综合测试卷（四）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本套综合训练紧扣教材分章节设AB卷分层巩固，综合测试卷整合跨章节知识，以题载知，聚焦数学思维与应用能力提升。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列组合与概率|选择1/4/6/10、填空19/20|实际情境应用（如志愿选法、员工休假）|从基础计数原理到复杂事件概率计算| |数列|选择3/7、解答23|基本量运算（公差、项数、前n项和）|等差数列定义与前n项和公式推导应用| |三角函数与立体几何|选择11/13、填空16|概念辨析与空间关系（周期奇偶性、异面直线成角）|三角函数性质与立体几何空间想象结合| |二项式定理|选择5、填空18、解答21|展开式计算（常数项、系数）|二项式定理通项公式推导与应用|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．男生5人，女生3人，现从中选3人参加志愿活动，要求从中选出的3人中“至少有一个是女生”的选法有多少种（    ） A．10种 B．46种 C．60种 D．72种 2．盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列满足，则的公差为（    ） A． B．2 C．4 D．6 4．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（    ） A． B． C． D． 5．若的展开式存在常数项，则常数项为（    ） A． B．35 C． D．21 6．某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（ ）种． A．7 B．10 C．14 D．16 7．已知等差数列第4项是15，第6项是5，则是该数列的第（    ）项 A．43 B．39 C．38 D．42 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 9．化简=（ ） A．1 B． C． D．2 10．袋中有4个小球，除颜色外其他都相同，其中有2个黄球，2个绿球．从中任取2球，取出的球为1黄1绿的概率为（   ） A． B． C． D． 11．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 12．若 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 13．已知长方体中，，点分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 14．已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（    ） A． B． C．4 D． 15．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（    ） A．994 B．995 C．1003 D．1004 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．函数的振幅是___________，是___________，初相是___________. 17．已知，，，则＝______． 18．已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为5∶2，则展开式中的常数项为___________，此时___________(结果用数字表示) 19．从6名同学中选出4人参加一项活动，其中甲、乙两人至少有一人参加，则不同的选法有_________种． 20．某班主任准备请年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．（用数字作答） 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．（1）求的展开式的常数项； （2）求的展开式中的x的系数． 22．如图所示，在中，角A，B，C所对应的边为，b，c，已知，，且，延长至，．求： (1)的值； (2)的面积． 23．求下列两题： (1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 24．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设. (1)求灯柱的高（用表示）； (2)此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．男生5人，女生3人，现从中选3人参加志愿活动，要求从中选出的3人中“至少有一个是女生”的选法有多少种（    ） A．10种 B．46种 C．60种 D．72种 【答案】B 【分析】根据组合数的计算即可求解. 【详解】从男生5人，女生3人中选出三人参加活动，共有种选法. 全是男生的选法有种，则至少有一个女生有种选法. 故选：B. 2．盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为，则随机变量的数学期望 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望． 【详解】解：盒中有大小相同的5个红球和3个白球， 从中随机摸出3个球，记摸到白球的个数为， 的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 ． 故选：B． 3．已知等差数列满足，则的公差为（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式可求 【详解】，， ，， ，； 故选：B. 4．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案. 【详解】设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为，有三个人休假的概率为，所以两家店铺都不能正常营业的概率为，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：含有或者词语中体现出“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较烦琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解. 5．若的展开式存在常数项，则常数项为（    ） A． B．35 C． D．21 【答案】C 【分析】先确定n值，再利用通项公式求解. 【详解】若的展开式存在常数项，则，且常数项为． 故选：C 6．某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（ ）种． A．7 B．10 C．14 D．16 【答案】C 【分析】由分类加法和分布乘法计数原理即可求解． 由题可得，至少有一名女生被选中的不同选法有2种情况，一男一女，两女， 所以共种， 故选：C． 7．已知等差数列第4项是15，第6项是5，则是该数列的第（    ）项 A．43 B．39 C．38 D．42 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式，结合题意，先求出首项和公差，代入通项公式，即可求解. 【详解】由题意，得等差数列中，， 所以公差，， 所以， 令，解得， 即是该数列的第38项. 故选：C. 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】， ∴，则. 故选：C. 9．化简=（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用二倍角公式、两角差的正弦公式化简. 【详解】 . 故选：C. 10．袋中有4个小球，除颜色外其他都相同，其中有2个黄球，2个绿球．从中任取2球，取出的球为1黄1绿的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概率的公式求解即可. 【详解】从4个球中任取2个，不考虑顺序，总共有种不同取法. 取出1黄1绿，需要从2个黄球中取1个、2个绿球中取1个，共种取法. 因此概率为. 故选：B. 11．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式及诱导公式将各函数解析式化简可得奇偶性与周期. 【详解】A选项：，函数的周期为，A不正确； 因为，函数的周期为，但，不是偶函数，B不正确； 因为，函数的周期为，且，是偶函数，C正确； 因为，函数的周期为，是偶函数，D不正确； 故选：C. 12．若 ，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式对进行转化，再结合正弦型函数的图像和性质求解即可. 【详解】， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：A. 13．已知长方体中，，点分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，在长方体中，可得四边形是平行四边形，从而，即（或其补角）为所求，在中，根据余弦定理可求解. 【详解】 如图，连接， 在长方体中，点分别是、的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，即直线与所成角就是直线与所成角，（或其补角）为所求. 在中，， 所以； 在中，， 所以； 在长方体中，平面，平面， 所以. 在中，， 所以. 在中，， 所以直线与所成角的余弦值是. 故选：A 14．已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设，根据题意求得，由得到，设，，即，，利用三角函数的性质求最大值最小值即可. 【详解】设， 因为，令，得，故，所以， 令，得，故，即， 又，即，故，，所以， 由，得，设，，即，， 则 ， 所以的最大值与最小值之和为， 故选：C 15．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（    ） A．994 B．995 C．1003 D．1004 【答案】B 【分析】由等比、等差数列的定义及求和公式，结合实际问题列出式子，计算即可. 【详解】没有去掉“1”之前，第1行的和为，第2行的和为，第3行的和为， 以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则前行的数字的和为． 每一行的个数为1，2，3，4，…， 可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则前行总个数为． 当时，，去掉两端“1”，可得， 则去掉两端“1”后此数列的前36项和为， 并且第36项为第10行去掉“1”后的最后一个数为， 所以所求数列的前35项和为． 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．函数的振幅是___________，是___________，初相是___________. 【答案】 3 2 【分析】根据正弦型函数的图像以及性质求解即可. 【详解】根据可得振幅为3，，初相是. 故答案为：3；2；. 17．已知，，，则＝______． 【答案】 【分析】化切为弦，由正弦和角公式得到方程组，求出，利用正弦差角公式求出答案. 【详解】由得，，则①， 由得，②， 联立①②解得， ∴． 故答案为： 18．已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为5∶2，则展开式中的常数项为___________，此时___________(结果用数字表示) 【答案】 1120 3280 【分析】由条件求得n=8，则常数项为；将问题转化为，从而求得结果. 【详解】依题意有，解得n=8， 通项为，取r=4，得常数项为； 故答案为：1120；3280； 19．从6名同学中选出4人参加一项活动，其中甲、乙两人至少有一人参加，则不同的选法有_________种． 【答案】 14 【分析】采用间接法求解，先计算从6人中选4人的总组合数，再减去甲、乙均不参加的组合数，即可得到符合条件的选法数. 【详解】从6名同学中任选4人的总选法种. 甲、乙两人都不参加的选法为种. 所以“甲、乙两人至少有一人参加”的选法为种. 故答案为：14. 20．某班主任准备请年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．（用数字作答） 【答案】 【分析】分为甲乙参加一人和两人同时参加两种情况，再分别由排列数和组合数计算两种情况的数目，再使其相加即可. 【详解】若甲乙同时参加， 先从其余人中选出人，共种选法， 甲乙进行排列，有种情况， 再选好的两人中，选出一人在甲乙中间发言，有种情况， 甲乙位于一，三发言或二，四发言，有种情况， 共种不同发言顺序， 若甲乙参加一人， 则在甲乙中选1人，有种选法， 再从其余的人中选出人，共种选法， 再将选出的人全排列，有种不同情况， 共种不同顺序， 所以一共有种不同的发言顺序， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．（1）求的展开式的常数项； （2）求的展开式中的x的系数． 【答案】（1）60；（2）－15. 【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解； （2）的展开式中的x的系数为. 【详解】（1）的展开式的通项公式为， 令，解得， 则的展开式的常数项为； （2）的展开式的通项公式为 则的展开式中的的系数为 22．如图所示，在中，角A，B，C所对应的边为，b，c，已知，，且，延长至，．求： (1)的值； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理和余弦定理即可求解； （2）利用诱导公式和面积公式求解即可. 【详解】（1）∵， ∴由余弦定理可得，， 因为,所以， 由正弦定理可得，在中，， 即，所以． （2）， ． 23．求下列两题： (1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 【答案】(1)5 (2)11 【分析】（1）利用前12项中奇数项和偶数项和的比和前12项的总和列出方程，求出前12项的奇数项和偶数项的和，然后即可求出公差. （2）根据等差数列奇数项和偶数项之比可求出项数，然后根据等差数列求和性质即可求解. （1）解：由题意得： 设等差数列的首项为，公差为，奇数项和为，偶数项的和为 则由题意得：，解得： 由等差数列性质可知：解得： 故该数列的公差为. （2）设等差数列中共有项，则奇数项有项，偶数项由项，中间项为第项，记作，奇数项和为，偶数项的和为 由等差数列前项和的性质，可知 又 所以，解得： 又因为，所以 所以这个数列的中间项为，共有项. 24．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设. (1)求灯柱的高（用表示）； (2)此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米） 【答案】(1), (2)当时，取得最小值米 【分析】（1）在中先用正弦定理表示出，然后在中利用正弦定理表示出； （2）在中利用正弦定理表示出，从而得到的表达式，再利用三角函数的性质求解最小值即可. 【详解】（1）由题意知，在中，， 由正弦定理，得. 在中，由正弦定理， 得，. （2）在中，由正弦定理，得， 故， 由于，故， 所以当时，取得最小值米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $