第九章 随机变量及其分布（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版《数学 基础模块下册》第九章“随机变量及其分布”核心考点，基础巩固与现实情境结合，适配单元复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15题45分|随机变量取值、正态分布、二项分布等|以抛掷骰子、民兵射击等情境考查概念理解，体现数学眼光| |填空|5题15分|离散型随机变量定义、正态分布参数|结合频率分布直方图考查数据处理，培养数据意识| |解答题|4题40分|数学期望、分布列、正态分布应用|以交通拥堵指数、学生身高指数等现实问题建模，凸显数学思维与语言表达|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．抛掷两枚骰子一次，为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则的所有可能的取值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．2021年冬某地民兵预备役训练，民兵射击成绩（单位：环），.如果8940名民兵的射击成绩中有个在区间（，8]上，则（    ） A． B． C． D． 4．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为 C．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 D．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比在以下的概率大 5．已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 7．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望（    ） A． B．2 C． D．3 8．下列说法不正确的是（    ） A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量 B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0 C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值 D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布 9．已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．1 B．0.9974 C．0.9544 D．0.5 10．已知随机变量服从正态分布，则该正态分布的均值和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 11．已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 12．若随机变量，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．若离散型随机变量满足，则和的值分别为（    ） A． B． C． D． 14．某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（    ） A． B． C． D． 15．若随机变量,且,则（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若随机变量，且，则_________． 17．离散型随机变量 可能取值为________或可以___________的随机变量，称为离散型随机变量． 18． 设三个正态分布的密度函数图象如图所示，则按从小到大的顺序排列是_________；按从小到大的顺序排列是_________．      19．为了解中学生身高情况，某部门随机调查了某学校的学生，绘制如图所示的频率分布直方图.已知该校学生的身高（单位：cm）均在，且身高在与身高在的人数之比为1：3.以频率估计概率，从该校随机抽取3名学生，则恰有1名学生的身高不低于170cm的概率为___________. 20．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TIP=，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级： TPI 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：      (1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； (2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望； (3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，.请直接写出取得最大值时的值. 22．影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表： 档次 偏矮 正常 偏高 超高 男生身高指数（单位：） 学生得分 50 70 80 90 某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下： 档次 偏矮 正常 偏高 超高 男生身高指数（单位：） 人数 3 9 12 6 (1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率； (2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取揹施的效果． 附：参考数据与公式：若，则①；②；③． 23．2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格．赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”．某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷．该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示： (1)若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m的值，并计算这200人得分的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）； (2)该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为，未抽中奖的概率为，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y为他获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望． 24．新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)． 表①:表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润． 表①                                 工序 概率 表② 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 (1)表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望； (2)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了()元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布 （A卷·基础巩固） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．抛掷两枚骰子一次，为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则的所有可能的取值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据第一枚的最小值和第二枚的最大值的差求出的最小值，再由第一枚的最大值和第二枚的最小值的差求出的最大值，即可确定的取值范围. 【详解】第一枚的最小值为，第二枚的最大值为， 所以的最小值为， 第一枚的最大值为，第二枚的最小值为， 所以的最大值为， 所以的所有可能的取值为，， 故选：D. 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据知即为独立做6次试验，发生了4次的概率，即，即可求解. 【详解】根据 知，即为独立做6次试验，发生了4次的概率， 即. 故选：B 3．2021年冬某地民兵预备役训练，民兵射击成绩（单位：环），.如果8940名民兵的射击成绩中有个在区间（，8]上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性可得，从而根据二项分布的定义即可求解. 【详解】解：∵， ， 名民兵的射击成绩中有个在区间上， ∴， 故选：B. 4．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为 C．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 D．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比在以下的概率大 【答案】D 【分析】由可知，由此判断A,B错误;然后根据正态分布的对称性及原则求解概率判断C和D. 【详解】对AB，由正态分布密度曲线函数，得， 该地水稻的平均株高为，所以A错误；该地水稻株高的方差为，所以B错误； 对C，根据正态分布的对称性可知：, 所以株高在和在（单位：）的概率不一样大，所以C错误； 对D，，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以D正确； 故选：D. 5．已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态曲线的对称性求值即可. 【详解】根据正态曲线的对称性可得，， ， 所以. 故选：C. 6．已知随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的概率公式计算． 【详解】． 故选：D． 7．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】先根据概率之和为1求出，从而得到数学期望. 【详解】由题意得，解得， 故. 故选：A 8．下列说法不正确的是（    ） A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量 B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0 C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值 D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量定义判断A;利用正态分布性质判断B;利用二项分布性质判断C;利用超几何分布判断D 【详解】某辆汽车一年中发生事故的次数可一一列举，故是一个离散型随机变量，正确； 正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0；正确； 公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算.故错误 从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布，正确 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量，正态分布，二项分布及超几何分布的特点，重在基本概念的理解，是基础题 9．已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．1 B．0.9974 C．0.9544 D．0.5 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 根据正态曲线的性质可得曲线关于对称， 故. 故选：D. 10．已知随机变量服从正态分布，则该正态分布的均值和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据正态分布的符号表示求解. 【详解】随机变量服从正态分布，则该正态分布的均值，方差， 故选：A. 11．已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量的分布列求概率即可. 【详解】由分布列的性质，得，解得. 故选：D. 12．若随机变量，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的期望、方差计算可得答案. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：A. 13．若离散型随机变量满足，则和的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据均值与方差的性质结合已知条件即可求解. 【详解】因为离散型随机变量满足， 所以， . 故选： A . 14．某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合组合数的应用，及离散型随机变量的概率，即可求解. 【详解】由题意，当时，； 当时，， 则. 故选：C. 15．若随机变量,且,则（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】由正态分布性质可知：,,由正态分布曲线的对称性可知：,即可得到答案. 【详解】随机变量,根据正态分布性质可知：, 因为,所以, 由正态分布曲线的对称性可知：, 所以, 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．若随机变量，且，则_________． 【答案】0.26/ 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为， 所以． 故答案为：0.26. 17．离散型随机变量 可能取值为________或可以___________的随机变量，称为离散型随机变量． 【答案】 有限个 一一列举 【解析】略 18． 设三个正态分布的密度函数图象如图所示，则按从小到大的顺序排列是_________；按从小到大的顺序排列是_________．      【答案】 【分析】由正态曲线的性质判断即可. 【详解】∵正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，∴； ∵的值越小图象越瘦高，∴， 故答案为：；. 19．为了解中学生身高情况，某部门随机调查了某学校的学生，绘制如图所示的频率分布直方图.已知该校学生的身高（单位：cm）均在，且身高在与身高在的人数之比为1：3.以频率估计概率，从该校随机抽取3名学生，则恰有1名学生的身高不低于170cm的概率为___________. 【答案】0.288 【分析】利用频率之和等于1，即各小长方形的面积之和为1，列方程求解求出，然后可求出该校学生身高不低于170cm的频率，再根据二项分布的概率公式求解即可 【详解】∵，∴， ∴该校学生身高不低于170cm的频率为， ∴从该校随机抽取3名学生，则恰有1名学生的身高不低于170cm的概率为. 故答案为：0.288 20．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 【答案】 【分析】由已知可判断随机变量，利用二项分布的概率公式计算，即与的概率之和.   因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为， 从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则， ． 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TIP=，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级： TPI 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：      (1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； (2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望； (3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，.请直接写出取得最大值时的值. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，； (3). 【分析】（1）根据统计数据，求得7天中“拥堵”的天数，根据古典概型概率计算公式即可求得结果； （2）根据统计数据，求得的取值，再求对应的概率、分布列以及数学期望即可； （3）求得，，再求取得最大值时的值即可. 【详解】（1）根据统计数据可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”； 设7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为， 则； （2）根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数共有2天； 故， ；；； 故的分布列如下所示： ； （3）由统计数据可知： ， 又， 故 ， 故取得最大值时，. 22．影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表： 档次 偏矮 正常 偏高 超高 男生身高指数（单位：） 学生得分 50 70 80 90 某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下： 档次 偏矮 正常 偏高 超高 男生身高指数（单位：） 人数 3 9 12 6 (1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率； (2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取揹施的效果． 附：参考数据与公式：若，则①；②；③． 【答案】(1)偏矮率为，正常率为，偏高率为，超高率为 (2)调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好 【分析】（1）利用正态分布中概率求解公式求解即可. （2）利用古典概型概率公式求解调整后的相对应的概率以及平均得分，分别与调整前的比较，即可得出结论. 【详解】（1）调整前， 偏矮率为， 正常率为， 偏高率为， 超高率为． （2）由（1）知，调整前， 身高指数平均得分为； 调整后，偏高率为， 超高率为， 身高指数平均得分为， 由上可知，调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加， 说明学校采取的措施效果好． 23．2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格．赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”．某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷．该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示： (1)若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m的值，并计算这200人得分的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）； (2)该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为，未抽中奖的概率为，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y为他获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率直方图求解即可. （2）首先根据题意得到，分别求出概率，列出分布列求数学期望即可. 【详解】（1），解得. . （2）由题知：， ，， ，， 的分布列 . 24．新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)． 表①:表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润． 表①                                 工序 概率 表② 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 (1)表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望； (2)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了()元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系? 【答案】(1)分布列见解析， (2)() 【分析】（1）由题意可知：的可能取值为，，，分别求出100等级，99等级，95等级的概率，列分布列计算数学期望即可； （2）改良后一件产品的利润的可能取值为，，，分别求出改良后100等级，99等级，95等级的概率，求出数学期望与比较即可. 【详解】（1）的可能取值为，，， ；；； 所以的分布列为 （2）设升级后一件产品的利润为，则的可能取值为，， ； ； ； 所以， 由得，解得， 所以与满足的关系为(). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $