CD 上，且｜ CG ｜＝ ｜ CD ｜， H 为 C1 G 的中点，建立适当的坐标系. （1）写出 E ， F ， G ， H 的坐标； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：建立如图所示的空间直角坐标系.点 E 在 z 轴上，它的 x 轴坐标、 y 轴坐标均为0，而 E 为 DD1的中点， 故其坐标为 . 由 F 作 FM ⊥ AD ， FN ⊥ DC ，垂足分别为 M ， N ， 由平面几何知识知｜ FM ｜＝ ，｜ FN ｜＝ ， 故 F 点坐标为 . 点 G 在 y 轴上，其 x 、 z 轴坐标均为0， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 又｜ GD ｜＝ ，故 G 点坐标为 . 由 H 作 HK ⊥ CG 于点 K ，由于 H 为 C1 G 的中点. 故｜ HK ｜＝ ，｜ CK ｜＝ ，∴｜ DK ｜＝ ， 故 H 点坐标为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求 G 与 H 两点间的距离. 解： ｜ GH ｜＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 点 A （0，－2，3）在空间直角坐标系中的位置是（　　） A. 在 x 轴上 B. 在 xOy 平面内 C. 在 yOz 平面内 D. 在 xOz 平面内 解析：　∵点 A 的横坐标为0，∴点 A （0，－2，3）在 yOz 平 面内. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 在空间直角坐标系中，点 P （3，4，5）与 Q （3，－4，－5）两点 的位置关系是（　　） A. 关于 x 轴对称 B. 关于 xOy 平面对称 C. 关于坐标原点对称 D. 以上都不对 解析：　点 P （3，4，5）与 Q （3，－4，－5）两点的横坐标相 同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于 x 轴对称. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 在空间直角坐标系中，点 P （－2，1，4）关于 xOy 平面的对称点的 坐标是（　　） A. （－2，1，－4） B. （－2，－1，－4） C. （2，－1，4） D. （2，1，－4） 解析：　过点 P 向 xOy 平面作垂线，垂足为 N ，则 N 就是点 P 与它 关于 xOy 平面的对称点 P '连线的中点，又 N （－2，1，0），所以对 称点为 P '（－2，1，－4），故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 如图，在长方体 OABC - O1 A1 B1 C1中，｜ OA ｜＝3，｜ OC ｜＝ 5，｜ OO1｜＝4，点 P 是 B1 C1的中点，则点 P 的坐标为（　　） A. （3，5，4） B. C. D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由题图知，点 P 在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的投影分别为 P1， P2， P3，它们在坐标轴上的坐标分别是 ，5，4，故点 P 的坐标是 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 已知 A （3，5，－7）， B （－2，4，3），则线段 AB 在 yOz 平面上 的射影长为 ⁠. 解析：点 A （3，5，－7）， B （－2，4，3）在 yOz 平面上的射影 分别为A'（0，5，－7），B'（0，4，3），∴线段 AB 在 yOz 平面上 的射影长｜A'B'｜＝ ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $