第5章 第1讲 万有引力定律及应用-【创新教程】2027年高考物理总复习大一轮课件PPT

该高中物理高考复习课件聚焦“万有引力与宇宙航行”专题，覆盖开普勒行星运动定律、万有引力定律及其应用等核心考点，对接高考评价体系，分析近三年浙江、北京、全国甲卷等真题分布，明确环绕速度、天体质量计算等高频题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题研透+考点突破+素养提升”策略，如以2025浙江卷哈雷彗星题为例，用开普勒第二定律分析面积与时间关系，培养科学思维；通过“黄金代换”推导天体密度，强化物理观念。特设易错警示区分轨道半径与天体半径，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第1讲　万有引力定律及应用 第五章 万有引力与宇宙航行 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 课前 双基复盘 课堂 研透考点 02 03 课后 素养提能 04 高考 备考指南 01 高考总复习 物理 第五章 万有引力与宇宙航行 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 高考 备考指南 教师专享 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 课前 双基复盘 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 课堂 研透考点 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第五章 万有引力与宇宙航行 高考总复习 物理 高考考点 考情概览 核心素养 2025 2024 2023 开普勒行星运动定律、万有引力定律及其应用 浙江1月选考，6T 云南卷，5T 北京卷，7T 甘肃卷，2T 安徽卷，T5 浙江6月选考，T8 全国甲卷，T16 广西卷，T1 山东卷，T5 浙江6月选考，9T 辽宁卷，7T 江苏卷，4T 山东卷，3T 1.物理观念 (1)开普勒三定律 (2)万有引力定律，及天体运动规律 (3)三种宇宙速度 环绕速度 江西卷，2T 山东卷，6T 新课标卷，T16 海南卷，T6 新课标卷，17T 湖北卷，2T 湖南卷，4T 广东卷，7T 湖南卷，9T 2．科学思维 (1)双星或多星模型 (2)卫星的变轨 3．科学态度与责任 万有引力定律在航天技术上的应用 第二宇宙速度和第三宇宙速度 经典时空观和相对论时空观 [知识点一]　开普勒行星运动定律　 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星围绕太阳运动的轨道都是　椭圆　，太阳处在所有　椭圆　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的　面积　 开普勒第三定律(周期定律) 行星轨道半长轴的　三次方　与公转周期的　二次方　的比值是一个常量 eq \f(r3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量 [知识点二]　万有引力定律　 1．内容 (1)自然界中　任何　两个物体都相互吸引． (2)引力的方向在它们的　连线上　. (3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积　成正比　、与它们之间距离r的二次方　成反比　. 2．表达式 F＝　Geq \f(m1m2,r2)　，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由　卡文迪什扭秤　实验测定． 3．适用条件 (1)两个　质点　之间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时物体可视为质点． (2)对质量分布均匀的球体，r为　两球心间　的距离． 1．(人教版必修第二册 P58·T4改编)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现．哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星．哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球(　　) A．2042年　　　　　　　 B．2052年 C．2062年 D．2072年 解析：C　[根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，可得eq \f(r\o\al(3,彗),T\o\al(2,彗))＝eq \f(r\o\al(3,地),T\o\al(2,地))，且r彗＝18r地，得T彗＝54eq \r(2)T地，又T地＝1年，所以T彗＝54eq \r(2)年≈76年，故选C.] 2．(人教版必修第二册P64“科学漫步”改编)(多选)黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸(光速为c)．若黑洞的质量为M，半径为R，引力常量为G，其逃逸速度公式为v′＝eq \r(\f(2GM,R)).如果天文学家观测到一可视天体以速度v绕某黑洞做半径为r的匀速圆周运动，则下列说法正确的有(　　) A．该黑洞的质量为eq \f(v3r,G) B．该黑洞的质量为Gv2r C．该黑洞的最大半径为eq \f(2GM,c2) D．该黑洞的最小半径为eq \f(2GM,c2) 解析：AC　[对于可视天体，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得黑洞的M＝eq \f(v2r,G)，故A正确，B错误；根据逃逸速度公式v′＝eq \r(\f(2GM,R))，得R＝eq \f(2GM,v′2)，黑洞的最大半径Rmax＝eq \f(2GM,c2)，故C正确，D错误．] 3．(人教版必修第二册 P48·T1改编)地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作一个天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离．已知火星公转的周期是1.84年，根据开普勒第三定律，火星公转轨道半径是多少个天文单位的长度？(将地球和火星绕太阳公转的轨道近似看成圆形轨道) 解析：设地球和火星的轨道半径分别为r1、r2，公转周期分别为T1、T2. 根据开普勒第三定律有：eq \f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq \f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))， 得r2＝eq \r(3,\f(T\o\al(2,2),T\o\al(2,1)))·r1＝1.5(个天文单位)． 答案：1.5 考点一　开普勒定律 对开普勒定律的理解 (1)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同． (2)对于匀速圆周运动，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得eq \f(r3,T2)＝k＝eq \f(GM,4π2)，可视为开普勒第三定律的特例． [典例1]　　(2025·浙江1月，6)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1＞S2.彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星(　　) A．在近日点的速度小于地球的速度 B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍 [解析]　C　[地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)→v＝eq \r(\f(GM,r))，哈雷彗星在近日点曲率半径小于地球半径，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误；从b运行到c的过程中万有引力与速度方向夹角一直为钝角，哈雷彗星速度一直减小，因此动能一直减小，B错误；根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，根据S1＞S2可知从a运行 到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确；万有引力提供加速度Geq \f(Mm,r2)＝ma→a＝eq \f(GM,r2)，则哈雷彗星的加速度a1与地球的加速度a2比值为eq \f(a1,a2)＝eq \f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq \f(1,0.36)，D错误．故选C.] [典例2]　(2025·安徽卷，9)(多选)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点．若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T.月球的质量为M，半径为R，引力常量为G.假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　) A．r＝eq \f(a＋b＋R,2)　　　　 B．r＝eq \f(a＋b,2)＋R C．M＝eq \f(4π2r3,GT2) D．M＝eq \f(4π2R3,GT2) [解析]　BC　[对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋2R,2)))3,T2)＝eq \f(r3,T2)，可得r＝eq \f(a＋b,2)＋R，故A错误，B正确；对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得eq \f(GMm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，故C正确，D错误．故选BC.] 2024年5月9日，长征三号乙运载火箭将中国首颗中轨宽带“智慧天网一号01星”通信卫星送入预定轨道．该卫星在预定轨道的运动可视为匀速圆周运动，其轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的0.63倍，该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期约为(　　) A．0.1天　　　　　 B．0.3天 C．0.5天 D．0.8天 解析：C　[根据开普勒第三定律eq \f(R\o\al(3,同),T\o\al(2,同))＝eq \f(R\o\al(3,卫),T\o\al(2,卫))，该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期约为T卫＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R卫,R同)))3)T同＝eq \r(0.633)天≈0.5天，故选C.] 考点二　万有引力定律 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示． (1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2. 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq \f(mM,R2)，得g＝eq \f(GM,R2). (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2)； 所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2). [典例3]　(2025·湖北卷，2)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小．忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是(　　) A．甲运动的周期比乙的小 B．甲运动的线速度比乙的小 C．甲运动的角速度比乙的小 D．甲运动的向心加速度比乙的小 [解析]　A　[命题点]　[万有引力定律的应用 由题意可知，r甲<r乙， 根据万有引力提供向心力，可得eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝ma，则T甲<T乙，v甲＞v乙，ω甲>ω乙，a甲>a乙，A正确．] [典例4]　(2025·湖南卷，4)我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测．某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M.为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1.已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝eq \f(a\f(2,3),b\f(2,3)－a\f(2,3))h，M＝eq \f(4π2R3,Gc2).下列选项正确的是(　　) A．a为T1，b为T0，c为T1 B．a为T1，b为T0，c为T0 C．a为T0，b为T1，c为T1 D．a为T0，b为T1，c为T0 [解析]　A　[根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为R＋h、R， 设小行星和卫星的质量分别为M、m， 由开普勒第三定律有eq \f(R＋h3,T\o\al(2,0))＝eq \f(R3,T\o\al(2,1))，解得R＝eq \f(T\f(2,3)1,T\f(2,3)0－T\f(2,3)1)h， 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T\o\al(2,1))·R， 解得M＝eq \f(4π2R3,GT\o\al(2,1))， 对应结果可得a为T1，b为T0，c为T1.故选A.] 　万有引力的“两点理解”和“两个推论” 1．两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． 2．地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2). 　将地球看成一个半径为R的圆球，在北极用弹簧秤将一个物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F1；在赤道，用弹簧秤将同一物体竖直悬挂，物体静止时，弹簧秤弹力大小为F2.已知地球自转周期为T，则该物体的质量为(　　) A.eq \f(F1T2,4π2R) B.eq \f(F2T2,4π2R) C.eq \f(F1－F2T2,4π2R) D.eq \f(F2－F1T2,4π2R) 解析：C　[设地球质量为M，物体质量为m，在北极万有引力等于重力即等于弹簧秤的示数，有F1＝eq \f(GMm,R2)，在赤道处，万有引力减去重力的差值提供向心力，所以有eq \f(GMm,R2)－mg＝m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2·R，mg＝F2，联立解得m＝eq \f(F1－F2T2,4π2R)，故选C.] 考点三　天体质量和密度的计算 1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. (1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G). (2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR). 2．借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. (1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2). (2)若已知天体的半径R，则天体的密度 ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3). (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． [典例5]　(2025·陕晋青宁卷，2)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回．其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3 750 km，轨道周期约2 h．引力常量G取6.67×10－11 N·m2/kg2，根据以上数据可推算出火星的(　　) A．质量　　　　　 B．体积 C．逃逸速度 D．自转周期 [解析]　A　[轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma，题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，故A正确；若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径R，故BC错误；根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D错误．故选A.] [典例6]　(2024·全国新课标卷，T16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　) A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1 000倍 [解析]　B　[设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有 Geq \f(M1m1,r\o\al(2,1))＝m1eq \f(4π2,T\o\al(2,1))r1，Geq \f(M2m2,r\o\al(2,2))＝m2eq \f(4π2,T\o\al(2,2))r2， 联立可得eq \f(M1,M2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2， 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得eq \f(M1,M2)≈0.1.] [典例7]　在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v ­t图像分别如图所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，则星球P和星球Q的密度之比为(　　) A．3∶1 B．1∶1 C．1∶3 D．1∶9 [解析]　B　[由图像可知星球P和星球Q表面的重力加速度之比为eq \f(gP,gQ)＝eq \f(\f(v0,t0),\f(v0,3t0))＝eq \f(3,1)， 在星球表面Geq \f(Mm,R2)＝mg，可得M＝eq \f(gR2,G)，根据密度公式可得ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)， 其中RP＝3RQ，可得星球P和星球Q的密度之比为eq \f(ρP,ρQ)＝eq \f(gP,gQ)·eq \f(RQ,RP)＝eq \f(3,1)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,1)，故选B.] 　估算天体质量和密度时应注意的问题 1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量． 2．区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R; 计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径． 如图所示，某人造地球卫星对地球的张角为2θ，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，万有引力常量为G，由此可估算地球的平均密度为(　　) A.eq \f(3πsin2θ,GT2) B.eq \f(3π,GT2sin3θ) C.eq \f(3πtan3θ,GT2) D.eq \f(3π,GT2cos3θ) 解析：B　[设地球半径为R，卫星的轨道半径为r，根据几何关系可得sin θ＝eq \f(R,r)，根据万有引力提供向心力eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，又M＝ρV＝ρ·eq \f(4,3)πR3，解得ρ＝eq \f(3π,GT2)·eq \f(r3,R3)＝eq \f(3π,GT2sin3θ)，故选B.] $