3.6 正多边形与圆（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件围绕正多边形与圆，系统讲解正多边形的中心、半径定义，圆内接正五边形和正六边形的尺规作图及原理，以及已知外接圆半径求解周长与面积的方法。通过六角螺母、蜂巢结构的情境导入，结合正多边形定义和旧作图法的知识回顾，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过作图原理推理发展数学思维，用公式模型构建数学语言。例如正六边形边长等于半径的推导过程，能力提升题比较周长相等的正多边形面积培养创新意识。学生能提升推理与应用能力，教师可借助结构化内容高效备课。

3.6 正多边形与圆 第三章 圆 学 习 目 标 1 2 理解正多边形的中心、半径的定义． 掌握圆内接正五边形、正六边形两种尺规作图方法，知晓作图原理． 3 会已知外接圆半径，求解正六边形、正方形等正多边形的周长与面积． 情境导入 观察这两个物体，表面分别是什么图形？这些图形有什么共同特征？ 工业之美：六角螺母 自然之秘：蜂巢结构 我们曾通过画圆的内接正多边形，外切正多边形估计圆周率．正多边形与圆之间，究竟存在着怎样密切的联系呢？ 知识回顾 1．什么样的多边形叫作正多边形？ 各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形． 2．正多边形的判定条件是什么？ 判定正多边形必须同时满足：各边相等，各内角也相等． 知识回顾 3．怎样用直尺和圆规作一个圆内接正三角形和正方形？ A D O B C · · O A C B D 思考：正多边形的各边相等，各边所对的圆心角之间有什么关系？ 各边(弦)相等 ↓ 各边所对的圆心角相等 ↓ 都等于 作法： ① 画一个圆和一个72°的圆心角∠AOB，连接 AB； 新知探究 如何画圆的内接正五边形呢？ 分析：正五边形的各边所对的圆心角都相等，都等于72°． 由此可得画法如下： E ● O D C B A ② 从点 B 开始，用圆规取 AB 的长，依次在⊙O 上截取得到点 C，D，E，连接 BC，CD，DE，EA，得到五边形 ABCDE． 思考：为什么这样画出的图形是正五边形？ 新知探究 理由如下： ∵点A、B、C、D、E把⊙O五等分， ∴ ， 的度数都是72°， ∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝＝108°， ∴ 五边形ABCDE是正五边形． E ● O D C B A 如何画圆的内接正五边形呢？ 等分圆周法： 圆被多边形的顶点等分→ 弧相等→弦相等，圆周角相等→各边相等，各角相等→多边形是正多边形． 尝试交流 类比正五边形的画法，如何画一个圆的内接正六边形？ 作法： ① 画一个圆和一个60°的圆心角∠AOB， 连接 AB； E D C B A ② 从点 B 开始，用圆规取 AB 的长，依次在⊙O 上截取得到点 C、D、E、F，连接BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形 ABCDEF． F △AOB是什么三角形？ ● O 新知探究 作法2：作一个圆，分别以一条直径的两个端点为圆心，取半径的长作圆弧，与圆交于四点，得到顶点的位置． 圆的内接正六边形的边长与外接圆的半径相等． O A B C F D · E ● M 照此方法依次可作正十二边形、正二十四边形、正四十八四边形…… 概念引入 一般地，正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径． E D C B A F ● O 我们可以通过确定一个正多边形的外接圆来确定正多边形的中心和半径． 例题讲解 E F C D A B O . 分析： ① 要求正六边形的周长，需要知道什么？ ② 正六边形的边长与半径有什么关系？ ③ 要求正六边形的面积，可以将它怎样分割？ 边长． 例 如图，正六边形ABCDEF的半径为4， 求这个正六边形的周长和面积． 相等． 分割成6个全等的等边三角形． 例题讲解 E F C D A B O G . ∟ 解： 如图，连接OA，OB， 根据题意，得∠AOB＝＝60°． ∵OA＝OB， ∴△OAB为正三角形，AB＝OA＝4． 正六边形的周长l＝4×6＝24． 过点O作OG⊥AB，垂足为G． 在Rt△OAG中，OA＝4，AG＝AB＝2， ∴OG＝＝． ∴正六边形的面积 S＝×4××6＝． 例 如图，正六边形ABCDEF的半径为4， 求这个正六边形的周长和面积． 半径 边心距 边长的一半 新知应用 120° 填表： 边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 6 90° 60° 60° 90° 120° r r r r r r 3r 4r 6r 2 · · · 120° 90° 60° 归纳总结 E F C D 半径r 边心距d A B O 边长a . 1.基本模型 正n边形的有关计算: 2.正n边形的周长: 3.正n边形的面积： 4.正n边形的每个内角: 5.正n边形的中心角: 新知巩固 1．将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度，就能与它自身重合？ 正五边形呢？ 解：将正十边形绕它的中心至少旋转 36° 就能与它自身重合； 将正五边形绕它的中心至少旋转 72° 就能与它自身重合． 重要结论：旋转角度为的整数倍时，就能与自身重合． 新知巩固 2．在正六边形中，能否找到两条边和一条对角线，它们互相平行？ 解：能找到．如图， ∵∠AOB＝∠BCO＝60°， ∴ BC∥AD． 同理，EF∥AD． ∴ EF∥AD∥BC． 同理，DE∥CF∥AB，AF∥BE∥CD． F E A B C D O 新知巩固 3．如图，正六边形ABCDEF的边长为5，求对角线AD、AC的长． F E A B C D 解：∵ AB＝BC＝5，∠B＝120°， ∴ ∠ACB＝∠BAC＝＝30°， ∵∠BCD＝120°， ∴ ∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°， ∵ ∠BAD＝60°， ∴ ∠DAC＝∠DAB－∠BAC＝60°－30°＝30°， ∴ AD＝2CD＝2×5＝10，AC＝CD＝5． 新知巩固 4．如图，把一个边长为 a 的正三角形纸片剪成正六边形，剪去的三 个小三角形的边长应是多少？为什么？ 解：∵ 剪去三个三角形，得到正六边形， ∴ 剪去的三个三角形是全等的等边三角形． ∵ 被剪的正三角形的边长为 a， ∴ 剪去的三个小三角形的边长应是 ． 能力提升 1．用长 24m 的木栅栏围成正三角形或正方形或正六边形的绿地．这三种围法中，哪一种围成的绿地面积最大？为什么？ 解：正三角形的边长为 ＝8(m)，面积为 ×8×4＝16(m2)． 正方形的边长为 ＝6(m)，面积为 6×6＝36(m²)． 正六边形的边长为 ＝4(m)，面积为 6××4×2＝24(m²)． ∵ 16＜36＜24， ∴ 正六边形围成的绿地面积最大． 重要结论：在周长相等的正多边形中，边数越多，面积越大．当边数趋近于无穷大时，正多边形就变成了圆，因此圆是周长相等时面积最大的平面图形． 能力提升 2．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正八边形的一边. AB是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． · O C B A 解：连接OB． ∵ AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC＝60°. ∵ BC是⊙O的内接正八边形的一边，∴∠AOC＝45°. ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝60°－45°＝15°， ∴ AB是⊙O的内接正二十四边形的一边． 课堂小结 3.6 正多边形与圆 概念：正多边形的中心、正多边形的半径． 正多边形的画法：等分圆心角法(定角画弦→等弧截取→连线成形) 正六边形：半径截取法(正六边形边长＝外接圆半径) 正多边形的有关计算：连半径，作边心距． 感谢聆听！ $