精品解析：北京市人大附中朝阳学校2021--2022学年九年级下学期数学限时训练12

初三下数学限时12 一、选择题 1. 如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 2. 如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ） A. B. C. D. 3. 一个十边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知1克＝1000毫克，那么0.000048毫克用科学记数法可以表示为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 5. 为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 下面有四个推断： ①＝1.51 ②一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间 ③对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01 ④16.22比16.12大3.23 所有合理推断的序号是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 8. 如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若要使分式有意义，则的值应为____ ． 10. 运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被______ 整除． 11. 如果一组数据1，2，5，a，9的方差是3，则2，4，10，2a，18的方差是______． 12. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接相交于点E，则的长为______． 13. ，，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为______． 14. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________． … 1 2 3 5 … … 2.4 2.8 3.4 4 … 15. 某班级学生分组做抛掷瓶盖的试验，各组试验结果如下表： 累计抛掷次数 100 200 300 400 500 600 盖面朝上次数 54 105 158 212 264 319 盖面朝上的频率 0.5400 0.5250 0.5267 0.5300 0.5280 0.5317 根据表格中的信息，估计抛掷一枚这样的瓶盖，落地后盖面朝上的概率为______．（精确到0.01） 16. 如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从______原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a:b:c=3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序______（按运送的先后顺序依次排列即可）． 三、解答题（共68分，共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27，28每题7分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 20. 如图，已知． 求作：的内接等边． 小丽同学的作法及证明过程如下： 作法：①作直径； ②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点； ③连接，． 所以即为的内接等边三角形． ∵在中，垂直平分 ∴， ∵ ∴（①） ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴（②） ∴为的内接等边三角形． （1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ． （2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹） 21. 如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若E为的中点，，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）如果点均在反比例函数的图象上，求m的值； （2）如果点均在一次函数的图象上， ①当时，求该一次函数的表达式； ②当时，如果不等式始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 23. 如图，是的直径，弦于H，G为上一点，连接交于K，在的延长线上取一点E，使，的延长线交的延长线于F． （1）求证：是的切线； （2）连接，若时．若，，求的长． 24. 某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表： 时间（秒） 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 相邻各点的距离（厘米） 0 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 （1）当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米； （2）请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来； （3）通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度． 25. 杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究．在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组）．在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅棵数占树上原有杨梅棵数的百分比），绘制成如下统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 甲组杨梅树落果率频数分布表 落果率 组中值 频数（棵） 0≤x＜10% 5% 12 10%≤x＜20% 15% 4 20%≤x＜30% 25% 2 30%≤x＜40% 35% 1 40%≤x＜50% 45% 1 乙组杨梅树落果率频数分布直方图 （1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于20%？ （2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果； （3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据． 26. 在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上． （1）求抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点，，且，． ①当时，比较，的大小关系，并说明理由； ②若对于，，都有，直接写出t的取值范围． 27. 如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点P的“关联三角形”． （1）已知点，求点的“关联三角形”的面积； （2）如图，已知点，的圆心为，半径为2．若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围； （3）已知的半径为，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三下数学限时12 一、选择题 1. 如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC， ∴∠DOC＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠OCB＝∠DOC＝40°， 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键． 2. 如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项 【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的上方，则上方的边长影子会更长一些， 故选D 【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键． 3. 一个十边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和计算公式（n-2）×180°进行计算即可． 【详解】解：十边形的内角和等于：（10-2）×180°=1440°． 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和的计算公式． 4. 已知1克＝1000毫克，那么0.000048毫克用科学记数法可以表示为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000048毫克用科学记数法可以表示为0.000000048克=4.8×10-8克． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5. 为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可． 【详解】根据点A的坐标为，表示点B的坐标为， 可得： ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向． 6. 小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 下面有四个推断： ①＝1.51 ②一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间 ③对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01 ④16.22比16.12大3.23 所有合理推断的序号是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ＝1.51，故①正确； 根据表格中的信息知：15.52＝240.25＜n＜15.62＝243.36， ∴正整数n＝241或242或243， ∴一定有3个整数的算术平方根在15.5～15.6之间，故②正确； ∵由题意设 且＜＜＜， 由＜＜＜，＜， ＜ ∴对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01，故③正确； ∵16.22＝262.44，16.12＝259.21，262.44﹣259.21＝3.23，故④正确； ∴合理推断的序号是①②③④． 故选：D． 【点睛】此题考查了乘方运算，算术平方根，同时考查了平方差公式，熟练掌握算术平方根的定义及求一个数的算术平方根是解本题的关键． 7. 数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值． 【详解】解：如果实施5次运算结果为1， 则变换中的第6项一定是1， 则变换中的第5项一定是2， 则变换中的第4项一定是4， 则变换中的第3项可能是1，也可能是8． 则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8. 则变换中第2项是16． 则的所有可能取值为32或5，一共2个， 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键． 8. 如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可． 【详解】解：根据题意， ∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，则， ∴， ∴， 由的长为半径的扇形的弧长为： ∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 ∴其底面的面积为 由的长为半径的扇形的弧长为： ∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 ∴其底面的面积为 ∴两者的面积和 ∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值； 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若要使分式有意义，则的值应为____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】由题意得，，解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是从以下三个方面透彻理解分式的概念：（）分式无意义分母为零；（）分式有意义分母不为零；（）分式值为零分子为零且分母不为零． 10. 运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被______ 整除． 【答案】4 【解析】 【分析】设两个偶数分别为、，其中，a为正整数，列式计算出两个偶数的平方之差即可得出结论． 【详解】解：设两个偶数分别为、，其中，a为正整数， 则， ，且为整数， 两个偶数的平方差一定能被4整除． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，设两个偶数分别为、，其中、a为正整数是解题的关键． 11. 如果一组数据1，2，5，a，9的方差是3，则2，4，10，2a，18的方差是______． 【答案】12 【解析】 【分析】设一组数据1，2，5，a，9的平均数是 ，则 ，根据方差的公式，得到 ，再代入2，4，10，2a，18的方差公式中，即可求解． 【详解】解：设一组数据1，2，5，a，9的平均数是 ，则 ， ∴2，4，10，2a，18的平均数是 ， ∵一组数据1，2，5，a，9的方差是3， ∴ ， ∴2，4，10，2a，18的方差是 ． 故答案为：12 【点睛】本题考查了方差，熟练掌握一组数据的方差公式是解题的关键． 12. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接相交于点E，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，勾股定理，根据题意可得，所以，进而可以解决问题． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 13. ，，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，根据最大正方形的面积计算即可． 【详解】设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为： ∵， ∴ ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式与几何图形，利用数形结合思想表示图形的边长是解题的关键． 14. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________． … 1 2 3 5 … … 2.4 2.8 3.4 4 … 【答案】15 【解析】 【分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可． 【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4， 设水位与时间的函数解析式为，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得： ，解得：， ∴水位与时间的函数解析式为， ∴当=8时，则有，解得：， 故答案为15． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 15. 某班级学生分组做抛掷瓶盖的试验，各组试验结果如下表： 累计抛掷次数 100 200 300 400 500 600 盖面朝上次数 54 105 158 212 264 319 盖面朝上的频率 0.5400 0.5250 0.5267 0.5300 0.5280 0.5317 根据表格中的信息，估计抛掷一枚这样的瓶盖，落地后盖面朝上的概率为______．（精确到0.01） 【答案】0.53． 【解析】 【分析】根据频率估计概率解答即可． 【详解】掷一枚瓶盖，观察发现，随着实验的次数增多，盖面朝上的频率逐渐稳定并趋向于0.53，所以概率为0.53． 故答案为：0.53． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题的关键在于用频率估计概率得到的是近似值，随着实验的次数增多，值越来越精确． 16. 如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从______原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a:b:c=3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序______（按运送的先后顺序依次排列即可）． 【答案】 ①. M ②. N-B-A-C 【解析】 【分析】根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可． 【详解】解：∵MA+AC<NA+AC， ∴若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运； ∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)， ∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2， ∵a:b:c=3:2:1， ∴a=3c，b=2c， 当按N-A-B-C运输时：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c； 按N-B-A-C运输时：2×6c +2×4c+(2+2)c=24c； 按N-B-C-A运输时：2×6c +2×4c+(2+2) ×3c=32c； ∵24c<24.97c<32c， ∴按N-B-A-C运输时，总的“吨千米数”最小， 故答案为：M；N-B-A-C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（共68分，共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27，28每题7分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先算零指数幂，绝对值，负整数指数幂以及锐角三角函数，再算加减法，即可求解． 【详解】原式= =3． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，绝对值，负整数指数幂以及锐角三角函数，是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可． 【详解】原式 当时， 原式． 【点睛】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1）证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 20. 如图，已知． 求作：的内接等边． 小丽同学的作法及证明过程如下： 作法：①作直径； ②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点； ③连接，． 所以即为的内接等边三角形． ∵在中，垂直平分 ∴， ∵ ∴（①） ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴（②） ∴为的内接等边三角形． （1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ． （2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】（1）垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据前面的证明条件以及结论可以求得所用的推理依据； （2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以此点为圆心，继续画圆弧，以此类推，将圆周六等分，连接不相邻的两个交点即可． 【详解】解：（1），，∴为的垂直平分线，因此，理论依据为：垂直平分线的性质； 和都是弦所对的圆周角，因此，理论依据为：同弧所对的圆周角相等； （2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以点为圆心，保持半径不变，继续画圆弧，交圆于点，以此类推，依次得到点，则即为所求，如下图： 【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握并应用圆的有关性质是解题的关键． 21. 如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若E为的中点，，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，， ． ，， ． 四边形是菱形， ， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，，进而得出，再根据菱形的性质可证，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）连接，交于点，作交于点K，先根据菱形的性质得，，再说明四边形是平行四边形，可得，进而根据矩形的性质得到，根据菱形的性质得到，，，根据三角函数及勾股定理求出，进而求出，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，即，根据勾股定理求出，根据题意得到，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，交于点，作交于点K， 四边形是菱形， ，． 为中点， ． ， ，， 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形， ， ， ∵， ． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，​，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）如果点均在反比例函数的图象上，求m的值； （2）如果点均在一次函数的图象上， ①当时，求该一次函数的表达式； ②当时，如果不等式始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）；． 【解析】 【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再将B点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m； （2）①当时，将点坐标代入一次函数解析式，待定系数法求解即可； ②待定系数法表示，把不等式变形，假设新函数，利用一次函数的性质，根据函数图象即可求出m取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数， 得， 反比例函数解析式为， 将代入反比例函数， 得， 解得； 【小问2详解】 解：①当时，， 将点坐标代入一次函数, 得， 解得， ； ②将代入一次函数, 得， 解得 ， 则不等式可转化为， 整理得， 设， 当时，不等式始终成立， 即当时，始终成立， 当，即时，成立； 当，即时，如图所示： 若，不能满足时，始终成立； 当，即时， 此时只需时，即可， ， 解得， 时，恒成立， 综上，m的取值范围是：． 23. 如图，是的直径，弦于H，G为上一点，连接交于K，在的延长线上取一点E，使，的延长线交的延长线于F． （1）求证：是的切线； （2）连接，若时．若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∴， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角，结合互余关系证明即可； （2）根据三角函数可设，则，可证明，则，在中，由勾股定理得，求出设⊙O的半径为R，在中由勾股定理得，求出，再证明，根据等角的三角函数值相等求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ∴， ∴可设， ∴由勾股定理得，， ，， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍负）， ， 设⊙O的半径为R， 在中，， 由勾股定理得， ， 解得， ， ， ， ， 在中，， ， ． 24. 某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表： 时间（秒） 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 相邻各点的距离（厘米） 0 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 （1）当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米； （2）请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算并描点，用平滑的曲线连起来； （3）通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度． 【答案】（1）0.8 （2）见解析 （3）250米 【解析】 【分析】（1）根据表格即可求得答案； （2）设时间为x秒，滑行距离为y cm，计算出y的对应值，画出图象即可； （3）根据图象求出二次函数解析式，再把x的值代入可得答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，，， ∴当时间为0.04秒时，滑行距离是0.8厘米； 【小问2详解】 解：如图， 【小问3详解】 根据图象设y=ax2+bx， 把（0.02，0.3）和（0.04，0.8）代入得 解得 ∴y与x的关系式为y=250x2+10x， 当x=10时，y=250×100+10×10=25100， 答：滑行10秒时直线斜坡轨道的长度是251m． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练应用待定系数法确定函数关系式是解题关键． 25. 杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究．在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组）．在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅棵数占树上原有杨梅棵数的百分比），绘制成如下统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 甲组杨梅树落果率频数分布表 落果率 组中值 频数（棵） 0≤x＜10% 5% 12 10%≤x＜20% 15% 4 20%≤x＜30% 25% 2 30%≤x＜40% 35% 1 40%≤x＜50% 45% 1 乙组杨梅树落果率频数分布直方图 （1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于20%？ （2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果； （3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据． 【答案】（1）甲、乙两组分别有16棵和2棵杨梅树的落果率低于20%；（2）“用防雨布保护杨梅果实”大大降低了杨梅树的落果率，理由见详解；（3）该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低21%． 【解析】 【分析】（1）根据频数直方图和频数统计表，直接求解即可； （2）分别求出甲乙两组杨梅树落果率的组中值的中位数，即可得到结论； （3）分别求出甲乙两组杨梅的落果率的平均数，即可得到答案． 【详解】解：（1）12+4=16（棵），1+1=2（棵）， 答：甲、乙两组分别有16棵和2棵杨梅树的落果率低于20%； （2）∵甲组杨梅树落果率的组中值从小到大排列：5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，15%，15%，15%，15%，25%，25%，35%，45%， ∴甲组杨梅树落果率的组中值的中位数为：5%， ∵乙组杨梅树落果率的组中值从小到大排列：5%，15%， 25%，25%，25%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，45%，45%，45%，45%，45%， ∴乙组杨梅树落果率的组中值的中位数为：35%， ∴“用防雨布保护杨梅果实”的落果率的中位数低于“不加装防雨布”的落果率的中位数， ∴“用防雨布保护杨梅果实”大大降低了杨梅树的落果率； （3）（12×5%+4×15%+2×25%+1×35%+1×45%）÷20=12.5%， （1×5%+1×15%+3×25%+10×35%+5×45%）÷20=33.5%， 33.5%-12.5%=21%， 答：该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低21%． 【点睛】本题主要考查频数直方图和频数统计表，中位数和平均数，准确从统计图表中找出数据，求出中位数和平均数，是解题的关键． 26. 在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上． （1）求抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点，，且，． ①当时，比较，的大小关系，并说明理由； ②若对于，，都有，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）①， 当时，根据题意可知，，，， 即有，， 由图象可知，； ②或 【解析】 【分析】（1）对于抛物线，令，可得，可知点（0，2）在抛物线上，根据点也在抛物线上，由抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为； （2）根据题意，大致画出抛物线图象．①当时，根据题意可计算、的取值范围，再结合抛物线图象判断，的大小即可；②分情况讨论，当、、三种情况下，区域和区域的位置及移动方向，确定满足条件的t的取值范围． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，可得， 即该抛物线与y轴的交点为点（0，2）， 又∵点也在抛物线上， ∴根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 根据题意，大致画出抛物线图象，如下图， ①略 ②若对于，，都有，可分情况讨论，如下图： 当时，，，由图象对称性可知，成立； 当时，区域向左移动，区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知，成立； 当时，区域、区域相向移动， 两区域相遇时，有，解得，在时，成立； 相遇后，再继续运动，两区域分离时，有，解得； 分离后，即时，随着t的增大，由图象对称性可知，成立； 综上所述，满足条件的t的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质及二次函数的综合应用，解题关键是根据题意画出图形，用数形结合和分情况讨论的数学思想分析问题． 27. 如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目步骤作图即可； （2）过E作EM⊥BC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到； （3）由（2）中全等可得到，即可推理出． 【小问1详解】 依题意补全图形如下： 【小问2详解】 过E作EM⊥BC于M 在和中 ∴(AAS) ∴ ∵ ∴ ∵BE⊥BF ∴ 在和中 ∴ (ASA)， ∴ 【小问3详解】 ，证明如下： 由（2）得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等． 28. 在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点P的“关联三角形”． （1）已知点，求点的“关联三角形”的面积； （2）如图，已知点，的圆心为，半径为2．若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围； （3）已知的半径为，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“关联三角形”的定义求得，，利用三角形的面积公式求解即可； （2）分两种情况，画出图形，根据“关联三角形”的定义、切线的性质找到临界点，利用数形结合即可求解； （3）分两种情况，当与相切时，与相切时，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解． 【小问1详解】 解：∵点关于x轴的对称点为，点A关于y轴的对称点为， 点的“关联三角形”的面积； 【小问2详解】 解：如图，作的外切四边形，点、是点D关于坐标轴对称的点， 的圆心为，半径为2． ， 如图，连接交于D，点、是点D关于坐标轴对称的点， 的圆心为，半径为2， ∴，与x轴的夹角为， ∴， ∴点D的横坐标为， ∵点的“关联三角形”与有公共点，且点， ∴； 【小问3详解】 解：当与相切于点E时，如图： ， ， ， ， ∴当时，点的“关联三角形”与有四个公共点； 当与相切于点F时，如图： ， ， ∴当时，点的“关联三角形”与有四个公共点； 综上，点P的“关联三角形”与有四个公共点，的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，理解新定义含义，添加辅助线，根据切线的性质找到临界点，利用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $