第十章 统计（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版中职数学下册第十章统计，A卷为基础巩固卷，通过经济增长、医疗数据等现实情境，精准覆盖相关关系、线性回归等核心考点，适配单元复习夯实基础，培养用数学眼光观察现实世界的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15/45|相关关系判断、线性回归方程应用、茎叶图分析|第2题结合GDP数据考查回归方程预测，体现数学思维解决经济问题| |填空|5/15|回归模型概念、残差计算|第16题系统考查回归模型术语，夯实基础概念| |解答题|4/40|相关关系判断、回归方程计算与补贴预测|第22题以疫情留年为背景计算补贴总额，培养用数学语言表达现实问题的能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第十章 统计 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下面的变量之间具有相关关系的是（    ） A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．身高与体重 D．实心铁块的大小与质量 2．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1月至6月的GDP数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的线性回归方程为，其中自变量指的是从2023年1月起每个月的编号，如2023年1月编号为1，2023年6月编号为6，部分数据如表所示： 时间 2023年1月 2023年2月 2023年3月 2023年4月 2023年5月 2023年6月 编号 1 2 3 4 5 6 /百亿元 11.107 参考数据： ，． 则下列说法错误的是（    ） A．回归直线经过点 B． C．根据该模型，该地2023年7月的GDP的预测值为12.47百亿元 D．2023年4月，该模型预测的GDP的数据比实际值低了0.103 3．下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据的方差为2，则数据的标准差为4 D．一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3 4．某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数y与时间t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合y与t之间关系的是（    ）    A． B． C． D． 5．变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，该茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩（成绩为整数），其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率（    ）    A． B． C． D． 7．某同学在研究变量，之间的相关关系时，得到以数据： 4.8 5.8 7 8.3 9.1 2.8 4.1 5.2 5.9 7 并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】作出散点图，数形结合即可判断； 【详解】解：在坐标系中作出散点图(如图所示)，观察可知，.    故选：D 【点睛】本题考查散点图的应用，以及最小二乘法的理解，属于基础题. 8．已知命题p：若两个变量间有相关关系，则这两个变量间一定有函数关系；命题q：，，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 9．根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 10．根据如下样本数据得到的经验回归方程为，则（    ） x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 A． B． C． D． 11．已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，   x 2 3 4 5 6 y 由上表可得线性回归方程 ，若规定当维修费用时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（　　） A．7 B．8 C．9 D． 12．如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（   ） A．甲的数学成绩最后3次逐渐降低 B．甲的数学成绩在130分以上的次数少于乙的数学成绩在130分以上的次数 C．甲有7次考试成绩比乙高 D．甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差 13．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与自天平均气温，如下表： 气温 18 13 10 用电量y（度） 24 34 38 64 由表中数据得到线性回归方程为，当气温为时，预测用电量为（    ） A．68度 B．67度 C．66度 D．52度 14．下列说法中正确的是（    ） A．已知随机变量X服从正态分布，则 B．当两组数据的算术平均数相同时，常用离散系数比较这两组数据的离散程度 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为若，则 D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 15．某市物价部门对家商场的某商品一天的销售量及其售价进行调查，家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示.按公式计算，与的回归直线方程是，则下列说法错误的是（　　） 售价 销售量 A． B．售价变量每增加个单位时，销售变量大约减少个单位 C．当时，的估计值为 D．销售量与售价成正相关 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．一元线性回归模型及其应用 （1）一元线性回归模型 在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的_____________. 其中，Y称为_________或__________，x称为_________或_________；a和b为模型的未知参数，a称为_________，b称为_________；e是Y与bx＋a之间的_________. 如果_________，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. （2）一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征. 我们将称为关于的_________，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做_________，求得的叫做b，a的_________，其中 （3）回归分析 ①残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为________，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为________. ②刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的________中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度________，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，称为残差平方和，残差平方和________，模型的拟合效果越好；三是用决定系数R2比较，，R2越大，模型的拟合效果________，R2越小，模型的拟合效果________. 17．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶震生产产量（单位：万盒）的数据如表所示：若线性相关，线性回归方程为，则当时，的预测值为_________万盒． （月份） 1 2 3 4 5 （万盒） 5 6 5 6 8 18．已知变量和的统计数据如下表： -2 -1 0 1 2 5 2 2 1 由表中的数据得到线性回归方程，那么当时残差为__________.（注：残差观测值-预测值） 19．下列命题中，正确的命题有______. ①回归直线恒过样本的中心，且至少过一个样本点； ②若，则事件与是对立事件； ③一组数据的方差一定是正数； ④用系统抽样法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生从编号，按编号顺序平均分成组（号，号，……，号），若第组抽出的号码为，则第一组中用抽签法确定的号码为号. 20．已知变量之间具有线性相关关系，根据下表所示的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则_____________． x 3 4 5 6 y 3 4 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系： (1)商品的销售价格与其供应量； (2)汽车的行驶速度与耗油量； (3)真空中自由降落的小球，位移（单位：m）与时间（单位：s）； (4)日降雨量（单位：cm）与空气中污染物浓度（单位：）. 22．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格： 地区A 地区B 地区C 地区D 地区E 外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500 留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84% 根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为． （1）求的值； （2）该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市地区F有10000名外来务工人员，试根据线性回归方程估计地区F需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额．（结果用万元表示）参考数据：取． 23．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据，且与线性相关． 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 根据表中提供的数据得到线性回归方程中的． (1)求的值． (2)预测销售额为万元时，大约需要多少万元的广告费？ 24．下表是我省某地区2012年至2018年农村居民家庭年纯收入（单位：万元）的数据如下表： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 年纯收入 2 3 3.5 4 4.5 5 6 （1）求关于的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭年纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭年纯收入（结果精确到0.1）． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第十章 统计 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下面的变量之间具有相关关系的是（    ） A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．身高与体重 D．实心铁块的大小与质量 【答案】C 【分析】根据变量间的关系逐一判断可得选项. 【详解】解：出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故A错误； 房屋面积与房屋价格是确定的函数关系，故B错误； 人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故C正确； 实心铁块的大小与质量是确定的函数关系，故D错误． 故选：C． 2．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1月至6月的GDP数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的线性回归方程为，其中自变量指的是从2023年1月起每个月的编号，如2023年1月编号为1，2023年6月编号为6，部分数据如表所示： 时间 2023年1月 2023年2月 2023年3月 2023年4月 2023年5月 2023年6月 编号 1 2 3 4 5 6 /百亿元 11.107 参考数据： ，． 则下列说法错误的是（    ） A．回归直线经过点 B． C．根据该模型，该地2023年7月的GDP的预测值为12.47百亿元 D．2023年4月，该模型预测的GDP的数据比实际值低了0.103 【答案】D 【分析】根据样本中心即可求解A，将样本中心代入回归方程即可求解B,根据回归方程即可求解CD. 【详解】选项A：由题意得， 因为，所以， 因此该回归直线经过样本点的中心，故A正确； 选项B：由A知，，得，故B正确； 选项C：易知2023年7月的编号为7，当时，， 故该地2023年7月的GDP的预测值为12.47百亿元，故C正确； 选项D：当时，， 所以该模型预测的GDP的数据比实际值高了0.103，故D错误． 故选：D 3．下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据的方差为2，则数据的标准差为4 D．一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3 【答案】D 【分析】利用正负相关的意义判断A；利用相关指数的意义判断B；求出标准差判断C；利用对立事件求出概率判断D. 【详解】对于A，回归方程，由，得变量与负相关，A错误； 对于B，值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B错误； 对于C，数据的方差为，标准差为，C错误； 对于D，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件，则事件“至多击中一次”的概率为0.3，D正确. 故选：D 4．某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数y与时间t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合y与t之间关系的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察散点图的变化趋势，并结合选项中的函数图像选出答案即可. 【详解】由图可知，散点几乎落在一条曲线周围，图像单调递增且增长的速度越来越缓慢，结合选项中的函数的图像，函数，和的图像单调递增，但是增长速度越来越快，故排除ACD，而函数图像单调递增且速度越来越缓慢，所以选项B符合题意，最能拟合y与t之间的关系. 故选：B 5．变量x，y的散点图如图所示，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据散点图据曲线形状结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质判断即得． 【详解】由散点图可以看出y随着x的增长速度越来越快，结合一次函数，二次函数，反比例函数及幂函数的性质可知， 最适宜作为y和x的回归方程类型的是：． 故选：B. 6．如图，该茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩（成绩为整数），其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据茎叶图计算甲乙的平均值，再建立不等式求解，最后计算概率. 【详解】根据图中茎叶图，得到甲的5次综合测评成绩为89,88,92,91,90,平均成绩是90; 设被污损的数字为，取值为0到9，有10种可能. 乙5次测评成绩是83,83,87,，99,平均成绩为; 若乙的平均成绩不低于甲的平均成绩，则， 解得：可取8或9， 故概率是：. 故选：A. 7．某同学在研究变量，之间的相关关系时，得到以数据： 4.8 5.8 7 8.3 9.1 2.8 4.1 5.2 5.9 7 并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】作出散点图，数形结合即可判断； 【详解】解：在坐标系中作出散点图(如图所示)，观察可知，.    故选：D 【点睛】本题考查散点图的应用，以及最小二乘法的理解，属于基础题. 8．已知命题p：若两个变量间有相关关系，则这两个变量间一定有函数关系；命题q：，，则下列命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相关关系与函数关系的意义判断命题p，取值判断命题q，再利用真值表逐项判断作答. 【详解】函数关系中的两个变量之间有完全确定的关系，当自变量给定，函数值随之确定， 而相关关系中的两个变量之间没有严格的确定关系，当一个变量变化时，另一个变量的取值具有随机性， 因此命题p是假命题，则是真命题，与都是假命题，AD错误， 因为当时，，因此命题q：，是假命题，是真命题，是假命题，B错误， 所以是真命题，C正确. 故选：C 9．根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】根据回归方程过样本中心点求解即可. 【详解】∵回归方程为，且y的均值为6.2， ∴，解得， 则x的均值为2. 故选：B. 10．根据如下样本数据得到的经验回归方程为，则（    ） x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用散点图与经验回归方程的意义判断即可. 【详解】画出散点图，结合经验回归方程，易知. 故选：B. 11．已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，   x 2 3 4 5 6 y 由上表可得线性回归方程 ，若规定当维修费用时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（　　） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】现计算出样本中心，代入方程计算出，再令可得结果. 【详解】已知， ， 则，解得， 所以线性回归方程 ， 若，则，解得， 所以该设各使用年限的最大值为， 故选：C. 12．如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（   ） A．甲的数学成绩最后3次逐渐降低 B．甲的数学成绩在130分以上的次数少于乙的数学成绩在130分以上的次数 C．甲有7次考试成绩比乙高 D．甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差 【答案】C 【分析】根据折线图，对选项逐一进行分析即可. 【详解】对于A，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A说法错误； 对于B，甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为5次，故B说法错误； 对于C，甲有7次考试成绩比乙高，故C的说法正确； 对于D，由折线图可知，甲、乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，乙的最低成绩为110分， 因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D说法错误． 故选：C. 13．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与自天平均气温，如下表： 气温 18 13 10 用电量y（度） 24 34 38 64 由表中数据得到线性回归方程为，当气温为时，预测用电量为（    ） A．68度 B．67度 C．66度 D．52度 【答案】A 【分析】根据题意，先求得a的值，继而求得线性回归方程，代入即可求解. 【详解】由题意，， 所以，解得， 所以， 所以当气温为时，预测用电量为度. 故选：A. 14．下列说法中正确的是（    ） A．已知随机变量X服从正态分布，则 B．当两组数据的算术平均数相同时，常用离散系数比较这两组数据的离散程度 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为若，则 D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 【答案】D 【分析】根据正态分布、方差的定义及性质和线性回归方程相关概念直接求解即可. 【详解】对于选项A：因为随机变量X服从正态分布， 正态分布关于均值对称，所以，所以，故A错误； 对于选项B ：离散系数用于比较不同单位或不同均值的数据集的离散程度， 当两组数据的算术平均数相同时，确实常用离散系数比较这两组数据的离散程度，但题中并未明确“不同单位”， 且离散系数的定义是标准差与均值的比值，适用于均值不为零的情况，若均值为零，离散系数无意义，故B错误； 对于选项C：因为回归方程过样本中心点，所以将代入回归方程：，故C错误； 对于选项D：设原数据方差为，所以新数据的方差为， 因为，所以，故D正确， 故选：D. 15．某市物价部门对家商场的某商品一天的销售量及其售价进行调查，家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示.按公式计算，与的回归直线方程是，则下列说法错误的是（　　） 售价 销售量 A． B．售价变量每增加个单位时，销售变量大约减少个单位 C．当时，的估计值为 D．销售量与售价成正相关 【答案】D 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得；由回归方程即可判断B、D选项；在回归直线方程中取求得值判断判断C选项. 【详解】对于A，，， ∵与的回归直线方程恒过定点， ∴，解得，故A正确； 对于B，∵， ∴售价变量每增加个单位时，销售变量大约减少个单位，∴B正确； 对于C，当时，的估计值为，故C正确； 对于D，∵，∴销量与售价成负相关，∴D错误. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．一元线性回归模型及其应用 （1）一元线性回归模型 在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的_____________. 其中，Y称为_________或__________，x称为_________或_________；a和b为模型的未知参数，a称为_________，b称为_________；e是Y与bx＋a之间的_________. 如果_________，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. （2）一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征. 我们将称为关于的_________，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做_________，求得的叫做b，a的_________，其中 （3）回归分析 ①残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为________，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为________. ②刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的________中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度________，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，称为残差平方和，残差平方和________，模型的拟合效果越好；三是用决定系数R2比较，，R2越大，模型的拟合效果________，R2越小，模型的拟合效果________. 【答案】 一元线性回归模型 因变量 响应变量 自变量 解释变量 截距参数 斜率参数 随机误差 e＝0 线性回归方程 最小二乘法 最小二乘估计 观测值 残差 带状区域 越窄 越小 越好 越差 【分析】根据一元回归模型的概念作答. 【详解】（1）一元线性回归模型 在研究两个变量线性相关时，我们常利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测. ①我们称①式为Y关于x的一元线性回归模型. 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差. 如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. （2）一元线性回归模型参数的最小二乘估计回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征. 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计，其中 （3）回归分析 ①残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为残差. ②刻画回归效果的方式：一是残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高；二是残差平方和法，称为残差平方和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；三是用决定系数R2比较，，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差. 17．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶震生产产量（单位：万盒）的数据如表所示：若线性相关，线性回归方程为，则当时，的预测值为_________万盒． （月份） 1 2 3 4 5 （万盒） 5 6 5 6 8 【答案】/ 【分析】根据样本中心点求得，进而求得预测值. 【详解】， 所以，所以， 当时，万盒. 故答案为： 18．已知变量和的统计数据如下表： -2 -1 0 1 2 5 2 2 1 由表中的数据得到线性回归方程，那么当时残差为__________.（注：残差观测值-预测值） 【答案】/ 【分析】利用给定数表及回归直线方程，求出时的观测值和预测值即可计算作答. 【详解】由数表知，，则， 因此时的观测值为，而时的预测值为， 所以当时残差为. 故答案为： 19．下列命题中，正确的命题有______. ①回归直线恒过样本的中心，且至少过一个样本点； ②若，则事件与是对立事件； ③一组数据的方差一定是正数； ④用系统抽样法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生从编号，按编号顺序平均分成组（号，号，……，号），若第组抽出的号码为，则第一组中用抽签法确定的号码为号. 【答案】④ 【分析】由回归直线的特点，可判断①；考虑几何概型，可判断②；由方差的定义可判断③；由系统抽样的特点可判断④. 【详解】解：回归直线恒过样本点的中心，不一定过一个样本点，故①错误； 若，则事件与不一定是对立事件，比如将一根针投入分成两部分的正方形区域（不含边界），可得投入这两个区域的概率和为1，但这两个事件不对立，故②错误； 一组数据的方差一定是非负数，故③错误； 用系统抽样法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生从编号，按编号顺序平均分成组（号，号，……，号），若第组抽出的号码为，则第一组中用抽签法确定的号码为126−15×8＝6号，故④正确. 故答案为：④. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和对立事件的判断、方差的性质和系统抽样的特点，考查判断能力和运算能力，属于基础题. 20．已知变量之间具有线性相关关系，根据下表所示的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则_____________． x 3 4 5 6 y 3 4 【答案】 【分析】首先计算出样本中心点，再将其代入回归方程即可. 【详解】，， 因为y关于x的线性回归方程为， 则，解得， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系： (1)商品的销售价格与其供应量； (2)汽车的行驶速度与耗油量； (3)真空中自由降落的小球，位移（单位：m）与时间（单位：s）； (4)日降雨量（单位：cm）与空气中污染物浓度（单位：）. 【答案】(1)具有相关关系 (2)具有相关关系 (3)具有函数关系 (4)具有相关关系 【分析】（1）根据相关关系的概念判断即可； （2）根据相关关系的概念判断即可； （3）根据函数关系的概念判断即可； （4）根据相关关系的概念判断即可. 【详解】（1）商品的销售价格与其供应量之间具有相关关系.一般来说，在品质相当的情况下，供应量越大， 价格就越低；供应量越小，价格就越高.某些品牌商品限量供应，就是保持较高价位的销售策略. （2）汽车的行驶速度与耗油量之间具有相关关系.通常情况下，当速度很慢或速度很快时，耗油较多， 而在中等车速（不同的汽车范围不一定一样）时，速度稍高，耗油反而较少. （3）根据自由落体运动方程，可知自由降落的小球，位移与时间之间是函数关系. （4）日降雨量与空气中污染物浓度之间具有相关关系.通常情况下，降雨量越大，空气中污染物浓度就越低. 22．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格： 地区A 地区B 地区C 地区D 地区E 外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500 留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84% 根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为． （1）求的值； （2）该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市地区F有10000名外来务工人员，试根据线性回归方程估计地区F需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额．（结果用万元表示）参考数据：取． 【答案】(1)51（2）万元 【分析】（1）根据回归直线方程过样本数据中心点求解. （2）根据线性回归方程，当时预测留当地过年人数即可求解. 【详解】（1），， 代入中， 可得 ， （2）由（1）知，人，因此地区F有10000务工人员，大约留在本地过年的有8186人，需补贴万元. 23．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据，且与线性相关． 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 根据表中提供的数据得到线性回归方程中的． (1)求的值． (2)预测销售额为万元时，大约需要多少万元的广告费？ 【答案】(1)17.5 (2)15万元 【分析】（）根据表格求出与，代入回归方程中即可得解. （）由（）求出回归方程，将代入方程中即可得解. 【详解】（1）根据表格可知 ，则，解得. （2）由（）可知，， 当时，，解得万， 所以销售额为万元时，大约需要万元的广告费. 24．下表是我省某地区2012年至2018年农村居民家庭年纯收入（单位：万元）的数据如下表： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 年纯收入 2 3 3.5 4 4.5 5 6 （1）求关于的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭年纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭年纯收入（结果精确到0.1）． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】（1）（2）该地区2012年至2018年农村居民家庭年纯收入逐年递增,预计2019年该地区农村居民家庭纯收入为万元 【分析】（1）利用最小二乘法可直接求得回归直线；（2）根据回归直线斜率为正可判断出收入逐年增长，并得到增长率；代入即可求得预估值. 【详解】由数据表得： ， ， 所求回归方程为： （2）由可知：该地区年至年农村居民家庭年纯收入逐年递增，且增长率约为 令，解得： 预计年该地区农村居民家庭纯收入为万元 【点睛】本题考查最小二乘法求解回归直线、回归直线意义的辨析、利用回归直线求解预估值的问题，对于学生的计算和求解能力有一定要求，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $