第七章 数列（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣中职数学教材第七章数列，AB卷分层设计，B卷能力提升卷通过真实情境与梯度问题，整合等差等比数列核心考点，提升知识应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|等差数列前n项和（题1）、等比数列性质（题4）|基础巩固到能力提升梯度分布| |填空题|5/15|环权数列（题16，文化传承）、新冠疫情就诊人数（题18，社会热点）|结合现实情境，考查递推关系| |解答题|4/40|等比数列证明（题21）、数列与不等式综合（题24）|注重推理能力与模型意识，体现数学思维与语言|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．60 B．80 C．90 D．100 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式将两个条件等式转换成和的关系式，求出和再代入等差数列前n项和公式求即可. 【详解】设等差数列公差为，则， ，即， 则由可得：， 则. 故选：A. 2．设数列是等差数列，且，是数列的前n项和，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式列方程求出，再根据前n项和公式求值即可. 【详解】因为数列是等差数列，设公差为， 由，可得， 解得， 所以， ， ， 所以，故A正确，B错误， ，故C，D错误， 故选：A． 3．已知，则（    ） A．13 B．23 C．33 D．43 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和公式代值求前6项和即可. 【详解】由题意可知，该求和是首项为，公比为的等比数列的前6项和， 所以原式. 故选：. 5．数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 6．已知数列满足：，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，再借助求出即可. 【详解】由，则， 故，即， 则，又， 故. 故选：. 7．某林场计划第一年造林40公顷，以后每年比上一年多造林，则5年后造林总面积约为（   ） A．186公顷 B．244公顷 C．356公顷 D．199公顷 【答案】B 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】由题意知每年的造林面积构成等比数列，记作， 其首项，公比， ∴前5项和（公顷）． 故选：B. 8．某剧院有20排座位，从第二排起，每排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有座位的个数是（　　） A．1020 B．2000 C．2200 D．2400 【答案】A 【分析】先根据等差数列通项公式求解出第一排的座位数，再由等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】由题意可得，该剧院的座位构成等差数列， 即公差，，且， ∴，即， 解得， ∴个， ∴这个剧院一共有1020个座位. 故选：A. 9．若数列的通项公式是，则该数列的前项之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分组求和的方法计算即可. 【详解】已知数列，对于正整数成立 ， 故该数列前项之和为 ， 故选：D. 10．某工厂2026年1月的产值为100万元，计划从2月起，每月产值比上月增长，按照此计划，预计该工厂2026年全年的总产值约为________万元．（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，从 1 月到 12 月，各月产值构成首项 、公比 的等比数列，再根据等比数列求和公式解答即可. 【详解】由题意可得，从 1 月到 12 月，各月产值构成首项 、公比 的等比数列， 设 1 月产值为 万元，公比 ， 则2026年全年的总产值， 代入， 则. 故选：B. 11．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】错位相减法求出，然后得出，即可得出答案. 【详解】，， 两式相减可得 ， 所以， 因为，所以，即恒成立，故. 故选：B. 12．如图，在一个7行8列的数表中，第行第列的元素为，其中，则该数表中所有无重复的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，从而得到只有及两数是没有重复的，进而求解即可． 【详解】由已知有， 故在7行8列的数表中，只有第1行第1列及第7行第8列两数是没有重复的， 则． 故选：B． 13．已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据递推关系式求出，利用裂项求和得，由的范围求的最小值． 【详解】函数，数列满足， ，， ，， ， ， ，且，可知数列为递增数列， ∴，因此，， ，使得恒成立，整数的最小值是2. 故选:A． 14．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果. 【详解】数列满足，① 当时，，② ①②得，，故， 则， 则， 由于恒成立， 故， 整理得：， 因随的增加而减小， 所以当时，最大，且为， 即. 故选：D 15．已知n为正整数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造数列，探讨该数列单调性即得. 【详解】令，显然， 当时，，即， 因此当时，， 又为正整数，且，所以. 故选：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 【答案】 48 384 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 17．用小木棒搭如图所示的图形． 按图示规律，则木棒数与三角形的个数n之间的关系是___________． 【答案】 【分析】按图示规律，可知木棒数等于三角形的个数n的2倍加1，据此可求解. 【详解】由图可知， ， ， ， 据此可得，. 故答案为： 18．2020年新冠疫情爆发肆虐期间，江苏某定点医院每天因患疑似新冠肺炎而入院进行核酸检测的人数依次构成数列，其前n项的和为满足，，则该医院在前3天内因患疑似新冠肺炎核酸检测就诊的总人数共___________人，数列的通项公式为___________. 【答案】 56 ， 【分析】利用数列通项与前n项和的关系求得数列的通项公式，再利用等比数列前n项和公式求解. 【详解】∵， ∴当时，，则， ∴当时，， ∴，即， ∴数列是以首项为8，公比为2的等比数列， ∴ 当时，也满足上式，故，， 故前3天内因患疑似新冠肺炎核酸检测就诊的总人数：. 故答案为56；，. 19．若等比数列的前项和，则等于___________. 【答案】 【分析】令得出，再由得出，由题意得出适合的表达式，从而可得出实数的值. 【详解】当时，； 当时，. 由于数列是等比数列，适合， ，解得. 故答案为：. 20．已知数列的前项和为，且，则_____. 【答案】 【分析】由条件根据的关系可得，结合等比数列数列的通项公式求得，进而可得答案． 【详解】当时，，解得； 当时，， 则，所以，则， 因为，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列， 所以，即， 故. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知数列的首项为1，向量，，且.证明：为等比数列. 【答案】证明见解析. 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得，再构造数列证明即可. 【详解】由题可知：若，则，即，故可得， 故数列是首项为，公比为的等比数列，即证. 22．已知数列是等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解； （2）根据对数运算求出数列的通项公式，最后根据等差数列前项和公式求出. 【详解】（1）设公比为， ∵，，∴，解得， ∴数列的通项公式为或. （2）当时，当 为奇数时，；当 为偶数时，，此时无意义，不符合题意； 当时，， ∵，， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴可得. 23．已知数列的前项和为. (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（）根据题意结合二次函数的性质即可得解. （）根据与的关系即可得解. 【详解】（1）， 因为且，所以当或时，取最小值. （2）当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以. 24．已知数列、中，，，且，，设数列、的前项和分别为和. (1)若数列是等差数列，求和； (2)若数列是公比为2的等比数列. ①求； ②是否存在实数，使对任意自然数都成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)①②存在；实数 【分析】（1）由题意及等差数列求和公式求出，再由分为奇、偶数时，分别对进行求和即可. （2）①由题意及等比数列求和公式求出即可； ②由可得，由题意及等比数列求和公式求出，由①求出，代入即可求出. 【详解】（1）依题意：时，， 又因数列是等差数列， 所以数列的公差是， 所以，所以. 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 所以 （2））①由， 可得 因为数列是公比为2的等比数列，且，， 所以 . ②∵， ， ∴ 因为数列是公比为2的等比数列， 则， 所以数列以首项为，公比为的等比数列； 数列以首项为，公比为的等比数列； 所以. 由，得， 即对任意恒成立， 由①，得 即对任意恒成立， 所以 解得. 即存在实数使对任意恒成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第七章 数列 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．60 B．80 C．90 D．100 2．设数列是等差数列，且，是数列的前n项和，则（　　） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．13 B．23 C．33 D．43 4．（    ） A． B． C． D． 5．数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足：，，则（ ） A． B． C． D． 7．某林场计划第一年造林40公顷，以后每年比上一年多造林，则5年后造林总面积约为（   ） A．186公顷 B．244公顷 C．356公顷 D．199公顷 8．某剧院有20排座位，从第二排起，每排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有座位的个数是（　　） A．1020 B．2000 C．2200 D．2400 9．若数列的通项公式是，则该数列的前项之和为（   ） A． B． C． D． 10．某工厂2026年1月的产值为100万元，计划从2月起，每月产值比上月增长，按照此计划，预计该工厂2026年全年的总产值约为________万元．（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 11．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 12．如图，在一个7行8列的数表中，第行第列的元素为，其中，则该数表中所有无重复的元素之和为（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知n为正整数，且，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 17．用小木棒搭如图所示的图形． 按图示规律，则木棒数与三角形的个数n之间的关系是___________． 18．2020年新冠疫情爆发肆虐期间，江苏某定点医院每天因患疑似新冠肺炎而入院进行核酸检测的人数依次构成数列，其前n项的和为满足，，则该医院在前3天内因患疑似新冠肺炎核酸检测就诊的总人数共___________人，数列的通项公式为___________. 19．若等比数列的前项和，则等于___________. 20．已知数列的前项和为，且，则_____. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知数列的首项为1，向量，，且.证明：为等比数列. 22．已知数列是等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 23．已知数列的前项和为. (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 24．已知数列、中，，，且，，设数列、的前项和分别为和. (1)若数列是等差数列，求和； (2)若数列是公比为2的等比数列. ①求； ②是否存在实数，使对任意自然数都成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $